一個(gè)距離 五種視角*
——基于直觀想象的2018年浙江卷第9題感悟

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(平湖中學(xué),浙江 平湖 314200)

2018年的高考已經(jīng)落下帷幕，浙江省高考數(shù)學(xué)試卷嚴(yán)格遵循了《2018年浙江省普通高中高考考試說明》(以下簡稱《考試說明》)中提出的“數(shù)學(xué)高考應(yīng)具有較高的信度、效度、必要的區(qū)分度和適當(dāng)?shù)碾y度”.試卷嚴(yán)格按照《考試說明》中的“數(shù)學(xué)學(xué)科的考試要發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既考查考生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握程度，又考查考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平以及進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能”的考核要求進(jìn)行命制.試卷對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查更是比比皆是，筆者僅以選擇題的第9題為例，談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的直觀想象素養(yǎng)的精彩考查.

1 考題重現(xiàn)，品味經(jīng)典

( )

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第9題)

本題是選擇題的第9題，優(yōu)秀學(xué)生必須要爭取得滿分，起著至關(guān)重要的作用.該題以向量為主要的考核知識(shí)點(diǎn)，向量因?yàn)槠鋷缀?、代?shù)雙重身份而特殊，在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用，因而地位十分重要，也成為高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一[1].試題以圓為背景，考查距離問題，對(duì)于圓的知識(shí)要點(diǎn)無論在人教A版《數(shù)學(xué)(必修2)》中第118頁“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”，還是在第124頁A組第5題“圓的直徑式方程”中都考查得淋漓盡致.

2 解法探究，品嘗思路

x2+y2-4x+3=0，

即

(x-2)2+y2=1，

圖1

從而平面向量b的終點(diǎn)B(x,y)是以C(2,0)為圓心、1為半徑的圓(如圖1)，過點(diǎn)C作CA⊥OA交⊙C于點(diǎn)B，于是

|a-b|min= |CA|-|CB|=

故選A．

點(diǎn)評(píng)考生在考場(chǎng)上是否想到利用坐標(biāo)法進(jìn)行研究向量終點(diǎn)的軌跡是解決此題的關(guān)鍵.通過坐標(biāo)法求出向量b的終點(diǎn)B的軌跡是一個(gè)圓，然后把問題轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)到射線上一點(diǎn)的距離問題，從而轉(zhuǎn)化為圓心到射線的距離問題.這樣的轉(zhuǎn)化對(duì)于大部分考生來說應(yīng)該都可以做到，也是非常有效的解法.

圖2

故選A．

點(diǎn)評(píng)該方法的關(guān)鍵是把常數(shù)3構(gòu)造成3e2，從代數(shù)的角度來理解，類比于齊次式的想法，b2-4e·b可以看成是二次，3是常數(shù)，因此需要把3構(gòu)造成3e2，然后寫出兩個(gè)向量數(shù)量積的形式.在考場(chǎng)上采用這樣的方法需要比較豐富的解題經(jīng)驗(yàn)和臨場(chǎng)應(yīng)變能力，具有較高的思維含量.

分析3(不等式視角)由b2-4e·b+3=0得

b2-4e·b+4e2=1，

從而

(b-2e)2=1，

于是

|b-2e|=1，

進(jìn)而 |a-b|= |(a-2e)+(2e-b)|≥

點(diǎn)評(píng)該方法的關(guān)鍵是要配成向量模的平方的形式，得出|b-2e|=1，接下來根據(jù)向量的三角不等式進(jìn)行構(gòu)造，從而把“兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的距離問題”轉(zhuǎn)化為“一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的距離問題”，解決起來會(huì)容易很多.在這個(gè)問題解決的過程中進(jìn)行了兩次放縮，因此還要檢驗(yàn)等號(hào)是否都能夠取到.

分析4(恒等式視角)由b2-4e·b+3=0，得

b·(b-4e)=-3.

