基于“學生提出問題”的數(shù)學教學

【摘 要】數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，數(shù)學活動本質上是數(shù)學思維活動，數(shù)學思維活動是以數(shù)學問題為載體的。數(shù)學教學的主體是學生，數(shù)學教學的目標是促進學生數(shù)學素養(yǎng)的提升，讓學生提問題就應該成為數(shù)學教學的基本要求。數(shù)學教學問題通常分為兩類：現(xiàn)實世界中提出的問題和數(shù)學內部生成的問題，它們分別在研究實際問題和數(shù)學研究中產(chǎn)生。數(shù)學教學要為學生提出恰當?shù)臄?shù)學問題創(chuàng)設合適的條件，讓學生經(jīng)歷提出問題、分析問題和解決問題的完整的數(shù)學過程，發(fā)展思維能力，提升學科素養(yǎng)。

【關鍵詞】數(shù)學教學；數(shù)學活動；數(shù)學思維；數(shù)學問題；學生自主提問

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）67-0007-04

【作者簡介】石志群，江蘇省泰州市教育局（江蘇泰州，225300）教研室主任，正高級教師，江蘇省特級教師，全國優(yōu)秀教師，江蘇省有突出貢獻的中青年專家。

蘇聯(lián)數(shù)學教育家A.A.斯托利亞爾提出了“數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學”的數(shù)學教學觀。[1]我國著名數(shù)學特級教師張乃達先生認為：“數(shù)學活動本質上是一種思維活動，沒有了積極的數(shù)學思維活動，也就失去了數(shù)學的教育價值，因此，學生是否展開了積極的思維活動應該是評價課的成敗的根本標準?！彼貏e強調：“沒有問題就沒有思維。數(shù)學思維就是以數(shù)學問題為載體，通過發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的形式，達到對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的本質的一般性認識的思維過程。”[2]因此，我們可以有這樣的結論：問題不僅是數(shù)學發(fā)展的動力，而且也是數(shù)學教學的載體；發(fā)現(xiàn)問題、解決問題不僅是數(shù)學研究的基本過程，而且是數(shù)學教學的基本過程。

現(xiàn)在的問題是：如何理解基于學生提出問題的數(shù)學教學？

一、對數(shù)學教學中“問題”的認識

一般地看，數(shù)學教學中的問題通常有兩類，一類是為解決現(xiàn)實世界、社會生活中的需要而提出的問題，一類是為解決數(shù)學內部的矛盾沖突或為解決研究數(shù)學問題的過程中所出現(xiàn)的困難、疑難而提出的問題。前者要在實際問題的基礎上進行抽象、概括等思維操作而形成，后者是從原有知識結構的基礎上，通過邏輯和直覺的手段而獲得。不管問題來自哪一個渠道，數(shù)學問題總是數(shù)學思維的產(chǎn)物。

數(shù)學教學中的“問題”應該是可以由學生自己提出的，或者說是能夠由學生自己提出的。對此，可從兩方面說明。

一方面，問題應該是由情境中自然產(chǎn)生，或由數(shù)學的邏輯，或由認知的傾向自然生成，也就是說，一節(jié)課中的諸多“問題”應該是有邏輯關聯(lián)或認知聯(lián)系的“問題鏈”。提出問題、解決問題的過程是數(shù)學研究、數(shù)學建構，或者說數(shù)學學習的思維過程，這個思維過程是具有很強的聯(lián)系性和延續(xù)性的。例如，在教學“數(shù)集的擴充與復數(shù)的引入”時，先介紹教材引言中意大利數(shù)學家卡爾達諾在其著作《大術》一書中給出的這樣一個著名的問題：把10分成兩個部分，使這兩部分之積為40。學生根據(jù)初中知識認為：方程x2-10x+40=0沒有解。于是提出問題：

