扎根數(shù)學(xué)課堂 培育核心素養(yǎng)*

●方 治 (義烏中學(xué)，浙江義烏 322000)

1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出是時(shí)代發(fā)展的新訴求

回顧高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的發(fā)展變化，呈現(xiàn)出幾個(gè)重要的節(jié)點(diǎn):1956年，《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》提出發(fā)展學(xué)生的“邏輯思維和空間想象能力”，1963年修補(bǔ)為發(fā)展學(xué)生“正確而且迅速的計(jì)算能力和邏輯推理能力”;1978年，《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》擴(kuò)充為“三大基本能力”，即運(yùn)算、邏輯思維和空間想象能力;2003年，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》將“三大基本能力”擴(kuò)充成了“五大基本能力”，即空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解和數(shù)據(jù)處理能力;《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》)提出六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，精準(zhǔn)聚焦了數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)，既是對(duì)歷史的繼承和發(fā)展，也是時(shí)代發(fā)展的新需要．縱觀各個(gè)歷史節(jié)點(diǎn)所提出的高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，它們的確定呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性、延續(xù)性和時(shí)代性，體現(xiàn)了從知識(shí)層面到能力層面再到素養(yǎng)層面的轉(zhuǎn)型．

2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要義需要教師深度地理解

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，它們既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體［1］．

由“雙基”內(nèi)核發(fā)展而來(lái)的“四基”結(jié)構(gòu)(基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展夯實(shí)了學(xué)習(xí)基礎(chǔ)．以前的“雙基”側(cè)重于對(duì)數(shù)學(xué)原理、定理、概念、公式等結(jié)論性知識(shí)的反映，但結(jié)論性知識(shí)的掌握并不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部．正如數(shù)學(xué)家萊布尼茲所說(shuō):數(shù)學(xué)的本質(zhì)不在于它的結(jié)論，而在于它的思想方法［2］．因此“四基”結(jié)構(gòu)比“雙基”內(nèi)核更為科學(xué)、合理，不僅注重結(jié)果性知識(shí)和客觀性事實(shí)的掌握，而且還關(guān)注學(xué)生在親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中的個(gè)性體驗(yàn)和感悟．從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題能力(簡(jiǎn)稱“四能”)的培養(yǎng)有效支撐了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，對(duì)比2003年的《課程標(biāo)準(zhǔn)》，新增了“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力”，這是《新課標(biāo)》對(duì)學(xué)生質(zhì)疑批判意識(shí)和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的體現(xiàn)．會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察、數(shù)學(xué)思維思考、數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界(簡(jiǎn)稱“三會(huì)”)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)隱特征的外在表現(xiàn)形式，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作用于學(xué)生后的數(shù)學(xué)行為表征［3］．因此高中數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不應(yīng)僅僅停留在教給學(xué)生一些結(jié)論性的知識(shí)，更應(yīng)該創(chuàng)設(shè)多樣的有效情境，讓學(xué)生在豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)、感悟思想、領(lǐng)會(huì)精神和深化認(rèn)識(shí)．

3 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地應(yīng)扎根于課堂的土壤

課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主陣地，核心素養(yǎng)的習(xí)得和練就需要根植于課堂，教師應(yīng)借助恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境或者適切的數(shù)學(xué)問(wèn)題促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)論證、對(duì)比統(tǒng)算，實(shí)現(xiàn)具體與抽象、數(shù)與形、非數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)的多樣轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生在準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時(shí)潛移默化地習(xí)得．

3．1 依靠情境和結(jié)構(gòu)抽象生成數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征．它是對(duì)某一類事物或現(xiàn)象共同本質(zhì)屬性的數(shù)與形的描述，并用數(shù)學(xué)符號(hào)予以表征．筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)可從具體情境和結(jié)構(gòu)情境的抽象中習(xí)得．

1)情境抽象．

數(shù)學(xué)的抽象性使得部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)失去信心，也較難產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，而數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程就是數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，因此教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)化的過(guò)程中抽象出數(shù)學(xué)概念，從而習(xí)得數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．