圖3

由極化恒等式得

點(diǎn)評(píng)該方法先要轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量的數(shù)量積的形式，此時(shí)等式的右邊剛好是常數(shù).轉(zhuǎn)化后的等式恰好可以看成是有共起點(diǎn)的兩個(gè)向量的數(shù)量積為常數(shù)，這個(gè)形式非常容易想到極化恒等式，從而轉(zhuǎn)化動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為常數(shù).

圖4

分析5(代數(shù)視角)設(shè)e與b的夾角為θ，由b2-4e·b+3=0得

從而

由圖4可知，當(dāng)|a-b|取得最小值時(shí)，向量b在向量a與e之間，于是

令b2-5=t∈[-4,4]，則

點(diǎn)評(píng)該方法的入手是比較自然的，等式當(dāng)中有兩個(gè)變量：一個(gè)是向量|b|，另外一個(gè)是兩個(gè)向量的夾角(或夾角的余弦值).要研究|a-b|min問題，可以考慮用兩個(gè)變量之中的一個(gè)變量進(jìn)行表示，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式，接下來可采用以下5種不同的處理方式來解決|a-b|min問題.

故

點(diǎn)評(píng)研究函數(shù)的最小值，既要知道函數(shù)的定義域，也要知道函數(shù)的單調(diào)性，而當(dāng)已知定義域函數(shù)的單調(diào)性不能直接分析出來的時(shí)候，只有選擇利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究.在求導(dǎo)的過程中，既要清楚導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算量，也要知道復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，還要在有效的時(shí)間內(nèi)判斷出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，但作為選擇題這不是一種有效的處理方式.

處理2(三角換元)令t=4cosφ(其中0≤φ≤π)，則

點(diǎn)評(píng)三角換元的引進(jìn)，首先要看到變量的有界性，聯(lián)想到三角函數(shù)的有界性，對(duì)引進(jìn)的角進(jìn)行必要的限制，只要達(dá)到解決問題的目的即可.這樣的處理方式，一個(gè)非常大的優(yōu)勢(shì)就是把根號(hào)去掉了，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最小值問題，計(jì)算量明顯小了很多.

m2+t2=16.

點(diǎn)評(píng)在這個(gè)題目中，根號(hào)的存在對(duì)于問題解決是一個(gè)較大的障礙.平方去根號(hào)是一種非常直接的處理方式，但是如果僅在原等式中進(jìn)行平方是行不通的，因此需要引進(jìn)一個(gè)新的變量，再進(jìn)行平方，問題就轉(zhuǎn)化為一條動(dòng)直線和半圓的位置關(guān)系問題.

點(diǎn)評(píng)這樣的處理來源于形式上的構(gòu)造，這個(gè)形式剛好符合向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式，因此構(gòu)造兩個(gè)向量.本題構(gòu)造向量的方式不止一種，比較有效的構(gòu)造是一個(gè)向量是已知的，另一個(gè)向量的終點(diǎn)軌跡是比較熟悉的，此時(shí)代數(shù)式的最小值恰好可以通過圖形觀察出來.對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)比較高的學(xué)生還可以通過構(gòu)造柯西不等式進(jìn)行解決，如：

點(diǎn)評(píng)該方法通過引進(jìn)兩個(gè)變量，把一個(gè)等式轉(zhuǎn)化為3個(gè)等式，雖然等式的個(gè)數(shù)增加了，但對(duì)問題的理解變得更加容易了，其中一個(gè)等式表示一條直線，另一個(gè)等式表示上半圓，問題轉(zhuǎn)化為“圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)當(dāng)取得相同的橫坐標(biāo)對(duì)，縱坐標(biāo)的差的最小值問題”.