問題1：方程x2-10x+40=0真的沒有解嗎？“方程沒有解”的意義是什么呢？

對此，我們提出“一連串”的問題：

方程2x=3，對于一個只知道整數(shù)的小學生來說一定是沒有解的，它真的沒有解嗎？

方程x+1=0，對于一個只知道非負數(shù)的小學生來說一定是沒有解的，它真的沒有解嗎？

方程x2=2，對于一個只知道有理數(shù)的初中一年級的學生而言一定是沒有解的，它真的沒有解嗎？

這使學生認識到：方程是否有解取決于數(shù)的范圍，在原來數(shù)集范圍內無解的方程可以在擴充后的數(shù)集中有解。于是自然就提出了：

回顧數(shù)學學科中“數(shù)的擴充”過程，要求學生通過從有理數(shù)集擴充到實數(shù)集的過程，探索“數(shù)集擴充”的基本原則。在此基礎上提出：

問題4：怎樣對實數(shù)集進行擴充，能夠使得卡爾達諾方程有解呢（也即負數(shù)可以開平方）？（以下略）

上述問題1問題4，是有著邏輯關聯(lián)、逐層遞進的，是遵循數(shù)學研究、數(shù)學思維的基本規(guī)律的前提下的邏輯必然。因此，它們“應該”能夠由學生“自己”提出來。

另一方面，教學過程中提供給學生進行研究的素材（原型、背景等），以及引領學生持續(xù)研究的問題的難度、深度、廣度都應該是與學生的認知能力相適應的，是處于最近發(fā)展區(qū)的，是經(jīng)過充分的準備，以便于學生產(chǎn)生心理需求和沖動（建構新知識的必要性）和建立必要的心理原型。比如，在學習函數(shù)概念的起始課上，教師直接提出問題“什么是函數(shù)”，這對于學生而言根本就不是問題，學生會感到非常茫然。這就需要我們?yōu)閷W生提供背景性的材料，通過將難以直接測量的量轉化為可以直接測量的量的現(xiàn)實原型，讓學生在認識到構建新的數(shù)學模型的必要性的同時，感受到變化過程中的兩個變量之間的依存關系是實現(xiàn)轉化的必備特征，從而就能夠“自己”提出這個問題。

當然，還有一類數(shù)學教學中的“細節(jié)”方面的問題，就是學習過程中出現(xiàn)的疑惑、難題，甚至錯誤。盡管是“細節(jié)”，但對課堂的進程也是非常重要的，不僅如此，它們對學生思維能力、思維品質等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有著更為重要的價值。

二、數(shù)學問題是怎樣產(chǎn)生的

從數(shù)學研究或數(shù)學發(fā)展的視角審視，有價值的數(shù)學問題通常有以下產(chǎn)生的方式。

現(xiàn)實的需求：土地丈量，產(chǎn)生研究圖形及其性質、度量等問題。

理論研究的需要：解方程的需要，分別產(chǎn)生了需要引入“新數(shù)”的問題，從而引入了負數(shù)、虛數(shù)；研究用正方形的邊長表示其對角線長的問題，產(chǎn)生了與已有的“萬物皆數(shù)”的哲學觀的沖突，形成了重大的數(shù)學危機。

數(shù)學研究的“規(guī)范”：研究數(shù)學對象就要研究其運算。例如，引進了“向量”的概念后，自然就會提出問題：向量的運算如何定義？

數(shù)學文化的影響：三大作圖問題只可能產(chǎn)生于古希臘文化之中，在古代的東方文化中，是不可能產(chǎn)生這樣的問題的。因為在重實用的東方文化中，根本沒有如此強烈的抽象意識和演繹的要求，更沒有公理化的思想，而這一切正是“尺規(guī)作圖不能問題”產(chǎn)生的文化基礎。

數(shù)學審美：這是數(shù)學家共同的價值觀，總是追求至“美”。數(shù)學家希望從不同的事物中看到共同點，從紛亂中看到秩序，從復雜的事物中看到簡單，從對立中看到和諧，從多樣化中看到統(tǒng)一。而追求和諧、統(tǒng)一和簡單的本質就是追求美，這是數(shù)學家的價值觀使然，是由他們的審美直覺決定的。

邏輯或直覺分析：通過推理（邏輯推理或合情推理）的方式，演繹出新的數(shù)學問題。例如，愛因斯坦的“探索性演繹法”充分體現(xiàn)了邏輯與直覺在探索思維過程中的重要作用。

