優(yōu)化算法 提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)*
——以2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題為例

●曹方圓 (溫州市第二十二中學(xué)，浙江溫州 325000)

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)，其中包括數(shù)學(xué)運(yùn)算．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，主要包括:理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，它是一種演繹推理，是利用計(jì)算機(jī)程序化解決問題的基礎(chǔ)．可以說，沒有運(yùn)算就沒有數(shù)學(xué)．培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題［1］．

數(shù)學(xué)運(yùn)算是教師教學(xué)的“痛點(diǎn)”，學(xué)生學(xué)習(xí)的“懼點(diǎn)”．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算能力的現(xiàn)狀是:學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題一看就懂，一聽就會，一做就錯(cuò)．作為數(shù)學(xué)教師，如何改變學(xué)生運(yùn)算能力現(xiàn)狀，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)呢?就教學(xué)實(shí)施而言，能力的培養(yǎng)必須根植于相應(yīng)的知識．在高中階段，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的主要知識載體有不等式、函數(shù)、數(shù)列、向量、解析幾何、計(jì)數(shù)原理等．在高考等限時(shí)測試中，為提升解題的速度和準(zhǔn)確性，除了應(yīng)試者本身的運(yùn)算功底等主觀因素外，不能忽視的是算法的優(yōu)化．以下，筆者以2018年浙江省數(shù)學(xué)高考卷中的解析幾何、函數(shù)、數(shù)列考題為例，談?wù)勅绾蝺?yōu)化算法，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．

2 提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的主要途徑

2．1 解析幾何，以統(tǒng)一變量為目標(biāo)

如果在長期的教學(xué)中重演算、輕算理，就難免落入形式化、程序化等機(jī)械訓(xùn)練的窠臼中，學(xué)生必然會感到厭煩、枯燥、懼怕．任何一種算法都應(yīng)該是講道理的，忽視運(yùn)算中的邏輯思維成分也就使得計(jì)算淪為純粹的技能訓(xùn)練，根本無法招架綜合性的問題．因此，把運(yùn)算的過程理解為推理的過程，將運(yùn)算教學(xué)的重點(diǎn)落在思考與計(jì)算的統(tǒng)一，發(fā)展學(xué)生的思維水平，方能更好地體現(xiàn)運(yùn)算能力對于核心素養(yǎng)發(fā)展的價(jià)值［2］．

很多學(xué)生對解析幾何綜合問題幾乎到了“談虎色變”的地步，究其原因，可以概括為兩個(gè):“消不去”(即設(shè)定參數(shù)消不了)，“算不對”(即運(yùn)算出錯(cuò))［3］．而突破它們的法寶便是尋求“變量統(tǒng)一”．其中x＜0)上的動點(diǎn)，求△PAB面積的取值范圍．

圖1

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第21題)

分析該題求解的思路比較明顯，容易建立解決方案:1)通過證明yM=yP得到;2)建立S△PAB與xP或yP的函數(shù)解析式，求函數(shù)的值域．

2．1．1 合理引參，解決“消不去”的問題

引參、消參是解決解析幾何問題的基本策略，設(shè)定的參數(shù)消不去是學(xué)生解題時(shí)經(jīng)常遇到的障礙．由于坐標(biāo)法本身涉及的字母符號較多，運(yùn)算過程較

例1如圖1，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含 y軸)一點(diǎn)，拋物線C:y2=4x上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上．

1)設(shè) AB中點(diǎn)為 M，證明:PM⊥y軸;

2)若 P是半橢圓 x2+復(fù)雜，故在引參時(shí)，必須結(jié)合幾何圖形或所給的方程，最大限度地降低運(yùn)算的難度．

在引參時(shí)，可以根據(jù)幾何圖形的對稱性(點(diǎn)A，B地位等價(jià))來設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由于已知點(diǎn)A，B所在的拋物線方程，故只需要引入兩個(gè)變量y1，y2，設(shè)，便可以高效地解決引參的問題．學(xué)生中常見的不恰當(dāng)?shù)囊齾⒆龇ㄓ?在設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)時(shí)，有引入4個(gè)變量的，如 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其，沒有充分利用“點(diǎn)在曲線上”的已知條件，引入過多的參數(shù)，致使最終化簡時(shí)理不清主線而失敗;利用x1，x2將點(diǎn)A，B 設(shè)成 A，雖然不會增加變量的個(gè)數(shù)，但由于存在根式的運(yùn)算，加大了化簡的難度．