3 源題追溯，品評(píng)聯(lián)系

源頭1已知向量a≠e，|e|=1，滿足對(duì)任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則

( )

A.a⊥eB.a⊥(a-e)

C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)

(2005年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

源頭2已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則c的最大值是

( )

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

4 教學(xué)啟示，品鑒經(jīng)驗(yàn)

2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題的第9題在關(guān)鍵的位置起到了關(guān)鍵性的作用，解決它的視角多、入手寬，使得不同數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生能夠很好的區(qū)分，無論在解題時(shí)間上還是在解題效果上都達(dá)到了非常好的選拔功能.向量是幾何與代數(shù)的交匯區(qū)，向量的運(yùn)算有著濃厚的幾何背景，數(shù)形結(jié)合的思想在平面向量中得到最充分的體現(xiàn)[2].通過這道考題的設(shè)置給我們的教學(xué)指引了更明確的方向.

4.1 挖掘教材，關(guān)注問題本質(zhì)

在第9題平面向量的考查過程中，坐標(biāo)法的視角來源于解析幾何，利用圓的直徑端點(diǎn)坐標(biāo)來寫圓的方程來源于教材的課后習(xí)題，向量的三角不等式來源于教材中的例題，同時(shí)實(shí)數(shù)的三角不等式在教材中也是有明確要求的，對(duì)于極化恒等式的模型在人教A版《數(shù)學(xué)(必修4)》的例題中有兩處出現(xiàn)，在《數(shù)學(xué)(必修2)》的例題中也出現(xiàn)過一次.張奠宙教授曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn).”這道考題無論從哪一個(gè)視角入手，都需要把兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題，然后探討出動(dòng)點(diǎn)的軌跡.對(duì)于問題本質(zhì)的揭示有很多的處理方式，考生需要考慮的問題是如何在較短的時(shí)間內(nèi)揭示出問題的本質(zhì)，因此，在日常的教學(xué)中要更多地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的思考，同時(shí)辨別對(duì)于不同背景的問題該如何解決.

4.2 鉆研考題，注重相互聯(lián)系

自2004年以來，通過向量的模為背景進(jìn)行考查的浙江省數(shù)學(xué)高考試題出現(xiàn)的頻率是非常高的.在這些考題中，我們要認(rèn)真鉆研考查的背景及本質(zhì)、入手的視角，以及考題之間的相互聯(lián)系.比如2018年的這道向量考題，無論是試題的背景還是試題的解決辦法，在往年的考題中都頻繁出現(xiàn)，但是考查方法?？汲Ｐ?，都能夠很好地體現(xiàn)試題的選撥功能.因此在鉆研高考試題的過程中，既要探究試題本身的個(gè)性化內(nèi)容，又要品味試題之間的共性，從而發(fā)揮試題應(yīng)有的指導(dǎo)性作用.

4.3 培養(yǎng)能力，提升學(xué)科素養(yǎng)

2018年的這道向量考題，對(duì)于不同的考生來說，在考場(chǎng)上解題的效果是不一樣的.有的考生可能根本沒有辦法入手，有的考生可能花費(fèi)了較長的時(shí)間最后做出了正確答案，有的考生可能分分鐘就把問題解決了.這就體現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和考試能力，在能力的背后更多的是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的差異.這道考題無論從哪一個(gè)視角入手，都離不開直觀想象核心素養(yǎng)的考查，這也要求我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中要經(jīng)常關(guān)注數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)的滲透.在教學(xué)的過程中，要有勇氣在數(shù)學(xué)成長的路上等一下學(xué)生，多陪伴一下學(xué)生，如此學(xué)生才可能成長得更快，數(shù)學(xué)之路才會(huì)走得更遠(yuǎn).

總之，2018年的浙江省數(shù)學(xué)高考試題很好地體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》中提到的“使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想，使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理，使學(xué)生具有實(shí)事求是的態(tài)度、鍥而不舍的精神，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識(shí)世界”.試卷更多地關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考核，同時(shí)對(duì)教學(xué)的指導(dǎo)性更加明確，持久性更強(qiáng).