似曾相識燕歸來 數(shù)與形合“e”點(diǎn)通*
——例談?wù)憬?shù)學(xué)高考向量題的解法策略

●李承法 (開化中學(xué)，浙江開化 324300)

一年一度的浙江省數(shù)學(xué)高考向量題八方關(guān)注，被廣大高考試題研究者所青睞．筆者認(rèn)為2018年浙江省數(shù)學(xué)高考第9題依然盡顯“浙江風(fēng)格”，題面簡潔，題新意深．試題圍繞單位向量、向量的核心考點(diǎn)來創(chuàng)新命題，精彩紛呈．歷年浙江卷向量題的核心考點(diǎn)是模、數(shù)量積、線性運(yùn)算．因命題的角度不同，每年都會有新穎的試題情境，特別是特殊向量——單位向量出現(xiàn)時(shí)，就有不同的試題和解法．筆者以這道題及近年來浙江卷涉及單位向量的高考試題為例，梳理高考向量題的考查視角和解題策略，并作變式思考．

1 e與模:借用單位向量|e|=1

向量模就是向量長度，涉及它的問題求解通常有幾何和代數(shù)兩個(gè)角度:線段長

例1已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量 b滿足 b2－4e·b+3=0，則|a －b|的最小值是 ( )

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第9題)

解法1(幾何角度)因?yàn)?/p>

所以向量b的終點(diǎn)在以AE為直徑的圓上(如圖1)，于是|a－b|的最小值為|BC | =槡3－1．故選A．

評注解法1從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，借用單位向量e“數(shù)”的屬性——長度為1，利用方程的相關(guān)知識，再運(yùn)用向量a－b“形”的屬性，由幾何直觀觀察可知:當(dāng)DC⊥OC時(shí)，|BC|最?。?/p>

圖1

圖2

解法2(代數(shù)角度)設(shè)單位向量e=(1，0)，向量 b=(x，y)，因?yàn)?b2－4e·b+3=0，所以

即從而向量b的終點(diǎn)B在以點(diǎn)D(2，0)為圓心、1為半徑的圓上(如圖2)．設(shè)a所在直線方程為l:y=槡3x，則|a－b|表示b的終點(diǎn)到直線l的距離．又圓心D到直線l的距離為

評注坐標(biāo)法是解決向量問題的重要方法之一，其特點(diǎn)就是用代數(shù)的方法處理幾何問題，思維起點(diǎn)低，易于操作．解法2用坐標(biāo)法快速求解，不僅思維量小，運(yùn)算量也不大，降低了思維起點(diǎn)．前提是合理建系，否則會人為增加運(yùn)算量．

解法3(代數(shù)角度)因?yàn)閎2－4e·b+3=0，所以

即

整理得

下同解法1，略．

評注本題的核心是對數(shù)量積e，b的處理．關(guān)于數(shù)量積的運(yùn)算可用極化恒等式．解法3用極化恒等式聚焦本質(zhì)，將幾何與代數(shù)有機(jī)結(jié)合，巧妙轉(zhuǎn)化數(shù)量積，快速得到向量b的軌跡，從而找到解決問題的突破口．

解法4(代數(shù)角度)由解法3知|b－2e|=1，由圖1得

評注問題的“形”往往蘊(yùn)含著解題的思路與方法．試題是向量模的最值問題，可以從絕對值的“形”入手，進(jìn)行合理構(gòu)造，尋求解題思路．解法4由“形”而思，合理構(gòu)造．基于|a－b|及a，b的模構(gòu)造三角不等式，充分利用了絕對值的“形”，這里a，b幾何意義的確定是關(guān)鍵，同時(shí)結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，解法4顯得靈活快捷．

1．1 題源回溯

回溯浙江省數(shù)學(xué)高考單獨(dú)命題以來，筆者認(rèn)為例1與10年前這道高考題(例2)同源．

例2已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量．若向量c滿足(a－c)(b－c)=0，則|c|的最大值是 ( )

分析如圖30，所以點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，故|c|=|OC|的最大值為圓的直徑|AB|，即槡2．