筆者在進(jìn)行反證法的教學(xué)時(shí)，借助反映反證法的具體生動(dòng)的故事情境引出課題，通過(guò)分析故事的邏輯推理方法歸納出反證法的證明要領(lǐng)．這樣的預(yù)設(shè)和引入既提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又使學(xué)生發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．

故事情境死囚逃生:古代有一賢臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他過(guò)去有功，用抽紙片的形式?jīng)Q定他的命運(yùn)，一張寫“活”字，一張寫“死”字，抽到“活”字可赦免，而奸臣夕毒，命人在兩張紙片上都寫上“死”字．詭計(jì)被賢臣的朋友知道，告訴了賢臣，賢臣想了想，高興地說(shuō):“我活了!”

抽象化成數(shù)學(xué)命題己知兩張寫著“死”字的紙片，某人抽取了一張．求證:某人“活”了．

證明假設(shè)某人“死”了．那么沒(méi)有抽到的紙片一定寫“活”字，可是因?yàn)閮蓮埗际恰八馈弊郑詻](méi)有抽到的紙片一定是“死”字，因此二者矛盾．故某人“活”了．

處決前抽紙片開始了，只見(jiàn)賢臣抽出一張紙片誰(shuí)也不讓看就吞下了肚，監(jiān)斬官只好看剩下的紙片，剩下的字無(wú)疑是個(gè)“死”字，于是賢臣被赦免了．

歸納反證法證明命題的一般步驟:①反設(shè)，作出與求證結(jié)論相反的假設(shè);②歸謬，將反設(shè)作為條件添加到題設(shè)中去，通過(guò)一系列正確的推理導(dǎo)出矛盾;③結(jié)論，肯定原命題成立．

2)結(jié)構(gòu)抽象．

數(shù)學(xué)的抽象性很大程度上體現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象的符號(hào)上．學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)復(fù)雜主要是源于對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)和結(jié)構(gòu)特征的理解，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升除了要在抽象的情境中培養(yǎng)外，也需要學(xué)生從分析和處理抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征中去凝練．筆者從2015年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科第12題出發(fā)進(jìn)行變式題鏈的設(shè)計(jì)與研究，在引領(lǐng)學(xué)生分析不同抽象式的結(jié)構(gòu)特征中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．

例1設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(其中x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)=0，當(dāng) x＞0時(shí)，xf'(x)－f(x)＜0，則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是( )

A．( －∞，－1)∪(0，1)

B．( －1，0)∪(1，+∞)

C．(－∞，－1)∪(－1，0)

D．(0，1)∪(1，+∞)

(2015年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第12題)

變式1設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(其中x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f( －1)=0，當(dāng) x＞0時(shí)，xf'(x) －2f(x)＜0，求使f(x)＞0成立的x的取值范圍．

變式2設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(其中x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f( －1)=0，當(dāng) x＞0時(shí)，xf'(x) －nf(x)＜0，求使f(x)＞0成立的x的取值范圍．

變式3設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(其中x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f( －1)=0，當(dāng) x＞0 時(shí)，xf'(x)+f(x)＜0，求使f(x)＞0成立的x的取值范圍．

變式4設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(其中x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f( －1)=0，當(dāng) x＞0 時(shí)，xf'(x)+2f(x)＜0，求使f(x)＞0成立的x的取值范圍．

變式5設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(其中x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f( －1)=0，當(dāng) x＞0 時(shí)，xf'(x)+nf(x)＜0，求使f(x)＞0成立的x的取值范圍．

變式6設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(其中x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f'(x)－f(x)＜0，求使 f(x)＞0成立的x的取值范圍．

變式7設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(其中x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f'(x)－2f(x)＜0，求使 f(x)＞0成立的x的取值范圍．

變式8設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(其中x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f'(x)－nf(x)＜0，求使 f(x)＞0成立的x的取值范圍．

變式9設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(其中x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f'(x)+f(x)＜0，求使 f(x)＞0成立的x的取值范圍．

變式10設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(其中x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f'(x)+2f(x)＜0，求使 f(x)＞0成立的x的取值范圍．