認知沖突或觀念沖突：如上文所述，如果不是三次方程根的問題引發(fā)的問題沖突，僅僅是某一元二次方程不存在實數(shù)根，是不會引發(fā)問題意識的，也不會產(chǎn)生需要引進新數(shù)的需求的。正如《虛數(shù)的故事》的作者保羅·J·納欣所言：“任何一元二次方程都沒有使任何數(shù)學產(chǎn)生需要進行數(shù)集擴充的沖動，他們都是直接給出‘這個方程沒有根就算了。”虛數(shù)的產(chǎn)生源于被稱為“不可約方程”的三次方程。

數(shù)學家提出問題的方式對數(shù)學教學中如何在課堂上提出問題，特別是如何讓學生主動而自然地提出問題，特別是有價值的問題是非常重要的。

三、數(shù)學教學中“學生提出問題”的價值

數(shù)學家把提出問題和解決問題作為數(shù)學研究的基本過程，那么，數(shù)學教學也應該組織成提出問題和解決問題的過程，把數(shù)學理論的學習和數(shù)學知識的應用都看成是提出問題和解決問題的活動，從而形成“提出問題——解決問題——提出新問題……”的教學結構。

在上述教學結構中，每個過程不是獨立的、割裂的，而是綜合的、交叉的，相互之間你中有我，我中有你：提出問題的過程中可能局部地需要解決一些問題，否則提不出有價值的問題，而解決問題的過程中也需要不斷地提出一些子問題或輔助性的問題，將問題重新歸結或轉化。從這個意義上看，解決問題的過程與提出問題是密切相關的，解決問題的能力（用數(shù)學的思維分析問題的能力）歸根到底還是提出問題的能力：提出一個類似的問題、一個相關的問題、一個等價性問題、一個輔助性問題、一個特殊性問題……

“提出問題”也就是發(fā)現(xiàn)問題。如果是從現(xiàn)實背景中提出問題，那么，其心理過程（思維過程）就是抽象、概括等，用數(shù)學的語言進行表達；如果是從數(shù)學內部提出問題，那么其心理過程就是歸納、類比、分析等推理性思維，是對已有數(shù)學知識的推廣、延拓、引申，或是對數(shù)學推理所形成的“邏輯矛盾”的反思和消解。當然，數(shù)學教學中還有可能因為錯誤地運用受限制的命題，或思維過程的不嚴謹，也會產(chǎn)生結論的“沖突”，也就會形成教學中的“意外”性的問題，這類問題的發(fā)現(xiàn)則需要進行溯源、比對性驗證等思維活動。

基于以上分析，我們可以看到，數(shù)學教學過程中學生參與提出問題是實現(xiàn)數(shù)學教育價值的基本要求和有效路徑。因為學生參與了數(shù)學再發(fā)現(xiàn)過程中的“提出問題”的過程，學生也就經(jīng)歷了數(shù)學家的探索過程，再現(xiàn)了數(shù)學的歷史過程。這不僅是數(shù)學知識生成過程，也是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的思維過程，更是數(shù)學思想、數(shù)學觀念的發(fā)展過程，因此，學生提問題是最好的訓練數(shù)學思維、滲透數(shù)學思想、發(fā)展數(shù)學觀念的形式。用不同的思維方式、經(jīng)歷各種提出問題的心理過程，可以不斷地完善學生的認知結構，提升其學科素養(yǎng)和核心能力。

四、學生提出問題的教學條件

怎樣培養(yǎng)學生提問題的能力？怎樣讓學生能夠主動地參與提問題、提出有價值的問題？

從思維過程看，發(fā)現(xiàn)問題與提出問題表現(xiàn)為“意識到并表述出問題”，因此，提出問題特別是提出新問題的能力是一種高級思維能力（當然，問題有不同層次，這里所指為有較高數(shù)學價值的問題），從某種意義上說，這是創(chuàng)新能力的基礎。緣于此，培養(yǎng)提出問題的能力是一項難度很大的工作。

