一道數(shù)學(xué)探究題的教學(xué)與思考

☉安徽省淮北市第一中學(xué) 牛 松

☉淮北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 閆 寒

一、原題再現(xiàn)

題目 已知一個(gè)函數(shù)的解析式為y=x2，它的值域?yàn)椋?，4］，這樣的函數(shù)有多少個(gè)？試寫出其中兩個(gè)函數(shù).

這是一道開放題，有無數(shù)個(gè)不同的答案，為了更好地體現(xiàn)學(xué)生的主體性地位，筆者先讓學(xué)生自己獨(dú)立思考，讓學(xué)生盡可能多想幾個(gè)答案，同時(shí)，在教室來回巡視.巡視過程中看到好多同學(xué)都有了答案，有的還不止兩個(gè)，而且不同的學(xué)生的答案是不同的.于是筆者又讓學(xué)生把自己的想法在小組內(nèi)相互交流，相互啟發(fā)，共同解決問題.

小組討論結(jié)束后，讓每組選出代表匯報(bào)成果，其他組可以補(bǔ)充.

組1：我們覺得函數(shù)的解析式是不變的，關(guān)鍵是定義域可取不同的范圍.如x∈［1，2］，x∈［-2，-1］.

師：你是怎么得到這兩個(gè)函數(shù)的？

組1：猜的，把兩個(gè)端點(diǎn)1，2或-1，-2代入得函數(shù)值分別為1和4.

師：很好，猜想也是一種數(shù)學(xué)思想方法.但它不是很嚴(yán)密的，需要進(jìn)一步論證.如果把兩端點(diǎn)代入得到1和4即可的話，那么當(dāng)x∈［-2，1］時(shí)，是否也滿足條件？

（這時(shí)馬上有同學(xué)示意要求發(fā)言）

組2：不對(duì)，如果把0代入，則函數(shù)值為0，不在值域范圍內(nèi).

這時(shí)另有學(xué)生在底下嘀咕：畫圖也可以看出來.

師：對(duì)，數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題很重要的思想方法.通過分析圖像，能不能驗(yàn)證一下第1組同學(xué)的答案的正確性？

組3：由圖像可知，這兩個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是連續(xù)的，且1和4分別為函數(shù)的最大值和最小值，所以組1的答案是正確的.但若x∈［-2，1］，則值域?yàn)椋?，4］，所以不滿足條件.

師：回答得非常好！同學(xué)們通過數(shù)形結(jié)合的方法驗(yàn)證了答案.那么，還有沒有別的符合條件的函數(shù)了呢？

（說到這里，筆者發(fā)現(xiàn)有的組突然沉默下來，而有的

這位同學(xué)的觀點(diǎn)似乎把剛才處于思維盲區(qū)的部分同學(xué)的思路一下子打開了，不少同學(xué)的臉上露出了會(huì)心的微笑……

組5：我們也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)特點(diǎn)，而且覺得滿足條件的函數(shù)有無數(shù)個(gè).

筆者抓住機(jī)會(huì)繼續(xù)問：“這無數(shù)多個(gè)函數(shù)的定義域都要滿足什么條件？有沒有什么規(guī)律？”

組5：發(fā)現(xiàn)了一些，如x∈［-2，-1］∪A，則A［1，2］；如x∈［1，2］∪B，則B［-2，-1］.

一些同學(xué)聽了，投去了崇拜的目光，又透露出不服輸?shù)谋砬椋g盡腦汁地想著其他可能的情況.

經(jīng)過一陣的小組討論，終于有學(xué)生舉手發(fā)言.

組6：也可以這樣寫，x∈［-2，a］∪［1，b］且-2≤a≤-1，1≤b≤2，|a|≤b.

組7：也可以這樣寫，x∈［c，-1］∪［d，2］且-2≤c≤-1，1≤d≤2，|c|≥d.

師：剛才三組同學(xué)分析出了可能的幾種情況，通過這些情況的研究，誰(shuí)能最后總結(jié)出隱含的規(guī)律呢？

熱鬧的教室一下子安靜了下來，同學(xué)們陷入沉思之中……

過了一會(huì)兒，有一位學(xué)生自告奮勇站了起來.

生1：我覺得這兩個(gè)集合應(yīng)滿足：（1）在y軸的兩側(cè)；（2）負(fù)數(shù)集合中元素的絕對(duì)值所構(gòu)成的集合與正數(shù)集合的并集應(yīng)為［1，2］，這樣函數(shù)的值域一定為［1，4］.

師：概括得非常好！只要滿足這兩個(gè)條件的集合的并集所對(duì)應(yīng)的函數(shù)即為所求函數(shù).

（這時(shí)，筆者看到有一位男生欲言又止）

師：有沒有同學(xué)還想補(bǔ)充？

生2：定義域能否可以由三個(gè)集合的并集構(gòu)成呢？組的同學(xué)似乎有點(diǎn)興奮，筆者立刻給予他們發(fā)言的機(jī)會(huì)）

師：你們有需要補(bǔ)充的嗎？

組4：我們覺得可以把定義域?qū)懗蓛蓚€(gè)集合的并集的形式.比如：

“一石激起千層浪”，同學(xué)們的情緒更加高漲了.筆者似乎能感覺到有部分同學(xué)心里在想：是呀！我怎么沒想到呢？

筆者及時(shí)表?yè)P(yáng)了該生的鉆研精神，同時(shí)又把疑問拋給全班同學(xué)：誰(shuí)來接招？

有了剛才兩個(gè)集合的探討，有部分同學(xué)已領(lǐng)悟了實(shí)質(zhì)，所以沒過一會(huì)兒就有學(xué)生舉起了手.

