常規(guī)中蘊(yùn)含新意 平淡中凸顯素養(yǎng)*
——2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題的若干思考

●廖如舟 曾麗華 (衢州市第二中學(xué)，浙江衢州 324000)

2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題是一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題，具體如下:

題目已知函數(shù)

1)若 f(x)在 x=x1，x=x2(其中 x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明:f(x1)+f(x2)＞8－8ln2;

2)若 a≤3－4ln2，證明:對(duì)于任意 k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn)．

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

此題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，其核心是通過(guò)導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合局部判斷等手段得到函數(shù)的大致圖像，達(dá)到“以圖啟數(shù)、以數(shù)論形”的目的．考查學(xué)生推理論證、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸等分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，能促進(jìn)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

從閱卷的實(shí)際情況看，本題平均得分為2．5分，體現(xiàn)了試卷的選拔功能．但比2017年最后一題得分下降了0．5分，內(nèi)容也從原來(lái)的數(shù)列不等式的考查變?yōu)榱撕瘮?shù)與導(dǎo)數(shù)的考查．到底是這道題本身的相對(duì)難度提升了，還是題目順序的變換影響了學(xué)生的發(fā)揮，還是新高考后學(xué)生整體水平有所下降，值得好好分析研究，從而改進(jìn)我們的課堂教學(xué)．

命題組給出了如下的參考答案:

解1)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為

故g(x)在(256，+∞)上單調(diào)遞增，因此

由零點(diǎn)存在性定理知，存在x0∈(m，n)或x0∈(n，m)，使得

因此，對(duì)于任意的a∈R，k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有公共點(diǎn)．由于f(x)=kx+a，得

得 －g(x)－1+a≤－(2－4ln2)－1+3－4ln2=0，故h'(x)≤0，即函數(shù)h(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞減，因此f(x)=kx+a至多有一個(gè)實(shí)根．

綜上，當(dāng)a≤3－4ln2時(shí)，對(duì)于任意k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一的公共點(diǎn)．

對(duì)于上述解答過(guò)程，筆者有如下一些思考與感悟．

思考1對(duì)于第1)小題的解答過(guò)程，如何將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量呢?

第一種角度是變量整體替換，即

由均值不等式得x1x2＞256，再由函數(shù)單調(diào)性分析可得結(jié)論．

第二種角度是變量相互替換，用x1來(lái)表示x2，得f(x1)+f(x2)=h(x1)，眾所周知，這種思路非常常規(guī)，但是對(duì)于本題來(lái)說(shuō)運(yùn)算量較大，不建議選擇．

第三種角度是變量重新轉(zhuǎn)移，f'(x1)=的兩個(gè)不等實(shí)根，由韋達(dá)定理得

再由 Δ=1－16m ＞0，得

第1)小題實(shí)際上是條件最值，解決條件最值問(wèn)題的方法和技巧還有很多，限于篇幅，本文不再贅述．

思考2對(duì)于第2)小題的解答過(guò)程，如何尋找滿足條件的m，n呢?

我們可以發(fā)現(xiàn)參考答案分為3個(gè)步驟:

第一步，由零點(diǎn)存在性定理，分析證明函數(shù)

存在零點(diǎn)，其中證明函數(shù)存在零點(diǎn)是難點(diǎn)所在．

第二步，將函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的解聯(lián)系在一起，實(shí)現(xiàn)參變分離，即

第三步，利用導(dǎo)數(shù)工具，重點(diǎn)研究變形函數(shù)

在a≤3－4ln2，k＞0時(shí)的單調(diào)性，從而使問(wèn)題獲得圓滿解決．

難點(diǎn)分兩步進(jìn)行突破:

① x=e－|a|－k的來(lái)源．顯然當(dāng) x越小時(shí)lnx－kx－a＞0越容易成功，因?yàn)椋璴nx→+∞，對(duì)于不確定符號(hào)的參數(shù)，可以利用絕對(duì)值去控制，所以只需 －lnx＞ －kx+|a|，再限定 x＜1，只需－lnx＞k+|a|，即 x≤e－|a|－k，而這個(gè)點(diǎn)是滿足x＜1 的，故可取 x=e－|a|－k．

參考答案基于零點(diǎn)存在性定理和函數(shù)單調(diào)性解答問(wèn)題．整個(gè)過(guò)程雖然很繁瑣，但很嚴(yán)謹(jǐn)，特別是在尋找滿足f(m)f(n)＜0的零點(diǎn)區(qū)間(m，n)時(shí)很困難．如今的課堂教學(xué)追求高效課堂，可又有多少學(xué)生能夠靜心思考這些問(wèn)題呢?如果長(zhǎng)期缺乏此類研究，不僅數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性有失偏頗，而且學(xué)生思維能力的發(fā)展也將受阻．