那么，怎樣培養(yǎng)學生提問題的能力呢？

循序漸進是一項基本要求，這里不再闡述，主要從一些基本條件的創(chuàng)設上談一點個人的看法，供參考。

1.形成問題情境，創(chuàng)造學生自己提問題的思維場。

提出問題需要背景性的、經(jīng)驗性的感性認知的支撐，而獲取這些經(jīng)驗認知的方式正是提出問題的能力基礎。教學中，需要先提供較為豐富的經(jīng)驗性材料以使學生獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗，誘發(fā)其產(chǎn)生提問題的心理傾向，逐步地學會提問題的方式，形成并發(fā)展提問題的能力，從而增強提問題的意識。說到底，讓學生學會提問題，就是要在教學過程中充分暴露發(fā)現(xiàn)問題，并由其引導再提出問題的思維過程。

例如，初中數(shù)學中“圓周角”的概念，如果沒有基本活動經(jīng)驗的支撐，學生是沒有提出這個問題的心理需求的，是想不到提出這個問題的，更不理解教師或教材怎么想到要考察角的頂點在圓周上、角的兩邊與圓周相交的角的。因此，教學中應該先從圓心角及其性質出發(fā)，根據(jù)數(shù)學的價值觀念和審美需求，提出第一個問題：在圓所在平面內是不是還存在其他的點，其對同弧或等弧張定角？（發(fā)現(xiàn)變化之中的不變性、多樣中的統(tǒng)一性是數(shù)學家們的價值觀所在）；再通過“幾何畫板”（或其他軟件）進行探索（角所對弧不變，角的頂點運動，運動過程中將角的大小測量并顯示出來），發(fā)現(xiàn)當角的頂點在圓周上運動時，角的大小不變，有了這些感性認識，學生自然會產(chǎn)生這樣的想法：真的是定值嗎？怎樣證實這個結論呢？如果證實了這個猜想，那么這樣的角就非?！疤貏e”了，需要給它們“起個名字”了。在這里，所提問題不是教師強加給學生的，是在學生經(jīng)驗積累后的自然行為。

2.暴露數(shù)學中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的思維方法，滲透數(shù)學思想方法。

比如，“反思”是提出問題的重要的思維形式，而且是能夠提出較為深刻的問題的重要途徑，不僅如此，它也是發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，形成數(shù)學意識與觀念的有效手段。這是因為，人們尤其是學生，總是習慣于運用常識或直覺進行判斷，并且對所作出的結論很少懷疑，這緣于他們的理性精神，或者說科學精神還不強，這正是數(shù)學教學的根本任務。引導反思，運用反思發(fā)現(xiàn)問題正是增強學生的理性精神的基本路徑。例如，在講“直線與平面垂直”的概念時，教師通常用操場上的旗桿與地面、跳水運動員入水時身體的最佳形態(tài)與位置等，讓學生感受到“線面垂直”的意象，確實，學生們也大多能夠“正確”回答出“線面垂直”的答案，但對于“什么叫作線面垂直？”“怎樣才是線面垂直？”“為什么這樣就是線面垂直？”等問題，學生是不容易回答的。教師的任務就是追問學生這些問題，如果學生從教材上找到答案（定義），就要繼續(xù)追問：“為什么要直線垂直于平面內的所有的直線？”引導學生類比平面內的線線垂直的概念，“為什么要求相交直線所成的四個角中有一個角為90°”？

這個過程看似是教師在提問題，實質是在培養(yǎng)學生的反思意識，讓學生學會反思，學會質疑自己的或別人的觀點，讓質疑成為習慣，反思成為自然。特別地，對自己的直覺，或根據(jù)常識做出的判斷，即對自己的思維進行再思維的思維監(jiān)控機制，是學生思維品質的提升與完善。這一切，都是為了提高學生自己提問題的能力。

在教學過程中，要在創(chuàng)造學生自己提問題的條件的同時，還要注重對數(shù)學家發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的思想方法的滲透，逐步地提升提問題的能力，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

【參考文獻】

[1]A.A.斯托利亞爾.數(shù)學教育學[M].丁爾，譯.北京：人民教育出版社，1984.

[2]張乃達，過伯祥.張乃達數(shù)學教育——從思維到文化[M].濟南：山東教育出版社，2007.