圖3

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

此題為向量的模的最值問題，涉及了單位向量并應(yīng)用了單位向量模為1的屬性，形式上看是關(guān)于向量c的方程，本質(zhì)是考查圓的向量式方程．因此說例1與例2是同源試題，只不過例1對單位向量的設(shè)置更加靈活，情景更為新穎、獨(dú)到，令人拍案稱絕．

1．2 例1的變式與簡解

變式1己知 a=xb+yc(其中 x，y∈R)，|a|=|b|=2，c為單位向量，a·b－(a+b)c+1=0，則|a－b|的取值范圍是______．

解法1(代數(shù)角度:模的平方)因?yàn)?/p>

所以要求|a－b|的取值范圍，只需求a·b的取值范圍．由a·b－(a+b)c+1=0得a·b+1=(a+b)c=|a+b|·|c|cos θ≤|a+b|，其中 θ= ＜a+b，c＞，從而

解法2(幾何角度:構(gòu)圖建系)如圖 4，設(shè) c=(1，0)，A，B是以O(shè)為圓心、2為半徑的圓上兩點(diǎn)．由 a·b－(a+b)c+1=0得

圖4

2 e與夾角:幾何圖形中善用e

除了以圓為背景外，含有向量的模和單位向量e的問題還常常以三角形、平行四邊形、圓的弧、圓的弦(直徑)等幾何圖形為背景．

例3己知平面向量 α，β(其中 α≠0，α≠β)，且滿足|β|=1，α與 β －α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______．

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

解法1(幾何角度)設(shè)(如圖5)，則

圖6

圖5

根據(jù)α與β－α所成角為120°，知∠ACB=60°為定角，對邊AB=|β|=1為定值．作△ABC的外接圓，則點(diǎn)C在(優(yōu)弧)上運(yùn)動，恒有∠ACB=60°，從而|α|的取值范圍在圓中即為弦AC長度的變化范圍，可直接找出臨界位置(如圖6)，得|α|∈

解法2(代數(shù)角度)

思路1作OACB(如圖7)，則

圖7

由 題 意 知 ∠OBC=60°，在△OBC中，顯然

思路2在△OBC 中，設(shè)|α|=x，|β － α|=t，由余弦定理得

即

接著用主元法(t為主元)得此方程(函數(shù))有正根(零點(diǎn))，對稱軸

評注通過幾何圖形，借用正余弦定理，簡化了計(jì)算過程．若是用兩向量的夾角公式直接翻譯條件“α與β－α的夾角為120°”，計(jì)算就顯得繁瑣了，解題目標(biāo)不容易達(dá)成．

3 e與數(shù)量積:巧用數(shù)量積之投影形式

關(guān)于數(shù)量積的運(yùn)算主要有3條路徑，即定義法、投影法和公式法，因此涉及e的數(shù)量積試題根據(jù)情境條件可以選擇不同的計(jì)算形式．

例4已知 e1，e2是平面單位向量，且 e1·，若平面向量 b滿足 b·e=b·e=1，則12|b|= ______．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第13題)

分析(幾何角度)由e1，e2是單位向量，且的夾角為 60°．又 b·e=b·1e2=1，從而b在e1，e2方向上的射影都為1，由圖8可知△OAC≌△OBC(HL)，于是在△OAC中，

評注本題用幾何法直觀快速．解題的關(guān)鍵是對數(shù)量積幾何意義的理解:向量b在e1，e2方向上的射影都為1．

圖9

圖8

變式2已知平面向量 a，b，e，滿足|e|=1，a·e=1，b·e=2，|a －b|=2，則 a·b的最小值為______．(2014年浙江省溫州市高三第一次適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)理科試題第17題)

分析如圖9，設(shè) e，a，b是以 O為起點(diǎn)、分別以E，A，B為終點(diǎn)的向量．由向量數(shù)量積的幾何意義知:點(diǎn)A在垂直于e的直線l1上，且點(diǎn)O到直線l1的距離為1;點(diǎn)B在垂直于e的直線l2上，且點(diǎn)O到直線l2的距離為2．由|a－b|=2知|AB|=2，設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，由極化恒等式得

因此求a·b的最小值即求|OM|的最小值．顯然點(diǎn)M的軌跡為垂直于e的一條直線l3，而點(diǎn)O到直線l3的距離為，從而

評注平面向量數(shù)量積可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的幾何意義或者極化恒等式來代數(shù)運(yùn)算．