生3：也可由四個(gè)、五個(gè)甚至更多的集合的并集構(gòu)成，只要滿足負(fù)數(shù)集合中元素的絕對(duì)值組成的集合與正數(shù)集合的并集為［1，2］.

師：真棒！能否總結(jié)一下：若y=x2，它的值域?yàn)椋踤，m］，n，m∈R*，這樣的函數(shù)有多少個(gè)？它的定義域有何特點(diǎn)？

生4：這樣的函數(shù)有無數(shù)個(gè).定義域可由任意個(gè)集合的并集構(gòu)成，且這些集合的絕對(duì)值的并集為

至此這道題的教學(xué)基本任務(wù)已完成，如何對(duì)習(xí)題進(jìn)行必要的整合從而挖掘習(xí)題的最大功效是新課改的一個(gè)必要環(huán)節(jié).

師：剛才老師在巡視時(shí)，發(fā)現(xiàn)有同學(xué)把值域?yàn)椋?，4］看成{1，4}，所以他求出的兩個(gè)函數(shù)的定義域分別為{1，2}，{-2，-1}.如果這道題的值域就改為{1，4}，那么這樣的函數(shù)共有多少個(gè)？它的定義域有何特點(diǎn)？

生5：這樣的函數(shù)有兩個(gè)，定義域分別為{1，2}，{-2，-1}.

生6：定義域還可能為{-1，2}，{-2，1}.

師：大家不要輕易下結(jié)論，總結(jié)歸納一下，到底有幾個(gè)？

生6：定義域可以為{1，2}，{1，-2}，{-1，2}，{-1，-2}，{1，-1，2}，{1，-1，-2}，{1，-2，2}，{-1，-2，2}，{-1，1，-2，2}，共九種情況.

師：總結(jié)上面的結(jié)論，有何規(guī)律？

生7：定義域分別是從{1，-1}和{2，-2}中任取一個(gè)或兩個(gè)元素所組成的集合.可分為兩步，每步的種數(shù)與求含兩個(gè)元素的集合的非空子集的個(gè)數(shù)一樣，即（22-1）×（22-1）=3×3=9（個(gè)）.

師：若y=x2，它的值域?yàn)閧1，4，9}，這樣的函數(shù)的定義域有多少種情況？

生8：定義域分別是從{1，-1}和{2，-2}和{3，-3}中任取一個(gè)或兩個(gè)元素所組成的集合，共3×3×3=27（種）.

師：若y=x2，它的值域中含n個(gè)元素（不含0），那么定義域有多少種情況？

生9：3n（種）.

師總結(jié)：這節(jié)課我們從一道課本習(xí)題出發(fā)，研究了與之有關(guān)的一些問題，推廣到一般，得出了一些有用的結(jié)論.同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí)，要學(xué)會(huì)分析研究、歸納總結(jié)題中隱含的豐富的數(shù)學(xué)規(guī)律，拓寬思路，自主探究問題的解決途徑，不斷提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).課后，請(qǐng)同學(xué)們思考這樣的幾個(gè)問題：

（1）若函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=a（a∈R）對(duì)稱，值域?yàn)椋踤，m］（m>n>f（a）），這樣的函數(shù)的定義域有何特點(diǎn)？

（2）若函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=a（a∈R）對(duì)稱，值域?yàn)椋踤，m］（n

（3）若函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=a（a∈R）對(duì)稱，值域?yàn)閧m1，m2，m3，…，mn}（n∈Z*），這樣的函數(shù)的定義域有多少種情況？

二、一點(diǎn)思考

1.傳統(tǒng)教學(xué)模式下學(xué)生的一些不足狀況

傳統(tǒng)的教學(xué)方法以教師講、學(xué)生聽的注入式教學(xué)占主導(dǎo)地位.這種教學(xué)模式隨著改革開放，凸現(xiàn)出其不足.表現(xiàn)在學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造能力較弱.學(xué)生不能把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，不能把所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題中；學(xué)生機(jī)械地模仿一些常見數(shù)學(xué)問題解法的能力較強(qiáng)，而當(dāng)面臨一些新的問題時(shí)卻辦法不多，對(duì)于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想能力較差.

2.新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

新頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）的基本理念指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于……還應(yīng)倡導(dǎo)自主探究、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探索活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.”在新課標(biāo)的實(shí)施建議中也建議數(shù)學(xué)課堂中“既要有教師的講授和指導(dǎo)，也有學(xué)生的自主探究和合作交流，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情景，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題的解決途徑，使他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過程”.

作為一線的教師不但要關(guān)注新一輪課改的新理念，體會(huì)新課標(biāo)、教材的指導(dǎo)思想和改革重點(diǎn)，更要想方設(shè)法把它們落到課堂教學(xué)的實(shí)處.

3.新課改下教師的專業(yè)化

教師的專業(yè)包括教育和數(shù)學(xué)兩個(gè)方面.從教育素養(yǎng)看，一方面，使學(xué)生學(xué)到知識(shí)的同時(shí)“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”，形成熱愛知識(shí)、樂于學(xué)習(xí)的心里傾向；另一方面，通過自己的“言傳身教”培養(yǎng)學(xué)生積極向上的人生觀、價(jià)值觀.從數(shù)學(xué)素養(yǎng)看，要使學(xué)生在打好“雙基”的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”，形成理性精神.H