通過(guò)以上分析，不難發(fā)現(xiàn)找到滿足f(m)f(n)＜0的零點(diǎn)區(qū)間(m，n)的途徑一般有兩種:一是利用重要不等式，如(其中x＞0)等，對(duì)原函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)放縮，從而得到一個(gè)熟悉且易于求出零點(diǎn)的函數(shù)［1］;二是把函數(shù)拆分成熟悉的兩個(gè)初等函數(shù)，畫(huà)出圖像，觀察零點(diǎn)的位置，代入適當(dāng)特值檢驗(yàn)．但是學(xué)生對(duì)于(m，n)的選擇會(huì)五花八門，能兼顧美觀和便捷的更是少之又少，因此給閱卷帶來(lái)了很大的難度．

思考3對(duì)于第2)小題，能否直接從參變分離的方法，結(jié)合直觀想象，解決含參函數(shù)問(wèn)題?

故 m(x)在(0，16)上單調(diào)遞增，在(16，+∞)上單調(diào)遞減，即

因此g'(x)≤0恒成立，g(x)單調(diào)遞減．當(dāng)x→0+時(shí)，g(x)→+∞，當(dāng) x→ +∞，g(x)→0+，對(duì)于任意的k＞0，g(x)=k存在唯一的實(shí)數(shù)根．故當(dāng)a≤3－4ln2時(shí)，對(duì)于任意k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn)．

從閱卷的情況來(lái)看，采取此類做法的學(xué)生較多，但是要完整作答，需要突破兩個(gè)難點(diǎn):第一，需要通過(guò)二次求導(dǎo)的方式或不等式放縮來(lái)判斷g'(x)≤0在(0，+∞)上恒成立，進(jìn)而得出g(x)單調(diào)遞減;第二，需要通過(guò)極限思維，判斷g(x)在(0，+∞)上的圖像，即當(dāng) x→0+時(shí)，g(x)→ +∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→0+，從而判斷對(duì)于任意的k＞0，都存在唯一的公共點(diǎn)，也可以用不等式放縮來(lái)說(shuō)明g(x)在第一象限的大致圖像．

思考4對(duì)于第2)小題，能否直接從分類討論、直接求導(dǎo)的方法解決含參函數(shù)問(wèn)題?

圖1

圖2

于是g(x)在(0，16)上單調(diào)遞增，在(16，+∞)上單調(diào)遞減，故

從而

綜合上述，當(dāng)a≤3－4ln2時(shí)，對(duì)于任意k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一的公共點(diǎn)．

分類討論直接求導(dǎo)的方法思路清晰，但如需完整作答，需要解決兩個(gè)問(wèn)題:一是對(duì)于任意k＞0，分類討論的點(diǎn)在哪里?二是a≤3－4ln2的具體用處和實(shí)際控制在哪里?上述解法已經(jīng)非常具體地給出了回答．分類討論直接求導(dǎo)的方法對(duì)于學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算這兩個(gè)核心素養(yǎng)有很高的要求．

思考5對(duì)于第2)小題，能否充分利用數(shù)形結(jié)合思想，解決含參函數(shù)問(wèn)題?

容易知道

從而 f(x)在［0，4］上下凸遞減，在［4，16］上下凸遞增，在［16，+∞)上上凸遞增，如圖3．

圖3

故當(dāng)a≤3－4ln2時(shí)，對(duì)于任意k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一的公共點(diǎn)．

數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)潔直觀，缺點(diǎn)在于難把問(wèn)題表述清楚．上述解答雖未“以圖代證”，在證明的過(guò)程中也給出了相應(yīng)的敘述，但是如需真正揭示問(wèn)題的本質(zhì)，即直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，仍需回歸到之前的解法，因此本次高考閱卷過(guò)程中“思考5”中的解法并沒(méi)有給滿分．但是作為函數(shù)問(wèn)題，以形促數(shù)，促進(jìn)學(xué)生直觀想象，該解法仍有其價(jià)值所在．

巧取m，n存零點(diǎn)，巧施圖像來(lái)解析;參變分離顯平凡，即使分類也時(shí)常;構(gòu)造目標(biāo)巧變形，終究求導(dǎo)堪大任;通性常法是本分，夯實(shí)基礎(chǔ)可游刃;常規(guī)題中蘊(yùn)新意，平淡問(wèn)題顯素養(yǎng)．總而言之，數(shù)學(xué)是一門研究規(guī)律的科學(xué)，在解決問(wèn)題時(shí)，回歸本質(zhì)就是以認(rèn)清數(shù)學(xué)問(wèn)題的本源為基礎(chǔ)，探尋解決問(wèn)題的根本屬性與規(guī)律，達(dá)到解決問(wèn)題的目的．回歸本質(zhì)，不斷挖掘數(shù)學(xué)精髓，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)真諦，懂得數(shù)學(xué)價(jià)值，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，把知識(shí)的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)結(jié)合起來(lái)．