4 e與線性運(yùn)算:再用e和數(shù)量積的意義

經(jīng)典的試題經(jīng)得起時(shí)間的洗禮，多年以后總會反復(fù)出現(xiàn)，只不過將e重新包裝，舊曲換新詞，十年后再出新題．如2005年浙江卷向量恒成立問題換成包含空間向量的基本定理，e換成二元線性運(yùn)算xe1+ye2，就包裝成了2015年浙江卷向量恒成立試題(例5)，這當(dāng)然同樣可用通性解法(代數(shù)法或幾何法)來解決，只不過是將原來考查平面上點(diǎn)線距升級成考查空間的點(diǎn)面距(即點(diǎn)到平面的距離)問題，這可謂是“似曾相識燕歸來，數(shù)與形合‘e’點(diǎn)通”．

圖10

圖11

如圖11，因?yàn)椤螼BD=∠OAD=90°，所以點(diǎn)O，A，D，B 共圓，OD 為圓的直徑，從而

圖12

于是

從而BH的長就是點(diǎn)B到平面OMN的距離．

評注本題以空間向量形式呈現(xiàn)常見的幾何結(jié)論:平面外的點(diǎn)到平面的距離，垂線段最短．一般地，對于共起點(diǎn)的空間向量 a，b，c，|a+λb+μc|(其中λ∈R)表示向量a的終點(diǎn)與以不共線向量b，c所在平面上點(diǎn)的距離(點(diǎn)面距)，容易得到其最(其中n為向量b，c所在平面的法向量)．

5 e與不等式:善用重要不等式

例6已知向量 a，b，|a|=1，|b|=2，若對任意單位向量e，均有則 a·b的最大值是______．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

解法1(代數(shù)角度)由|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|

評注本題用了兩類重要不等式:

1)|a·e|=|acos＜ a，e ＞ |≤|a|，|b·e|=|bcos＜b，e ＞ |≤|b|;2)|a+b|≤|a|+|b|．

解法2(投影法)設(shè)向量a，b的夾角為θ，向量a，e的夾角為α，則可設(shè)向量b，e的夾角為θ+α，由向量數(shù)量積的幾何意義得

解法3(幾何角度)如圖13，設(shè)，(a－b)2=2(a2+b2)=10．作 AA1⊥e 于點(diǎn) A1，BB1⊥e于點(diǎn)B1，從而共線時(shí)，等號成立．若對任意單位向量e，均有

圖13

當(dāng)且僅當(dāng)單位向量e與向量a+b共線時(shí)，等號成立［2］．

6 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高考向量復(fù)習(xí)啟示

6．1 調(diào)整教學(xué)方法，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

浙江省數(shù)學(xué)高考向量試題的考查內(nèi)容與命題立意充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性．因此，向量復(fù)習(xí)教學(xué)中教師要重視“四基”與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)提升，做好課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)更多地關(guān)注數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而不要拘泥于對題型的研究、套路的演練，注重向量題的通性通法，注重向量的數(shù)形屬性的運(yùn)用教學(xué)．

6．2 向量題專項(xiàng)訓(xùn)練策略

每年高考向量問題的變，不論是單位向量e，還是其他向量，不管形式如何變化，我們只有以不變應(yīng)萬變．一是向量基礎(chǔ)知識不會變:建議在第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，重點(diǎn)放在基礎(chǔ)知識的全面落實(shí)上，以夯實(shí)基礎(chǔ)的不變應(yīng)向量問題的萬變;二是高考向量問題的命題思路和著力點(diǎn)不會變:在第二輪復(fù)習(xí)時(shí)，最好采取專項(xiàng)訓(xùn)練的方式，通過專題講解和專題練習(xí)提高思維能力和解題水平，在向量解題教學(xué)中，重視發(fā)展學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中的代數(shù)或幾何處理能力，優(yōu)化學(xué)生向量知識的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化向量的“數(shù)”和“形”屬性的理解和數(shù)學(xué)問題的理解，著重尋求問題的通解通法［3］，著重解題策略的選擇，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合．