通性通法都去哪兒了*
——一道質(zhì)檢題的解法分析及教學(xué)反思

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(侯集高級(jí)中學(xué),江蘇 徐州 221121)

1 背景

2 試題解析

例1已知函數(shù)

的圖像恰好經(jīng)過(guò)3個(gè)象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

分析當(dāng)a<0時(shí)，y=ax-1(其中x≤0)的圖像經(jīng)過(guò)第二和第三象限，而y=x3-ax+|x-2|>0在(0,+∞)上恒成立，從而圖像僅在第一象限，因此當(dāng)a<0時(shí)顯然符合題意.當(dāng)a≥0時(shí)，y=ax-1(其中x≤0)的圖像僅經(jīng)過(guò)第三象限，由題意y=x3-ax+|x-2|(其中x>0)的圖像需經(jīng)過(guò)第一和第四象限，等價(jià)于函數(shù)f(x)=x3-ax+|x-2|(其中x>0)有兩個(gè)零點(diǎn).以下使用3種方法分別求解：

方法1函數(shù)最值法.

f(x)=x3-ax+|x-2|=

則

1)當(dāng)0≤a≤1時(shí)，

a無(wú)解.

①當(dāng)1

即可，解得2

②當(dāng)11

于是y=x3-(a+1)x+2在(0,2)上單調(diào)遞減，y=x3-(a-1)x-2在[2,+∞)上單調(diào)遞增.要滿足題設(shè)，只需

f(x)min=f(2)=23-(a+1)×2+2<0

即可，解得11

③當(dāng)a>13時(shí)，

即可，解得a>13.

綜上可得，a>2.

評(píng)注方法1是解決有解問題的最基本方法，其實(shí)質(zhì)就是討論函數(shù)極值點(diǎn)與分段函數(shù)的分界點(diǎn)的大小關(guān)系，從而確定函數(shù)的走勢(shì)，進(jìn)而得到函數(shù)的最值.

方法2數(shù)形結(jié)合.

f(x)=x3-ax+|x-2|(其中x>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程x3-ax+|x-2|=0(其中x>0)有兩個(gè)解.問題可轉(zhuǎn)化為g(x)=x3+|x-2|與h(x)=ax在y軸的右側(cè)有兩個(gè)交點(diǎn).

則

作出g(x)的圖像(如圖1),設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)，則

兩者聯(lián)立可解得x0=1,a=2，因此a>2.

評(píng)注該方法是將方程有兩個(gè)解的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像有交點(diǎn)的問題處理.這兩個(gè)函數(shù)的圖像一直一曲，即直線和曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，因此先考查臨界狀態(tài)即相切的情況.這是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，從過(guò)程上看，顯然比函數(shù)最值法有優(yōu)勢(shì).

圖1 圖2

方法3分離參數(shù).

將方程x3-ax+|x-2|=0的兩邊同時(shí)除以x，方程變形為

得

可以求得h(x)min=2，容易作出h(x)的圖像(如圖2)，進(jìn)而得到a>2.

評(píng)注解決恒成立、有解、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等問題，學(xué)生最喜歡的方法估計(jì)就是分離參數(shù)了.參變量分離后，函數(shù)不再“寄人籬下”，從含參中解放出來(lái)，成為了定函數(shù)，而參數(shù)成為了垂直于y軸的動(dòng)直線，對(duì)于問題的解決，一目了然.

3 反思

本題考查的是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.此類問題是高中數(shù)學(xué)的常見題型，對(duì)于經(jīng)過(guò)了兩輪復(fù)習(xí)的高三學(xué)生而言，本應(yīng)是比較容易入手的.教師拿到試卷后，幾乎一致認(rèn)為：這是一道“熟題”，教師常講,學(xué)生常做，運(yùn)用的是通性通法，至少也能答對(duì)一二百人吧,甚至有些教師擔(dān)心此題作為壓軸題可能會(huì)“壓不住”.但“理想很豐滿，現(xiàn)實(shí)很骨感”，考試結(jié)果讓人大跌眼鏡:很多學(xué)生反映在考場(chǎng)上大腦一片空白，不知從何下手；另外一些學(xué)生即便是想到了解題的方法也因?yàn)榉N種原因半途而廢.這讓筆者不禁思考：為什么教師辛苦地教，學(xué)生賣力地學(xué)，得分的考生卻寥寥可數(shù)，通法都去哪兒了？問題出在哪里？我們?cè)撊绾谓鉀Q？

1)通性通法的機(jī)械“植入”費(fèi)時(shí)費(fèi)力，放手給學(xué)生才是有效手段.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容多、任務(wù)重、時(shí)間緊,因此很多時(shí)候教師在課堂上舍不得給學(xué)生獨(dú)立思考解決問題的時(shí)間，而是滔滔不絕地一遍又一遍地講.有時(shí)學(xué)生甚至題目還未讀完，教師就開始頻頻“引導(dǎo)”；即便是思維比較活躍的學(xué)生在思考的過(guò)程中，也不斷被教師所謂的“啟發(fā)”所打斷.結(jié)果，一些通性通法被生硬地“植入”到學(xué)生的頭腦中，學(xué)生只能機(jī)械地解題，遇到新題、難題就抓耳撓腮，無(wú)所適從.

