基于高考閱卷視角的解答題策略得分法*

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 劉成龍

☉四川省瀘州市瀘州高級(jí)中學(xué) 呂榮春

解答題是高考的重要題型，在整張?jiān)嚲碇姓加休^大的比重.如何在高考解答題的作答中取得較高的分?jǐn)?shù)是一線老師們長期關(guān)注的焦點(diǎn).為了解決這一問題，我們先了解一下評(píng)分細(xì)則的制定原則和呈現(xiàn)形式：基于數(shù)學(xué)本身、體現(xiàn)人文關(guān)懷，以采分點(diǎn)的形式呈現(xiàn).因此，一份試卷呈現(xiàn)的采分點(diǎn)越多，分?jǐn)?shù)就越高.為了獲得較高的分?jǐn)?shù)，意味著要呈現(xiàn)出更多的采分點(diǎn)，尤其是在不能完全解答或不能解答的試題上多答出采分點(diǎn).結(jié)合多年的高考閱卷經(jīng)歷，研究者認(rèn)為策略得當(dāng)，考生可以答出更多的采分點(diǎn).基于此，研究者提出策略得分法.所謂策略得分法是指通過調(diào)整答題策略，使原先不能得分或得分較低的試題獲得更高分?jǐn)?shù)的方法.常見策略得分的方法有七種：跳問得分法、缺步得分法、退步得分法、翻譯得分法、套路得分法、猜測得分法、高等工具得分法.下面對(duì)這七種策略得分法舉例說明.

策略一、跳問得分法

所謂跳問得分法是指跳過某一小問直接解答后面問題實(shí)現(xiàn)得分的解題方法.值得注意的是，對(duì)于一些遞進(jìn)式設(shè)問來講，試題的每個(gè)問之間相對(duì)獨(dú)立，前一問無法解答并不影響后面問題解答，并且前一問待求或需證的結(jié)論往往可以作為解答后面問題的條件.

例1 （2018年全國卷Ⅲ理科第19題）如圖1，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧C（D所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn).

圖1

（Ⅰ）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（Ⅱ）當(dāng)三棱錐M-ABC的體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

評(píng)析：本例第（Ⅰ）問與第（Ⅱ）問屬于獨(dú)立設(shè)問，即第（Ⅰ）問是否能夠解答并不影響第（Ⅱ）問的解答.因此，不能解答第（Ⅰ）問的考生可以直接解答第（Ⅱ）問.

策略二、缺步得分法

所謂缺步得分法是指解答問題時(shí)缺少某一步驟而給出其余步驟實(shí)現(xiàn)得分的解題方法.在解決問題時(shí)，可能某一步確實(shí)不能解答，但應(yīng)跳過這一步繼續(xù)完成剩余步驟的作答，特別指出，為了表達(dá)的邏輯性，不能完成的這一步往往要囫圇吞棗式地冠以“易證”“化簡可得”等詞語.一般來講，根據(jù)高考閱卷評(píng)分細(xì)則，缺少步驟所對(duì)應(yīng)的采分點(diǎn)不得分，但步驟之后呈現(xiàn)的采分點(diǎn)往往會(huì)酌情給分.

例2（2016年四川卷理科21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-alnx，其中a∈R.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；

評(píng)析：為便于說明缺步得分法，里先給出（Ⅱ）的參考答案［1］：

所以當(dāng)x>1時(shí)，m（x）為減函數(shù)，于是m（x）

從而h′（x）<0，于是h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

在本例的解答中，m（x）的單調(diào)性證明具有較高的難度，對(duì)應(yīng)的分值為4分.若未證明m（x）為單調(diào)遞減函數(shù)扣4分，但此過程后呈現(xiàn)的得分點(diǎn)均給分.

策略三、退步得分法

所謂退步得分法是指試題要求（或證明）一般情形下的結(jié)果（或結(jié)論），解答者退回到特殊情形作答實(shí)現(xiàn)得分的解題方法.對(duì)于某些試題解答受阻時(shí)，可以考慮研究問題的特殊情形，特殊情形不僅可以啟迪考生解答思路，往往也是高考閱卷的采分點(diǎn).

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

評(píng)析：解答本例可以先研究最特殊的情形：①當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°；②當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，故∠OMA=∠OMB.事實(shí)上，特殊情形剛好是得分點(diǎn).

例4（2017年全國卷Ⅰ理科第21題）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

評(píng)析：解答第（Ⅰ）問時(shí)需要對(duì)a的取值范圍分類討論，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)呢？不妨退回到a=0的情形，此時(shí)有f′（x）=-2ex-1<0，進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)a<0時(shí)，f′（x）<0顯然成立，于是a≤0時(shí)，f（x）單調(diào)遞減.事實(shí)上，“當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）單調(diào)遞減”正是一采分點(diǎn).第（Ⅱ）問求a的取值范圍，同樣可以運(yùn)用退步得分法得分：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）為單減函數(shù)，故至多有一個(gè)零點(diǎn).