由上述分析知，在教學(xué)中應(yīng)教會學(xué)生引參的方法:用足題目所給的條件，減少和化整引入的參數(shù)，可以有效簡化運(yùn)算，提升運(yùn)算效率．

2．1．2 明晰算理，解決“算不對”的問題

學(xué)生算不對的原因:一是基礎(chǔ)知識不扎實(shí)，代數(shù)式的運(yùn)算不過關(guān);二是算理不清楚，沒有理清化簡方向．教師要以解析幾何為載體訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力，幫助學(xué)生明晰算理，培養(yǎng)求簡意識，鍛煉耐心和恒心，全面發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．

1)借助幾何特征，簡化表述．

在第2)小題中求△PAB的面積，有很多算法，比如一般較為容易想到的是以邊AB為底、P為頂點(diǎn)的△PAB，其面積可表示為

或者利用|AP|，|BP|以及夾角，即

顯然后者要求的量更多，表示起來很復(fù)雜．前者雖然|AB|可用弦長公式計(jì)算，即

h可用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算，即

這也是平時(shí)訓(xùn)練較多的方法，不會陌生，但是無論計(jì)算|AB|還是h，都有一定的運(yùn)算量，而且最后還要統(tǒng)一參數(shù)，劃歸為求函數(shù)值域的問題．對于運(yùn)算能力不過硬的學(xué)生來說，在限時(shí)測試的利益權(quán)衡中，極為容易放棄．

根據(jù)第1)小題的結(jié)論，怎么求S△PAB更方便?我們?nèi)菀讖脑擃}特定的幾何特征中發(fā)現(xiàn)面積用水平寬乘鉛垂高的算法，即

解析幾何問題往往由于所給問題有較好的對稱性和對等性，使得其代數(shù)運(yùn)算也有較好的對偶與對等，如果能充分利用其內(nèi)在的這些美學(xué)因素，必將使運(yùn)算更為自然而有規(guī)可循．在日常教學(xué)中，我們需要指導(dǎo)學(xué)生隨時(shí)調(diào)整運(yùn)算方向，少走運(yùn)算彎路，避免瞎撞亂碰、隨意亂算，使運(yùn)算繁冗而難以繼續(xù)．

2)找準(zhǔn)目標(biāo)方向，按需化簡．

將三角形的面積表示為

后，我們發(fā)現(xiàn)有3個(gè)變量 y1，y2，x0．處理多變量函數(shù)問題的核心就是減少變量，最終統(tǒng)一劃歸為單變量．考慮該題的幾何特征，由于點(diǎn)A，B地位等價(jià)，必然要將最終的變量統(tǒng)一到x0．明確目標(biāo)之后，便確定了化簡的方向，這里的處理比較常規(guī)，就是運(yùn)用韋達(dá)定理

3個(gè)變量減少至2個(gè)變量，走出了通往勝利的第一步．由于已知中給定P(x0，y0)所在的曲線方程，因此可以進(jìn)一步用x0表示，從而成功地劃歸為單變量函數(shù)的值域問題．因?yàn)?/p>

在解析幾何運(yùn)算中常常要涉及直線方程和曲線方程的聯(lián)立消元整理問題，而這步運(yùn)算的錯(cuò)誤率很高．由于消元整理一步的錯(cuò)誤，造成以下“工作”全面亂套，破壞了數(shù)學(xué)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的完美與和諧，使運(yùn)算鉆進(jìn)繁瑣復(fù)雜的死胡同而徹底失?。虼?，有必要研究這步運(yùn)算的合理性和科學(xué)性，既要速度又要正確率，那就是抓住“主元”，明確化簡方向．

2．2 函數(shù)零點(diǎn)，以極限估算為手段

估算能力是指個(gè)體在利用一些估算策略的基礎(chǔ)上，通過觀察、比較、判斷、推理等認(rèn)知過程，獲得一種概略化結(jié)果的能力．估算在日常生活與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著十分廣泛的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的估算意識，發(fā)展學(xué)生的估算能力，讓學(xué)生擁有良好的數(shù)感，具有重要的價(jià)值．在教學(xué)中，我們一般采用“先估后算”，讓學(xué)生感受估算既可以為問題的解決提供有效的策略，又能夠在精確程度要求不高的情況下節(jié)約時(shí)間成本，提升運(yùn)算效率．如:

例2已知函數(shù)

1)略;

2)若 a≤3－4ln2，證明:對于任意 k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一的公共點(diǎn)．

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

分析證明直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一的公共點(diǎn)，即證明函數(shù)g(x)=f(x)－kx－a有唯一的零點(diǎn)．用零點(diǎn)存在定理證明存在性，再通過求導(dǎo)分析單調(diào)性來證明唯一性．

用零點(diǎn)存在定理的關(guān)鍵是需要找到給定區(qū)間，在該區(qū)間的m處有g(shù)(m)＞0，在n處有g(shù)(n)＜0．比如該題的參考答案給出:令 m=e－(|a|+k)，n=

因此，g(x)=f(x)－kx－a在(m，n)上存在零點(diǎn)．這里的m和n是如何取出的(或者說怎么想到的呢)?筆者認(rèn)為對于較為復(fù)雜的含參函數(shù)應(yīng)該根據(jù)以下兩個(gè)步驟去找．

1)極限與階，定性分析．

首先可以利用極限思想定性分析出零點(diǎn)存在，這里需要一些極限與階的高等數(shù)學(xué)知識．當(dāng)x→+∞時(shí)，指數(shù)函數(shù)＞冪函數(shù)＞對數(shù)函數(shù)＞常數(shù)．對于加減而言，可以“抓大放小”．例如，f(x)=ex－x，當(dāng)x→+∞時(shí)，由于高階的ex占主導(dǎo)地位，可忽略低階的－x，因此整個(gè)代數(shù)式f(x)→+∞．對于乘除而言，如果出現(xiàn)分不清高低階的情況，還可以通過洛必達(dá)法則和泰勒展開來“定階”．

于是由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)g(x)=槡x－lnxkx－a必存在零點(diǎn)．

利用極限與階，能快速方便地判斷代數(shù)式的符號，從而分析出零點(diǎn)的存在性，在高考等限時(shí)測試中，可有效節(jié)約時(shí)間，提升運(yùn)算準(zhǔn)確度．但是“在高中教授極限與階的知識是不是超綱，會不會增加師生的負(fù)擔(dān)”是很多教師存在的困惑．實(shí)際上在人教A版《數(shù)學(xué)(必修1)》第3章“函數(shù)的應(yīng)用”中，已經(jīng)有好幾頁的篇幅通過觀察函數(shù)圖像以及函數(shù)值數(shù)據(jù)去比較當(dāng)x→+∞時(shí)，指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的大小關(guān)系并得出相關(guān)結(jié)論．只是這一節(jié)內(nèi)容由于涉及高考不考的應(yīng)用題而經(jīng)常被一線教師略過不教．而等到高三復(fù)習(xí)時(shí)再去提極限與階的概念，便顯得生硬做作．因此，分析高考試題，從另一個(gè)角度講，也是在指導(dǎo)我們今后的教學(xué)，應(yīng)該“回歸課本”，根據(jù)需要作出合理引導(dǎo)和拓展．

2)賦特殊值，估算界限．

如果說利用極限的思想只是粗略判定了零點(diǎn)的存在，那么具體的m，n該怎么找呢?為了降低找點(diǎn)成本，優(yōu)先賦特殊值而后考慮放縮．特殊值包括:區(qū)間端點(diǎn)、特殊點(diǎn)和形式簡單的點(diǎn)．具體而言，對于ex可以嘗試賦值0，1，－1，對于lnx可以嘗試賦而形式簡單的點(diǎn)包括局部為0、局部去分母和局部消參(含定點(diǎn))的點(diǎn)．

該題從應(yīng)試角度來看，用極限思想可以快速精準(zhǔn)地分析出零點(diǎn)的存在性，沒有必要找出使得函數(shù)值互異的點(diǎn)m，n．若要取點(diǎn)，一般可按以下思路:1)抓大放小，舍棄低階和運(yùn)算不便的項(xiàng);2)統(tǒng)一矛盾，利用放縮將結(jié)構(gòu)調(diào)整為可解的式子．

