數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)：兒童帶得走的智慧

梁培斌

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)即是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)。數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，還存在深刻性不夠、發(fā)散性欠缺、敏捷性滯后、批判性不足等諸多問題?；诎l(fā)展兒童核心素養(yǎng)的視角，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維要注意三個(gè)轉(zhuǎn)向，即教學(xué)取向要從“教例子”轉(zhuǎn)向“用例子教”，教學(xué)過程要從“靜態(tài)講授”轉(zhuǎn)向“動(dòng)態(tài)生成”，教學(xué)評(píng)價(jià)要從“關(guān)注學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)向“關(guān)注會(huì)學(xué)”。從整合的視角出發(fā)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的策略包括動(dòng)手操作、類比遷移、變式思考等。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；動(dòng)手操作；類比遷移；變式思考

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2018）07A-0094-04

數(shù)學(xué)教學(xué)即數(shù)學(xué)思維的教學(xué)。培養(yǎng)學(xué)生“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式觀察分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，解決日常生活和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題”已成為學(xué)生適應(yīng)更高層次學(xué)習(xí)和社會(huì)發(fā)展需要的關(guān)鍵能力，也是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)改革的風(fēng)向標(biāo)。

一、現(xiàn)狀叩問：尋找數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)形成的生長(zhǎng)點(diǎn)

近年來，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維已引起一線教師的普遍關(guān)注，但因?yàn)榉N種原因，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)還存在諸多問題，主要包含如下幾點(diǎn)。

（一）數(shù)學(xué)思維的深刻性不夠

思維的深刻性是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)。它能讓學(xué)生從簡(jiǎn)單的、普通的、司空見慣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而全面思考、探究概括，把握問題的核心。但調(diào)查結(jié)果顯示：許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)材料理解不到位，不能深刻把握問題的本質(zhì)，理不清條件之間的邏輯關(guān)系，不能做出正確的推理和判斷。

（二）數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性欠缺

發(fā)散性思維是重要的思維方式。它能讓學(xué)生用不同方法、從不同角度進(jìn)行思考，找到新的或更好的解決問題的路徑。但受思維定式的影響，許多學(xué)生不能迅速抓住問題本質(zhì)，思維缺乏流暢性；不能獨(dú)立解決數(shù)學(xué)問題，需要同伴或教師的幫助，缺乏獨(dú)立性；不能根據(jù)已知條件的變化及時(shí)地改變或調(diào)整思維方式，從新的角度來思索數(shù)學(xué)問題的過程，缺乏變通性。

（三）數(shù)學(xué)思維的敏捷性滯后

在解決問題的過程中，敏捷的數(shù)學(xué)思維能讓學(xué)生迅速、正確、合理地利用概念、性質(zhì)、法則等數(shù)學(xué)基本知識(shí)進(jìn)行積極思考，做出判斷與選擇。但調(diào)查結(jié)果顯示：許多學(xué)生不能短時(shí)間內(nèi)找到解決問題的有效方法，即使短時(shí)間內(nèi)解決問題，但正確率偏低。思維敏捷性滯后已經(jīng)成為不爭(zhēng)的事實(shí)。

（四）數(shù)學(xué)思維的批判性不足

批判性思維是有目的的、自我校準(zhǔn)的判斷。它能讓學(xué)生對(duì)已有的數(shù)學(xué)表述或論證提出自己的見解，以謀求改善，從而更新原有的認(rèn)知，提高學(xué)習(xí)的效率。但調(diào)查結(jié)果顯示：學(xué)生缺乏批判的意識(shí)，不敢對(duì)權(quán)威的觀點(diǎn)提出疑問，人云亦云、盲目附和；缺乏批判的方法，不愿在解決問題中思考解決問題的思路是否恰當(dāng)，不想檢驗(yàn)結(jié)果的正確性[1]。

二、出路審視：把握數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)形成的關(guān)鍵點(diǎn)

培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維，必須從轉(zhuǎn)變教學(xué)理念開始。

（一）教學(xué)取向——從“教例子”轉(zhuǎn)向“用例子教”

教學(xué)取向決定著教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容的方向。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂更傾向于“教教材中的例子”，至于例子中所包含的算理、算法、公式等全靠教師講授或?qū)W生記憶，即舍棄探究的過程，將所有的知識(shí)全部當(dāng)作陳述性知識(shí)進(jìn)行教授或?qū)W習(xí)?；跀?shù)學(xué)思維培養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂，更傾向于“用教材中的例子教”，即通過教材中例子的學(xué)習(xí)，教給學(xué)生思考的方法、解決的策略等程序性知識(shí)，并在程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（二）教學(xué)過程——從“靜態(tài)講授”轉(zhuǎn)向“動(dòng)態(tài)生成”