策略四、翻譯得分法

所謂翻譯得分法是指將試題已知條件等價(jià)表征或?qū)⒋竽繕?biāo)、待證的結(jié)論等價(jià)敘述實(shí)現(xiàn)得分的解題方法.解答中，當(dāng)考生缺乏應(yīng)對(duì)思路時(shí)，最為直接的得分策略是翻譯.翻譯分為兩部分：（1）直譯：將試題的條件或?qū)⒋竽繕?biāo)、待證的結(jié)論用等價(jià)的方式表述；（2）延譯：將已知條件能推出的所有結(jié)論呈現(xiàn)在試卷中.

（Ⅰ）求a，b的值.

（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有O—→P=O—→A+O—→B成立？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由.

策略五、套路得分法

所謂套路得分法是指運(yùn)用既定套路解答問題，從而獲得分?jǐn)?shù)的解題方法.比如，解答直線和圓錐曲線問題的基本套路可概括為：設(shè)直線方程、聯(lián)立方程組、得到一元二次方程、運(yùn)用韋達(dá)定理得兩根和與積、運(yùn)用弦長公式計(jì)算等；再如，解答直線與圓錐曲線中點(diǎn)相關(guān)問題的基本套路為：設(shè)點(diǎn)、代點(diǎn)、找出中點(diǎn)表示方法等.事實(shí)上，在這些套路中往往隱含有采分點(diǎn)，會(huì)幫助我們意外得分.

例6（2018年全國卷Ⅲ理科第20題）已知斜率為k的直線l與橢圓為M（1，m）（m>0）.

（Ⅱ）略.

評(píng)析：本例（Ⅰ）涉及中點(diǎn)弦問題，解答的基本套路是：設(shè)點(diǎn)、代入橢圓、作差、變形等.具體步驟如下：

策略六、猜測得分法

所謂猜測得分法是指根據(jù)數(shù)學(xué)條件合理地猜測一些數(shù)學(xué)結(jié)論實(shí)現(xiàn)問題部分解決，從而獲得分?jǐn)?shù)的解題方法.猜想是對(duì)研究對(duì)象或問題進(jìn)行感知、分析、聯(lián)想，在直覺的基礎(chǔ)上做出合乎一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的判斷.猜想的常見方式有賦值猜想、經(jīng)驗(yàn)猜想、結(jié)構(gòu)猜想、類比猜想、直覺猜想、背景猜想等.盡管猜想僅能獲得問題的部分解，但絲毫不影響試題部分得分.

例7（2017年全國卷Ⅰ理科第17題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為

（Ⅰ）求sinBsinC；

（Ⅱ）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.

評(píng)析：本例可以從多個(gè)視角進(jìn)行猜測.（1）結(jié)構(gòu)猜測：（Ⅰ）中求得sinBsinC，（Ⅱ）中已知cosBcosC，很自然猜測要運(yùn)用公式cos（B+C）或cos（B-C）.（2）經(jīng)驗(yàn)猜測：面積為，經(jīng)驗(yàn)告訴我們可知會(huì)用到面積公式；同時(shí)含有邊角關(guān)系，往往需要借助正弦定理統(tǒng)一成邊或角的關(guān)系；最后由cos（B+C）或cos（B-C）可以猜測要用到余弦定理.因此，答題中將公式cos（B+C）、cos（B-C）、面積公式、正弦定理、余弦定理全部呈現(xiàn)在答卷中必然會(huì)有一些得分點(diǎn).

例8（2008年全國卷Ⅱ理科21題）設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax3-3x2.

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x），x∈［0，2］，在x=0處取得最大值，求a的取值范圍.

評(píng)注：本例可以通過賦值猜想得分［2］：

易知g（x）=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2（x+3）-3x（x+2）.由g（x）在區(qū)間［0，2］上的最大值為g（0），于是當(dāng)x=2時(shí)，有

策略七、高等工具得分法

所謂高等工具得分法是指運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中的工具解答試題，從而實(shí)現(xiàn)得分的方法.常見的高等工具有洛必達(dá)法則、Jensen不等式、泰勒展開式、拉格朗日中值定理、不動(dòng)點(diǎn)理論等.高考閱卷并不排斥運(yùn)用高等工具解答高考試題，只要有理有據(jù)即得分.因此，在歷年評(píng)分細(xì)則的制定中不乏運(yùn)用高等工具解答的身影.

例9（2018全國卷Ⅲ理科21題）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（Ⅰ）若a=0，證明：當(dāng)-10時(shí)，f（x）>0；

（Ⅱ）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a.

分析：本例含有深刻的高等數(shù)學(xué)背景，用初等解法涉及高難度的構(gòu)造和煩瑣的運(yùn)算，據(jù)閱卷場反饋信息來看，某省近30萬考生用初等解法完全做對(duì)的僅數(shù)人，但運(yùn)用高等工具解答可以降低試題的難度，從而實(shí)現(xiàn)策略得分，如下：

文中介紹了策略得分法的常見七種類型，每一種類型并非獨(dú)立，這需要考生仔細(xì)品味.對(duì)于某一問題的解決可能運(yùn)用多種策略，這需要考生在摸索中熟練掌握.總之，希望考生提高應(yīng)考智慧，贏得更高的分?jǐn)?shù)，最終實(shí)現(xiàn)人生夢想.