數(shù)列與其他知識交匯命題思路再探

☉江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué) 王 磊

近幾年高考數(shù)學(xué)命題特點(diǎn)是注重知識的交匯點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn)，以及數(shù)學(xué)知識之間的縱向和橫向的有機(jī)聯(lián)系.數(shù)列是考查同學(xué)們邏輯思維能力和推理能力的好素材，新課標(biāo)下的高考對數(shù)列的考查呈現(xiàn)出綜合性強(qiáng)、立意新、難度大的特點(diǎn)，注重在知識交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)問題，考題往“桃李嫁接”的方向發(fā)展.下面舉例剖析，供參考.

一、數(shù)列與推理的交匯

歸納推理是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和重要工具.近幾年高考加大了對推理與證明的考查力度，而利用歸納推理解決數(shù)列問題成為高考的一個(gè)新亮點(diǎn).

例1 在日本東京舉行的第52屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第2，3，4，…堆最底層（第一層）分別按圖1所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f（3）=______；f（n）=______（答案用n表示）.

圖1

歸納推理是通過對特殊的、具體事物的分析、認(rèn)識、研究，從而導(dǎo)出一般性結(jié)論的方法.在歸納推理中，根據(jù)同一個(gè)前提，有時(shí)可以得出不同的結(jié)論，這種結(jié)論的正確性有時(shí)是很難證明的，而且由幾個(gè)特殊對象歸納出的結(jié)論也不一定正確，還要經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn).

二、數(shù)列與算法的交匯

例2 執(zhí)行如圖2所示，的程序框圖，若p=0.8，則輸出的n=______.

圖2

數(shù)列與算法的結(jié)合考查是高考的一個(gè)新“靚點(diǎn)”，在各個(gè)省的自主命題中都有體現(xiàn)，同學(xué)們在學(xué)習(xí)時(shí)要注意對其規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，熟練轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題進(jìn)行處理.變量追蹤法解決問題思路簡單，但往往過程煩瑣，而且步驟太多時(shí)不易操作，但將此題轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和問題與解不等式問題，就使得解題的藝術(shù)性和思想性大大提高.

三、數(shù)列與三角的交匯

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn=2nan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的表達(dá)式.

所以Tn=π［（2n-3）·2n+3］.

三角是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是歷年高考的必考知識點(diǎn)，它與數(shù)列相結(jié)合進(jìn)行考查的題目類型主要有下面四種：①角A，B，C成等差數(shù)列型；②角A，B，C成等比數(shù)列型；③三邊a，b，c成等差數(shù)列型；④三邊a，b，c成等比數(shù)列型.

四、數(shù)列與應(yīng)用問題交匯

例4 第二屆夏季青年奧林匹克運(yùn)動會于2014年8月16日～28日在江蘇南京舉行，從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某宣傳部門決定建立一個(gè)“科技展覽基地”，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少倍.本年度旅游基地旅游業(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加倍.

（1）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元.寫出an，bn的表達(dá)式；

（2）至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

解析：（1）第1年投入為800萬元，第2年投入為800×

所以，n年內(nèi)的總投入為

所以需要至少經(jīng)過5年旅游總收入才能超過總投入.

投資理財(cái)中這一類問題通?？蓺w結(jié)為等比數(shù)列問題，利用等比數(shù)列知識求解，但往往要結(jié)合函數(shù)及不等式知識，對綜合能力要求較高.本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式基礎(chǔ)知識；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.H