2．3 數(shù)列，以函數(shù)思想為指導(dǎo)

著名數(shù)學(xué)家克萊因說:“一般受教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會的重要事情是用變量和函數(shù)來思考．”這不僅體現(xiàn)了函數(shù)教學(xué)在中學(xué)階段的重要地位，更多的是指教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)的思想去思考變量之間的關(guān)系．在解題時(shí)，以函數(shù)思想做指導(dǎo)，就是利用函數(shù)的圖像、性質(zhì)作工具進(jìn)行分析，或者構(gòu)造一個(gè)函數(shù)把表面上不是函數(shù)的問題劃歸為函數(shù)問題．因?yàn)閿?shù)列本身就是特殊的函數(shù)，所以許多數(shù)列問題可以用函數(shù)的觀點(diǎn)去分析、思考，從而達(dá)到簡化運(yùn)算的目的．

例3已知 a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且 a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若 a1＞1，則 ( )

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第10題)

分析在等比數(shù)列中要比較兩個(gè)項(xiàng)之間的大小關(guān)系，最關(guān)鍵的是求出公比q的取值范圍．這時(shí)很容易想到將已知條件中的每個(gè)項(xiàng)都用基本量a1，q 來表示，也就是但是由于對數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜性，無法再繼續(xù)有效地化簡．

2．3．1 借助函數(shù)圖像直觀分析，簡化運(yùn)算

注意到對數(shù)不利于式子的繼續(xù)化簡，是否可以尋找ln(a1+a2+a3)與a1+a2+a3的大小關(guān)系，從而將ln(a1+a2+a3)用a1+a2+a3替換，進(jìn)而簡化運(yùn)算，于是聯(lián)想到只需要比較lnx與x的大小關(guān)系，可以借助y=lnx和y=x的函數(shù)圖像(如圖2)，因?yàn)檫@兩個(gè)函數(shù)都是基本初等函數(shù)，它們的圖像與性質(zhì)學(xué)生非常熟悉，易得lnx＜x，所以

于是

故 a4＜0．又 a1＞1，因此

2．3．2 構(gòu)造函數(shù)模型巧妙化歸，避免討論

構(gòu)造函數(shù)的方法是高中數(shù)學(xué)中重要的方法之一．不少數(shù)列問題的解決依托構(gòu)造函數(shù)的方法，運(yùn)算方便，思路清晰，往往能收到事半功倍的效果．再來看例3，得到a1(1+q+q2+q3)=ln［a1(1+q+q2)］后，由于要求出q的取值范圍，可以將q看成主元，令函數(shù)

它的零點(diǎn)所在范圍就是q的范圍．又0＜a1＜1，從而

于是函數(shù)f(q)在區(qū)間(－1，0)上必存在零點(diǎn)，即關(guān)于q的方程

其根的取值范圍是( －1，0)，從而 q∈( －1，0)，于是

即

再由 a3－a1=a1(q2－1)，a4－a2=a1q(q2－1)，知只需比較q與－1的大小關(guān)系即可．

1)當(dāng)q=－1時(shí)，

因此q=－1不成立．

2)當(dāng)q＜－1時(shí)，

而 a1＞0，a2＜0，因此

故選B．

這里巧妙地構(gòu)造以q為主元的函數(shù)f(q)，通過零點(diǎn)存在定理求q的范圍，避免了分類討論，解題過程更簡潔．

該試題以等比數(shù)列為背景，在等比數(shù)列、不等式、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的交匯處精心設(shè)計(jì)，蘊(yùn)含了等價(jià)轉(zhuǎn)化、放縮、分類討論等思想方法，實(shí)現(xiàn)了對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的有效考查．考慮數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，利用函數(shù)思想應(yīng)對數(shù)列小題，可以有效實(shí)現(xiàn)小題小做，提升解題效率．

3 寫在最后

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本能力，良好的運(yùn)算能力有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．在實(shí)際教學(xué)過程中，要想提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，教師在教學(xué)中要注意幫助學(xué)生理解概念本質(zhì)，耐心細(xì)致地強(qiáng)化基礎(chǔ)訓(xùn)練，滲透數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生在眾多解法中，尋求優(yōu)化的思路和策略．

我們期待通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題．通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成程序化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神．