變式11設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(其中x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f'(x)+nf(x)＜0，求使 f(x)＞0成立的x的取值范圍．

3．2 通過(guò)數(shù)化和求模過(guò)程生成數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)化處理和表達(dá)，然后用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決問(wèn)題的過(guò)程．教師要善于挖掘生活中有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生親歷數(shù)化和求模的過(guò)程．結(jié)合當(dāng)下高考的選考現(xiàn)實(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，由于這個(gè)問(wèn)題與學(xué)生的相關(guān)度很高，因此能迅速激起學(xué)生的研究興趣，學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中提升了自身的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)．

例2(現(xiàn)實(shí)問(wèn)題)已知某校選考物理和技術(shù)的學(xué)生各有若干人．若選考物理的學(xué)生中有90人改選技術(shù)，則選考技術(shù)的學(xué)生是選考物理學(xué)生的兩倍;若選考技術(shù)的學(xué)生有部分改選物理，則選考物理的總?cè)藬?shù)是選考技術(shù)的6倍，求選考物理的學(xué)生原來(lái)最少有幾人?

解假設(shè)原來(lái)選考物理和技術(shù)的學(xué)生各有x，y人，由已知條件可知

再設(shè)選考技術(shù)的學(xué)生有z人改選物理，則

由式(1)和式(2)消去y，可得

由于x，z都是正整數(shù)，因此

故

3．3 依托概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題生成數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)

數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的思維和方法對(duì)數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷然后形成知識(shí)的過(guò)程．在當(dāng)下的大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)據(jù)的采集、處理和統(tǒng)計(jì)分析的意識(shí)和能力至關(guān)重要．下面問(wèn)題的設(shè)計(jì)意在讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)據(jù)分析的方法解決抽樣、概率、分布列和期望等概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，它可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析意識(shí)和數(shù)據(jù)處理能力，養(yǎng)成用數(shù)據(jù)思考問(wèn)題的習(xí)慣，進(jìn)而提升數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)．

例3(概率統(tǒng)計(jì))走班制教學(xué)是順應(yīng)新時(shí)代發(fā)展和高考新方案要求的一項(xiàng)重要舉措．某校在高二年級(jí)實(shí)行選課走班教學(xué)，學(xué)校在同一上課時(shí)段為學(xué)生提供物、化、生、政、史、地、技7種課程，每個(gè)學(xué)生從7門課程中選擇一門學(xué)習(xí)，該校高二年級(jí)900名學(xué)生的選課人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表1所示:

表1 7門課程的選課人數(shù)統(tǒng)計(jì)

1)根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，寫出a，b的值．

2)為了了解學(xué)生選課走班的情況，用分層抽樣的方法從這900名學(xué)生中抽取20人進(jìn)行座談反饋．

①?gòu)倪x出的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人發(fā)言，求這3人中至少有2人選擇技術(shù)的概率;

②從選出的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人發(fā)言，記這3人中選擇物理的人數(shù)為X，選擇政治的人數(shù)為Y，設(shè)隨機(jī)變量ξ=X－Y，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．

解1)a=10%，b=135．

2)抽取的20人中選擇物理的人數(shù)應(yīng)為20×15%=3，選擇化學(xué)的人數(shù)應(yīng)為20×20%=4，選擇生物的人數(shù)應(yīng)為20×10%=2，選擇政治的人數(shù)應(yīng)為20×10%=2，選擇歷史的人數(shù)應(yīng)為20×15%=3，選擇地理的人數(shù)應(yīng)為20×10%=2，選擇技術(shù)的人數(shù)應(yīng)為20×20%=4．

表2 的分布列

表2 的分布列

ξ －2 －1 0 1 2 3 P 17110910791 763802283802281140

3．4 借助數(shù)化形和形轉(zhuǎn)型生成直觀想象核心素養(yǎng)

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程．幾何直觀是通過(guò)圖形生動(dòng)形象地反映和刻畫數(shù)學(xué)問(wèn)題，它可以將某些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，實(shí)現(xiàn)抽象向直觀轉(zhuǎn)換．空間想象集中體現(xiàn)在由空間圖形出發(fā)，憑借空間想象能力去想象空間模型，利用模型的特征解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．