教學(xué)，既要教，也要學(xué)，更要教學(xué)生學(xué).教是為學(xué)生創(chuàng)造條件，教是為了促進(jìn)學(xué)，激發(fā)學(xué)，是為了加速學(xué)，但無(wú)論如何教不能代替學(xué)，沒有學(xué)則教無(wú)意義[1].富蘭克林曾說(shuō)：告訴我，我會(huì)忘記；教給我，我可能記??；讓我參與，我才能學(xué)會(huì).點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花比灌輸給學(xué)生解題的方法更有效.比如在講解本題時(shí)，筆者先進(jìn)行調(diào)查，讓學(xué)生大膽說(shuō)出當(dāng)時(shí)的想法以及思路遇到的障礙.“老師，我直接去絕對(duì)值討論的(函數(shù)最值法)，好像有點(diǎn)亂，搞暈了，沒做完”，“我用的數(shù)形結(jié)合，太緊張了，結(jié)果搞反了”，“我想到了分參，但也不怎么確定，沒敢做，時(shí)間也不太夠”，“我看到這一題時(shí)，大腦一片空白，好大一會(huì)沒有任何想法”，“對(duì)對(duì)對(duì)，我也是，什么法也想不到，根本沒有思路”……學(xué)生們求助的眼神告訴了筆者，他們急需聽到教師的講解，筆者沒有“心軟”，決定殘忍地“放手不管”.課堂上把時(shí)間還給學(xué)生，讓他們?nèi)プ灾魈骄?，并讓學(xué)生上臺(tái)展示，充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程.即便是學(xué)生的板演出錯(cuò)，教師也不是“一擦了之”，而是鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，大家共同研究出錯(cuò)的原因，給出正解.其中部分學(xué)生思路中斷的做法也由學(xué)生合作完成“續(xù)集”，然后大家談感受、講收獲，最后總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)、教訓(xùn).教師作為組織者的角色出現(xiàn)在課堂，當(dāng)學(xué)生研究出現(xiàn)困難時(shí)，教師也僅僅是“友情客串”.在整堂課的研究過(guò)程中，學(xué)生的積極性被充分調(diào)動(dòng)起來(lái),課堂參與度高，這些通性通法、解題思想扎根于學(xué)生的腦海里，這樣的解題教學(xué)才是高效的.

2)淺層次的一題多練事倍功半，階梯式的探究方能修得正果.

章建躍曾說(shuō)：在通性通法的解題教學(xué)中，要使學(xué)生逐步養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系出發(fā)思考和解決問題的習(xí)慣，這是發(fā)展學(xué)生思維能力的正道[2].如果學(xué)生不能很好地把握數(shù)學(xué)基本概念和思維，就很容易養(yǎng)成思維上的惰性.要使學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，熟悉通性通法，變式教學(xué)是一種行之有效的方法.但是所謂的“一題多變教學(xué)”很多僅停留在低層次的題?！吧稻殹鄙?，僅局限于對(duì)試題模式識(shí)別層面上的求解，學(xué)生在考場(chǎng)上遇到此類雖似曾相識(shí)卻又較為復(fù)雜的問題時(shí)常無(wú)計(jì)可施.筆者認(rèn)為階梯式的、遞進(jìn)式的解題教學(xué)才是行之有效的，這需要教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常對(duì)問題進(jìn)行深入挖掘.本題有這樣幾個(gè)“攔路虎”:含參、絕對(duì)值、分段函數(shù)，求解時(shí)需要涉及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論及數(shù)形結(jié)合等思想方法.如講解此題時(shí)，也可以先由一個(gè)容易題入手：

1)函數(shù)f(x)=x3-ax+x-2(其中x≥2)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是______；

2)函數(shù)f(x)=x3-ax+|x-2|(其中x>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是______；

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，可以達(dá)到潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的效果.之后再輔之以必要的跟進(jìn)訓(xùn)練，學(xué)生就會(huì)感覺復(fù)雜題僅僅是增加了“豪華包裝”而已，難題并不難.如果層層剝繭揭開這些“豪華包裝”，那么此類問題就會(huì)迎刃而解.教學(xué)中學(xué)生思維的訓(xùn)練深度決定了考場(chǎng)上的解題能力，只有平時(shí)引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行階梯式的研究性學(xué)習(xí)，才能提高學(xué)生創(chuàng)造性的解題能力，遇到新題難題能夠臨危不亂，冷靜分析，準(zhǔn)確作答.