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)主要以掌握基本數(shù)學(xué)知識(shí)、訓(xùn)練基本數(shù)學(xué)技能為主要內(nèi)容，課堂往往采取教授、練習(xí)等教學(xué)方法為主，課堂基本呈現(xiàn)“靜態(tài)講授”模式?！皠?dòng)態(tài)生成”的課堂，注重學(xué)生動(dòng)手操作、參與探究、理性思考的動(dòng)態(tài)參與過程，重視在此過程中對(duì)基本數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟和基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累。因此，教學(xué)應(yīng)從“靜態(tài)講授”轉(zhuǎn)向“動(dòng)態(tài)生成”。

（三）教學(xué)評(píng)價(jià)——從“關(guān)注學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)向“關(guān)注會(huì)學(xué)”

長(zhǎng)期以來，課堂上對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)傾向于學(xué)會(huì)既定的知識(shí)與技能的評(píng)價(jià)，關(guān)注學(xué)習(xí)的結(jié)果。如此指向，容易造成教學(xué)只重結(jié)果，不重過程，一定程度上弱化了師生對(duì)知識(shí)獲取過程或思維培養(yǎng)過程的關(guān)注。因此，教學(xué)評(píng)價(jià)應(yīng)從關(guān)注結(jié)果走向兼顧過程，從“關(guān)注學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)向“關(guān)注會(huì)學(xué)”，讓學(xué)生成為有主動(dòng)學(xué)習(xí)意識(shí)和學(xué)習(xí)能力的終身學(xué)習(xí)者。

三、策略整合：尋求數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)形成的落腳點(diǎn)

（一）注重操作，強(qiáng)化對(duì)比，培養(yǎng)思維的深刻性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，數(shù)學(xué)思維發(fā)展的關(guān)鍵在于思維的深刻性的培養(yǎng)。

1.注重動(dòng)手操作，在深入探究中培養(yǎng)思維

小學(xué)生還處在動(dòng)作思維階段，其思維活動(dòng)往往從動(dòng)作開始。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)給學(xué)生充分的動(dòng)手操作機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在課堂上擺擺、拼拼、畫畫、折折，在“表象—思維—抽象”的活動(dòng)中，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、形成與發(fā)展過程，獲得思維的深刻性的發(fā)展[2]。

【例1】蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算”設(shè)計(jì)片段

首先，動(dòng)手操作，初步感知。小組合作，用邊長(zhǎng)1cm的小正方形擺出不同的長(zhǎng)方形，并記錄擺成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬、面積各是多少。初步感悟長(zhǎng)方形的面積可以用“長(zhǎng)×寬”計(jì)算。

接著，交流深入，推理抽象。教師出示：用1平方厘米的正方形量下面兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積（如圖1），請(qǐng)學(xué)生與同學(xué)交流是怎么量的，讓學(xué)生在想象、驗(yàn)證、交流中抽象出長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法。

最后，拓展延伸，遷移運(yùn)用。先不用擺正方形，運(yùn)用總結(jié)的長(zhǎng)方形計(jì)算方法求出面積，再深入思考：如果是正方形，面積該怎么算。

這樣設(shè)計(jì)，環(huán)環(huán)相扣，逐步深入，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從形象到抽象再到延伸的過程，完善長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算方法。在此過程中思維逐步走向深刻。

2.加強(qiáng)相似對(duì)比，在前勾后連中培養(yǎng)思維

正如烏申斯基所說：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切?！币?yàn)椴簧贁?shù)學(xué)概念、定理、公式等既有聯(lián)系，又有區(qū)別，容易混淆。如果重視它們的形成過程，弄清它們的來龍去脈，以形成清晰的數(shù)學(xué)認(rèn)知，對(duì)于培養(yǎng)思維深刻性大有裨益。

3.引導(dǎo)類比推理，在觸類旁通中培養(yǎng)思維

類比是一種重要的推理形式。在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類比遷移，由已知到未知，逐步解決問題。學(xué)生的思維就會(huì)在“解決問題—形成理論—解決問題”這一過程的反復(fù)中不斷走向深刻。

【例2】蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“列方程解決實(shí)際問題”

