巧借花容添月色
——極化恒等式在數(shù)量積問題中的應(yīng)用賞析

☉江 蘇 省 常 熟 中 學(xué) 章文昊

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué) 殷偉康

一、極化恒等式概念的解讀

上式表明向量的數(shù)量積可以由向量和、差運(yùn)算的模來表示，該式溝通了向量的數(shù)量積與向量線性運(yùn)算的關(guān)系，將不可度量的向量的數(shù)量積關(guān)系轉(zhuǎn)化為可度量、可計(jì)算的數(shù)量關(guān)系.

圖1

極化恒等式的幾何意義：如圖1，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長與半底邊長的平方差，揭示了三角形中線與邊的關(guān)系，也可以理解為向量的數(shù)量積可表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的.形象地通過幾何圖形將向量的數(shù)量積進(jìn)行合理展示，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)量積概念的理解.極化恒等式最明顯的特征是兩個向量必須共起點(diǎn)，點(diǎn)D是兩個向量夾角所對第三向量（這兩個向量之差）上的中點(diǎn).極化恒等式將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為兩個向量模的關(guān)系，從而建立起了向量與幾何長度（數(shù)量）之間的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)了向量與幾何、代數(shù)三者的有機(jī)結(jié)合，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

二、極化恒等式的應(yīng)用賞析

在求解向量的數(shù)量積問題時，常用方法是基底法、坐標(biāo)法和圖形法（幾何意義法），但有時其解題過程由于運(yùn)算復(fù)雜、過程繁冗而導(dǎo)致錯誤.若能巧用極化恒等式，往往化繁為簡，快速找到解題突破口.本文以近幾年高考、江蘇省大市級統(tǒng)考試題為例，對極化恒等式在數(shù)量積問題中的應(yīng)用進(jìn)行歸類剖析，探索其解題規(guī)律，并賞析其獨(dú)特的解題魅力.

（一）用極化恒等式巧求數(shù)量積的值

例1（2016年江蘇卷）如圖2，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點(diǎn)，的值是______.

圖2

評注：解決平面向量問題的通性通法是選好一組不共線的基底向量，并運(yùn)用它們表示其他向量.本題的解題關(guān)鍵是把已知條件與所求目標(biāo)轉(zhuǎn)化為運(yùn)用來表示.平面向量數(shù)量積問題的另一種解法就是建立平面直角坐標(biāo)系，把數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算.運(yùn)用向量的性質(zhì)可以將分別轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)的向量數(shù)量積，利用極化恒等式構(gòu)造方程組，從而求出的值. 對于從中線與底邊這兩個方向?qū)ふ一紫蛄康臄?shù)量積問題，可以運(yùn)用極化恒等式，把數(shù)量積轉(zhuǎn)化為數(shù)量的運(yùn)算，這樣能更快地尋找到解題思路.

例2 （2018年蘇北四市高三第一學(xué)期期末試題）如圖3，在△ABC中，已知AB=3，AC=2，∠BAC=120°，D為邊BC的中點(diǎn).若CE⊥AD，垂足為E，則的值為______.

圖3

圖4

解法1（坐標(biāo)法）：如圖4，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則

評注：不少同學(xué)試圖從基底法角度進(jìn)行探求，結(jié)果無功而返.嘗試坐標(biāo)法，卻又不知如何合理建立坐標(biāo)系.解法1是根據(jù)圖形的特征，變換角度，重新設(shè)置圖形（便于三角形的頂點(diǎn)用坐標(biāo)表示），如圖4，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系，將向量數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來求解.代數(shù)與幾何二者的有效結(jié)合，可以最大程度上優(yōu)化解題過程，提高解題效率.解法2是利用余弦定理先計(jì)算出BC長度，運(yùn)用極化恒等式求出|，再利用面積關(guān)系求得||， 然后利用向量知識將轉(zhuǎn)化為僅含|的關(guān)系式即可.解法3是在解法2基礎(chǔ)上的改進(jìn)，利用△ACD的三條邊及余弦定理計(jì)算出cos∠ADC值，利用Rt△DCE的邊角關(guān)系求出||，再運(yùn)用極化恒等式將即可.

（二）用極化恒等式探求數(shù)量積的最值

例3（2012年南京市二模）在面積為2的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，則—的最小值是______.

解法1（坐標(biāo)法）：由題設(shè)知，△PBC的面積為1，以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，過點(diǎn)B與直線BC垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

圖5

變式 在面積為2的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線EF上的任意一點(diǎn)，則的最小值是______.

解析：如圖5，取BC中點(diǎn)D，

評注：對例3及其變式的解題方法進(jìn)行反思：能否找到這類問題的本質(zhì)？這類問題隱含的數(shù)學(xué)背景是什么？這類問題能否進(jìn)行推廣？目標(biāo)問題—實(shí)質(zhì)上是外森比克不等式的另一種表示形式.外森比克不等式是經(jīng)典數(shù)學(xué)模型，已知a，b，c是△ABC的三條邊長，△ABC的面積為S，則a2+b2+c2≥4S.運(yùn)用極化恒等式對例3變式進(jìn)行如下推廣.

推廣1：在面積為2S的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線EF上的任意一點(diǎn)，則—的最小值是

推廣2：在面積為2S的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線EF上的任意一點(diǎn)，則的最小值是

推廣3：在面積為2S的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線EF上的任意一點(diǎn)，當(dāng)-2≤λ≤2，則

通過問題的系列變式和推廣，層層遞進(jìn)，探究數(shù)學(xué)規(guī)律，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究過程，領(lǐng)悟問題本質(zhì)，把握方法要領(lǐng)，促進(jìn)思維能力提升，并能從中領(lǐng)略與欣賞極化恒等式之妙用，培育數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（三）用極化恒等式確定數(shù)量積的取值范圍

例4（2015年南通市三模）如圖6，已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).以A為圓心，AE為半徑，作弧交AD于點(diǎn)F.若P為劣弧E（F上的動點(diǎn)，則P—的取值范圍是______.

解析：如圖6，取CD中點(diǎn)M，

由極化恒等式得

圖6

向量數(shù)量積問題具有綜合性強(qiáng)、靈活性大等特點(diǎn)，其難點(diǎn)是解題方向不明確，因而解題方法和解題工具的合理選擇顯得尤為重要.極化恒等式不僅是一種基向量思想的公式化表達(dá)式，而且在解決向量數(shù)量積問題中有著不可估量的作用.在欣賞極化恒等式妙用過程中，體會到極化恒等式也是破解向量數(shù)量積問題的利器之一.因而在解決掌握向量數(shù)量積最值、取值范圍問題通性通法（基底法、坐標(biāo)法、幾何意義法）的基礎(chǔ)上，若能根據(jù)圖形特征，巧妙地運(yùn)用極化恒等式進(jìn)行思考與探求，實(shí)現(xiàn)數(shù)形思維的轉(zhuǎn)換，有利于拓寬解題思路和方法，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).