深入挖掘題目內(nèi)涵 平凡中彰顯不平凡*
——基于2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第20題

●金燦芳 (蕭山中學(xué)，浙江杭州 311200)

1 考題再現(xiàn)

題目已知等比數(shù)列{an}的公比 q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5的等差中項(xiàng)，數(shù)列{bn}滿足b1=1，數(shù)列{(bn+1－bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2+n．

1)求q的值;

2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第20題)

在數(shù)列{an}中，n∈N*，其中q為常數(shù))，則稱{an}為等差比數(shù)列．

本題考查的是利用錯(cuò)位相減來求等差比數(shù)列的前n項(xiàng)和，全省的平均分不高，只有總分的一半．本題首先要利用數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和，將條件轉(zhuǎn)化成求等差比數(shù)列的前n項(xiàng)和，有很多學(xué)生這一關(guān)沒有轉(zhuǎn)化對(duì);在具體求和時(shí)，錯(cuò)位相減的方法也有很多學(xué)生沒有落實(shí)好．錯(cuò)位相減是數(shù)列求和問題的常規(guī)方法，可以將等差比數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為利用公式求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．我們深入研究該題，還能挖掘出更多的內(nèi)涵，這個(gè)數(shù)列可以利用待定系數(shù)求解，利用裂項(xiàng)相消求和，也可以構(gòu)造成常數(shù)數(shù)列，還可以構(gòu)造成等比數(shù)列，利用通項(xiàng)公式求解．

2 解法分析

解1)易得 a4=8，q=2．

2)由第1)小題易得 an=2n－1，令 cn=(bn+1－bn)an，則數(shù)列{cn}的前 n項(xiàng)和 Sn=2n2+n．由于因此 c=4n－1，代入得n．又 b－b是“差分”的形式，即nn－1bn=(bn－bn－1)+(bn－1－bn－2)+…+(b2－b1)+b1，從而

對(duì)于數(shù)列{anbn}，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，設(shè) an=a1+(n －1)d，bn=b1qn－1(其中q≠1)，求數(shù)列{anbn}前n項(xiàng)和的關(guān)鍵是求數(shù)列{nqn－1}的前 n 項(xiàng)和．令

兩式錯(cuò)位相減，得

移項(xiàng)得

綜上可知，利用錯(cuò)位相減的方法，任意等差比數(shù)列的前n項(xiàng)和都可以轉(zhuǎn)化成求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．

3 解法探究

3．1 構(gòu)造一般模型

3．2 構(gòu)造裂項(xiàng)相消

事實(shí)上，在本題的已知條件下，b1的值一定滿足數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，根據(jù)裂項(xiàng)相消的特點(diǎn)，可將 b=1 代入，得 C=15，即1

在這個(gè)解法中裂項(xiàng)相消的構(gòu)造是重要思想．第二種構(gòu)造大大地簡化了過程，并且在這樣的構(gòu)造下，通項(xiàng)公式的主要形式已經(jīng)明確，因此可以用待定系數(shù)法迅速求解，與“構(gòu)造一般模型”的思想類似，但是這樣的技巧需要平時(shí)的沉淀和積累．第一種構(gòu)造是從一般入手，只要等差比數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)都可以去嘗試，如在等比數(shù)列中，qn=不妨令 an=(xn+y)qn，因?yàn)?n+1)qn+1－nqn=nqn(q－1)+qn+1，所以

則an就表示成了裂項(xiàng)相消的形式．除此之外，裂項(xiàng)相消的一般形式還有以下4種:

3．3 構(gòu)造常數(shù)數(shù)列

這個(gè)解法是建立在已經(jīng)構(gòu)造好裂項(xiàng)相消的基礎(chǔ)上，本質(zhì)還是構(gòu)造裂項(xiàng)相消，若 an－an－1=f(n)－f(n－1)，則

an－f(n)=an－1－f(n－1)=…=a1－f(1)，從而{an－f(n)}為常數(shù)數(shù)列，即可求出{an}的通項(xiàng)公式．

3．4 構(gòu)造等比數(shù)列

用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列中的重要知識(shí)點(diǎn)，常見的有以下3類:

1)an=pan－1+q，令 an－ m=p(an－1－ m)，解則{a－m}是首項(xiàng)為 a－m、公比為pn1的等比數(shù)列．

2)an=pan－1+qn+r，令 an+xn+y=p［an－1+x(n－1)+y］，解得于是構(gòu)造了新的公比為p的等比數(shù)列，這就是本題的類型．

4 結(jié)束語

本題主要考查利用錯(cuò)位相減來求等差比數(shù)列的前n項(xiàng)和，深入研究可知方法不止一種．除了落實(shí)錯(cuò)位相減的方法，還可以向?qū)W生灌輸待定系數(shù)的方法和數(shù)列中其他的重要思想，比如從一般的、常見的裂項(xiàng)相消開始，能夠辨析一些復(fù)雜的裂項(xiàng)相消;不僅可以解決一次函數(shù)型的由遞推公式求通項(xiàng)公式，也能解決帶n的或指數(shù)型的由遞推公式求通項(xiàng)公式．

我們的教學(xué)主要是例題教學(xué)．優(yōu)質(zhì)的試題，通過教師的思維引導(dǎo)和解法展示，資源得到了充分的利用，達(dá)到了訓(xùn)練的目的，也能適度減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)［1］．在解題教學(xué)中要注重學(xué)生的解題思維，挖掘其中的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生在讀題、析題、解題、悟題的過程中提升自己的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)［2］．

這就要求教師要充分地研究題目，分析條件，挖掘各種有效的解題方法，有些看似平凡的題解法豐富，能讓學(xué)生有效地落實(shí)各種相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，在解題思維中彰顯它的不平凡．