圖2練習(xí)鞏固的是“和倍”與“和比”問題，對(duì)于這樣的問題，就可以結(jié)合四年級(jí)學(xué)習(xí)的“和（差）倍關(guān)系”的問題，引導(dǎo)學(xué)生在“讀題—找出等量關(guān)系—列方程解答—檢驗(yàn)反思”中對(duì)比溝通、類比遷移，讓知識(shí)觸類旁通，深化理解。

（二）舉一反三，變式思考，培養(yǎng)思維的發(fā)散性

教學(xué)不僅是繼承和吸收，更是應(yīng)用和創(chuàng)新。在保持本質(zhì)不變的前提下，教師把問題的條件或結(jié)論略加變化，通過變式教學(xué)，開拓學(xué)生思路，使學(xué)生在縱橫發(fā)散，知識(shí)串聯(lián)、綜合貫通中舉一反三，形成發(fā)散性思維，進(jìn)而深刻把握問題的本質(zhì)，形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)。

1.調(diào)動(dòng)一題多問，在素材發(fā)散中培養(yǎng)思維

在教學(xué)中，教師按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)精心設(shè)計(jì)一組問題，進(jìn)行一題多問的發(fā)散性練習(xí)，既可以激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，深化對(duì)數(shù)學(xué)性質(zhì)、概念、法則、公式等知識(shí)的理解，又可以訓(xùn)練學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)方法和技能的運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性。

2.追求一題多解，在殊途同歸中培養(yǎng)思維

學(xué)習(xí)中，學(xué)生以需要解決的問題為發(fā)散點(diǎn)，充分運(yùn)用習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)方法等，從不同方向、不同層面思考數(shù)學(xué)問題、解決問題，以開闊解決問題的視野，優(yōu)化解決問題的思路，提高解決問題的能力，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維[3]。

【例3】蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“組合圖形的面積”

在初步認(rèn)識(shí)“割”“補(bǔ)”等基本方法之后，教師充分放手，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考、計(jì)算組合圖形的面積。如圖3，教師在教學(xué)中不拘泥于一種解法：有的將多邊形分割成一個(gè)三角形和一個(gè)正方形的和，有的將多邊形分割成一個(gè)小三角形與一個(gè)梯形的和，有的將多邊形添補(bǔ)成一個(gè)梯形與一個(gè)小正方形的差。

學(xué)生的思維在碰撞中打開，能從不同的角度分析、解決問題。經(jīng)常進(jìn)行類似的思維訓(xùn)練，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性與靈活性必將得到有益提升。

3.鼓勵(lì)一題多變，在靈活多變中培養(yǎng)思維

“一題多變”是培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散性的有效方法。它從不同角度、不同層面對(duì)問題進(jìn)行變化，引出一系列與本題相關(guān)的問題，形成一題多變的教學(xué)指向，使學(xué)生形成“弄懂一題，學(xué)會(huì)一片”的能力。同時(shí)，在一題多變的練習(xí)中，學(xué)生逐步掌握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，完善知識(shí)體系，擺脫思維定式，舉一反三，觸類旁通，使思維更加發(fā)散和靈活。

【例4】蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“解決問題的策略”

練習(xí)十一的第11題：師徒二人一共做了120個(gè)零件，師傅比徒弟多做16個(gè)，兩人各做了多少個(gè)？

這一問題學(xué)生在四年級(jí)學(xué)習(xí)“解決問題的策略”時(shí)已經(jīng)用畫線段圖的方法解決。同樣的題，在六年級(jí)的練習(xí)中，相比四年級(jí)的解答，這里要運(yùn)用“假設(shè)”的策略，假設(shè)都是師傅做或者假設(shè)都是徒弟做，再通過師傅與徒弟所做零件個(gè)數(shù)之間的相差關(guān)系，分別求出師傅和徒弟所做的零件個(gè)數(shù)。同樣的題，運(yùn)用不同的策略解答，思維的含量在提升。

（三）激發(fā)聯(lián)想，數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的敏捷性

數(shù)學(xué)思維的敏捷性集中反映了學(xué)生掌握知識(shí)的熟練程度和反應(yīng)速度兩個(gè)方面的內(nèi)容，是重要的思維品質(zhì)，可以從以下幾個(gè)方面入手。