1)數(shù)化形．

某些數(shù)學(xué)式子從結(jié)構(gòu)特征上分析和還原，發(fā)現(xiàn)具有明顯的幾何特征，我們可以用圖形直觀反映式子背后的幾何意義，讓抽象式子幾何直觀化，在快速解決問(wèn)題的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)．

例4(最值問(wèn)題)設(shè) x，y∈R+，求函數(shù) f(x，的最小值．

解根號(hào)里的式子結(jié)構(gòu)如圖1所示．設(shè)AP=x，AQ=y，∠BAP=30°，∠PAQ=60°，∠QAC=30°，則由三角形的余弦定理可知

圖1

2)形轉(zhuǎn)型．

空間想象是人們對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和認(rèn)知的抽象思維能力．立體幾何問(wèn)題可有效承載學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)，發(fā)揮學(xué)生的空間想象能力，把圖形與模型有效對(duì)接，在借助模型特性解決問(wèn)題的過(guò)程中培育學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)．

例5(立體幾何問(wèn)題)如圖2，在棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD中，G為△BCD的重心，M為線段AG的中點(diǎn)，求三棱錐M-BCD的外接球和內(nèi)切球半徑之比．

圖2

圖3

解由于正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，G為△BCD的重心，M為線段AG的中點(diǎn)，因此根據(jù)空間幾何圖形的對(duì)稱性可知MB=MC=MD，而且

而BC=CD=DB=a，于是 MC，MB，MD 兩兩垂直，三棱錐M-BCD的外接球直徑等于以MC，MB，MD為棱的正方體的體對(duì)角線，故三棱錐M-BCD的外接球半徑為

假設(shè)三棱錐M-BCD的內(nèi)切球半徑為r，則根據(jù)球和三棱錐M-BCD的對(duì)稱性作出一個(gè)特殊的截面(如圖3所示)，其中內(nèi)切球的球心為O，CD的中點(diǎn)為 E，內(nèi)切球切面 MCD于點(diǎn) F．由△MOF∽△MGE可知

3．5 親歷發(fā)現(xiàn)和論證過(guò)程生成邏輯推理核心素養(yǎng)

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過(guò)程．它包括合情推理和演繹推理，正如波利亞所說(shuō):“數(shù)學(xué)具有兩個(gè)面——以歐幾里得方式表現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)看上去是一種系統(tǒng)的演繹科學(xué);但在形成過(guò)程中的數(shù)學(xué)看上去卻是一種實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)．”［4］在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生在親歷發(fā)現(xiàn)和論證過(guò)程中練就邏輯推理核心素養(yǎng)．

求復(fù)雜遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題就是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的良好載體．筆者在上已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題，讓學(xué)生親歷發(fā)現(xiàn)和論證的過(guò)程．

解由 a1=5，a2=13其中 n≥2)可知 a3=29，a4=61，猜想 an=2n+2－3．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an=2n+2－3對(duì)一切正整數(shù)都成立:

因此當(dāng)n=k+2時(shí)等式也成立，故猜想an=2n+2－3對(duì)一切正整數(shù)都成立．

3．6 基于同類異算生成數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程．對(duì)于同類問(wèn)題，基于不同算理展開的不同算法的比較分析可以讓學(xué)生明晰不同算法的同時(shí)掌握最優(yōu)算法，從而驅(qū)動(dòng)學(xué)生生成數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．

曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某動(dòng)直線對(duì)稱的問(wèn)題是一類綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題．解決此類問(wèn)題可以聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理或點(diǎn)差法加以解決，對(duì)于直線、圓、橢圓、雙曲線及拋物線等不同曲線，分析特殊曲線算法的特殊性以及一般曲線不同算法的優(yōu)劣性，讓學(xué)生明晰這類問(wèn)題減少計(jì)算量的方法，提升學(xué)生的運(yùn)算能力．

解1)若y=2x－1上存在上兩點(diǎn) A(x1，y1)，B(x，y)關(guān)于直線 y=kx+對(duì)稱，則兩直線只能

22相互垂直，故k的值為－