1.引導(dǎo)知識(shí)遷移，在知識(shí)建構(gòu)中培養(yǎng)思維

知識(shí)的類比遷移有利于培養(yǎng)思維的敏捷性。教學(xué)中，以大概念、大問題為引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、公式、定理等融會(huì)貫通，形成清晰的、系統(tǒng)的基本知識(shí)結(jié)構(gòu)，有利于充分發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)結(jié)、轉(zhuǎn)換、遷移功能，培養(yǎng)思維的敏捷性。

【例5】蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)多位數(shù)”

教師引導(dǎo)學(xué)生從含有兩級(jí)數(shù)的讀法、寫法類推到含有三級(jí)數(shù)的讀法、寫法，在比較中發(fā)現(xiàn)：含有兩三個(gè)數(shù)級(jí)的多位數(shù)的讀寫方法與只有一個(gè)數(shù)級(jí)的多位數(shù)的讀寫方法是一樣的，都要按照從高到低的順序讀（寫），不同點(diǎn)在于每一級(jí)數(shù)讀完后要在后面添上一個(gè)“萬”或“億”字；同樣的道理，比較萬以內(nèi)數(shù)的大小，類推到比較億以內(nèi)的數(shù)的大??；求一個(gè)億以內(nèi)數(shù)的近似數(shù)，類推到求比億大的數(shù)的近似數(shù)等都是充分發(fā)揮數(shù)知識(shí)的聯(lián)結(jié)、轉(zhuǎn)換、遷移功能，使學(xué)生更好、更快地掌握新知識(shí)，進(jìn)而培養(yǎng)了思維的敏捷性。

2.鼓勵(lì)多向思考，在變通求解中培養(yǎng)思維

沒有大膽的猜想就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)。多向思考，即從一個(gè)目標(biāo)出發(fā)，沿著不同途徑去思考，探求多種答案，尋求多種解決問題方法。它有利于發(fā)展學(xué)生多角度思考問題的能力；同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從橫向、縱向、逆向等多角度思考數(shù)學(xué)問題，也能拓寬學(xué)生思路。長(zhǎng)期堅(jiān)持，數(shù)學(xué)思維的敏捷性必將得到提高。

（四）質(zhì)疑問難，查錯(cuò)究因，培養(yǎng)思維的批判性

具有批判性思維的重要表現(xiàn)就是具備科學(xué)的質(zhì)疑態(tài)度。具有批判性思維，可以排除慣性思維的干擾，直指問題的本質(zhì)所在。教學(xué)中可從以下幾方面著手。

1.鼓勵(lì)質(zhì)疑問難，在認(rèn)知深化中培養(yǎng)思維

問題是思維的先導(dǎo)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的過程。教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題解決的思維過程、結(jié)果以及所用的方法策略等進(jìn)行質(zhì)疑問難，促使學(xué)生自省學(xué)習(xí)行為、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并在此過程中培養(yǎng)思維的批判性。

2.引導(dǎo)查錯(cuò)究因，在學(xué)習(xí)自省中培養(yǎng)思維

科學(xué)家、哲學(xué)家波普爾曾言：“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素，發(fā)現(xiàn)的方法就是試錯(cuò)的方法?！币虼耍瑥男睦韺W(xué)角度看，引導(dǎo)學(xué)生查錯(cuò)究因就是利用“差異的刺激”喚醒學(xué)生的注意，讓學(xué)生在識(shí)錯(cuò)、議錯(cuò)、糾錯(cuò)中達(dá)到“觸類旁通、訓(xùn)練思維”的目的。因此，教師可以適時(shí)設(shè)計(jì)一些“致誤型”事例，誘使學(xué)生“上當(dāng)受騙”，以此展開探究，培養(yǎng)思維的批判性[4]。

在日常教學(xué)中，教師應(yīng)將思維培養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)，靈活運(yùn)用多種方法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，在此過程中提高學(xué)生綜合能力、發(fā)展數(shù)學(xué)思維。如此堅(jiān)持，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維必將有質(zhì)的飛躍和發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊麗.小學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)存在的問題及對(duì)策研究——以成都市龍泉驛區(qū)第×小學(xué)五年級(jí)1班為例[D].成都：四川師范大學(xué)，2016：12-17.

[2]曹彬.讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成為學(xué)生思維的生長(zhǎng)點(diǎn)[J].教學(xué)與管理，2017（14）：32-33.

[3]常磊.國(guó)內(nèi)外高層次（數(shù)學(xué)）思維研究述評(píng)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016（5）：28-30.

[4]邱廷建.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)[J].教育探索，2015（12）：37-40.

責(zé)任編輯：石萍