基于核心內(nèi)容的試題命制*
——以一道導(dǎo)數(shù)原創(chuàng)題的命制過程為例

●張 瑋 胡 滿 (學(xué)軍中學(xué)，浙江 杭州 310012)

0 引言

2018年3月，筆者在參與A校高三年級的一次考試命題時(shí)，需要提供一道有關(guān)導(dǎo)數(shù)的試題．筆者認(rèn)為命制的試題應(yīng)側(cè)重于考查該學(xué)科的主干知識，考查主干知識應(yīng)側(cè)重于考查其中的核心內(nèi)容．在高中階段，以導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間作為導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的重中之重，而求函數(shù)的最大值、最小值、用導(dǎo)數(shù)證明不等式、求曲線的切線等內(nèi)容，都是在求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或單調(diào)區(qū)間之后的一些衍生產(chǎn)物．

2017年是浙江省高考改革后，文理不分科的第一年高考．這一年的高考導(dǎo)數(shù)題，主要考查了求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域的問題．雖然2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題的總體難度明顯下降，但是對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考查沒有下降．就導(dǎo)數(shù)這一塊內(nèi)容而言，2017年的試題對于導(dǎo)數(shù)核心內(nèi)容的考查絲毫沒有減少，反而用一種更加直接的方式呈現(xiàn)了出來．因此，筆者認(rèn)為在新高考的背景下，試題應(yīng)突出用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間這部分內(nèi)容．經(jīng)過反復(fù)研磨，最終給出了一道由筆者獨(dú)立編擬的導(dǎo)數(shù)原創(chuàng)題(例1)．該題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在此基礎(chǔ)之上，進(jìn)而考查函數(shù)最小值的問題．

例1設(shè)f(x)=x－ln(ax+a+1)+1．

1)若a=1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

2)若對于任意x≥－1，不等式f(x)≥0恒成立，求a的最大值．

綜上可知，a的最大值為1．

1 編題的背景

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，可以用它來刻畫函數(shù)的凹凸性，該性質(zhì)是函數(shù)的一個很重要的性質(zhì)，它可以通過二階導(dǎo)數(shù)的符號來確定．在高中階段，導(dǎo)數(shù)只是用來求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一個有力工具，而求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的重要性在于求函數(shù)的最值(極值是局部的最值)．在已知最值之后，很多問題才能展開，比如證明不等式等問題．在有關(guān)導(dǎo)數(shù)的試題中，指數(shù)函數(shù)f(x)=ex是“?？汀?，而且它在(0，1)處的切線為 y=x+1，并且當(dāng) x≥0時(shí)，滿足ex≥x+1．這個不等式非常重要，不僅是因?yàn)樗N(yùn)含了曲線和切線的位置關(guān)系，而且它還可以通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q，得到很多有用的結(jié)論．如:

這些不等式的應(yīng)用活躍在各種考試當(dāng)中，比如:

例2已知數(shù)列{xn}，滿足x1=1，xn=xn+1+ln(xn+1+1)(其中 n∈N)，證明:當(dāng) n∈N*時(shí)，

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

1)略．

2)分析原命題等價(jià)于，即證明

利用結(jié)論1)的右邊不等式，即得．

3)分析利用結(jié)論2)，放縮后可得

即

因此左邊的不等式得證(右邊證明略)．

從中可以看出高考試題對此類不等式也青睞有加．此外在高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)f(x)=ex在x=0處的泰勒展開式為

因此不等式ex≥x+1還具有一定的高等數(shù)學(xué)背景．在高中階段，由于教材對函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)要求不高以及高考導(dǎo)數(shù)試題的難度下降等原因，沒有選擇不等式．但是對于不等式ex≥x+1，筆者希望它能動起來，故考慮再加個參數(shù)．不等式ex≥x+a顯然過于簡單，從而考慮ex≥ax+1;再由y=x+1和f(x)=ex的位置關(guān)系可知，a≤1，于是原創(chuàng)題(例1)的函數(shù)模型f(x)=ex－ax－1就此確定．之后筆者在2012年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題中發(fā)現(xiàn)了它的蹤跡:

例3已知函數(shù)f(x)=eax－x(其中a≠0)．

1)對任意x∈R，f(x)≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合;

2)略．

(2012年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

分析令t=ax，則 eax－x≥1，從而

由此原不等式轉(zhuǎn)化為不等式ex≥1+ax的形式．

模型確定之后，接下來的問題就是考什么?由于導(dǎo)數(shù)部分的核心內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此命題方向不能偏．筆者設(shè)想:第1)小題可以求單調(diào)區(qū)間;第2)小題可以設(shè)置一些已知條件，然后求參數(shù)a的范圍或最大值．大方向基本確定了，那么在導(dǎo)數(shù)的計(jì)算中如何考查?大多數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)中都會包含四則運(yùn)算，而復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過程中，必定包含了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式．因此筆者的想法是:先構(gòu)造一個函數(shù)，得到試題的雛形;然后再通過適當(dāng)?shù)母脑焓沟煤瘮?shù)結(jié)構(gòu)符合考查要求．

2 編題的過程

筆者希望通過求導(dǎo)之后得到一個可以因式分解的式子，方便學(xué)生得到該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而降低第1)小題的難度．得到試題的第1稿為:

第1稿已知函數(shù)f(x)=ex(1+ax+x2)．

1)若a=1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

由于第2)小題形式不夠美觀，筆者對此不太滿意，因此想到對不等式作變形，便有了第2稿:

第2稿已知函數(shù)f(x)=ex(1+ax+x2)．

1)若a=1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

這一稿雖然形式上比第1稿漂亮了點(diǎn)，但是ex出現(xiàn)了兩次，且函數(shù)f(x)中也有因子ex，感覺過于累贅，且拼湊的痕跡也太過明顯．筆者意識到:若不改變函數(shù)的結(jié)構(gòu)，上述兩稿的問題解決起來相對比較困難，那么該選用什么函數(shù)呢?因?yàn)樽詈蠖細(xì)w結(jié)到不等式ex≥ax+1，所以可以通過對x進(jìn)行賦值來改變函數(shù)的結(jié)構(gòu)．從第2稿不等式的形式，筆者得到了啟發(fā)，便有了第3稿:

第3稿已知函數(shù)f(x)alnx．

1)若a=1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

2)若對于任意x＞0，不等式f(x)≥0恒成立，求a的最大值．

第3稿雖然解決了之前兩稿的問題，但是函數(shù)較為復(fù)雜．特別是第1)小題，學(xué)生能否求出單調(diào)區(qū)間，這成為筆者心頭的又一擔(dān)心．經(jīng)過求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)

利用ex－1≥x這個結(jié)論，第1)小題不難求出．但是對于第2)小題，如果按照筆者的思路去求解，則需要利用等式將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而這是個難點(diǎn)，學(xué)生很難想到．回顧平時(shí)的課堂教學(xué)，要解決第2)小題，學(xué)生應(yīng)該還有兩種方法:

方法1進(jìn)行參變量分離．原不等式化為

然后再求當(dāng)x＞0時(shí)，不等式右邊式子的最小值．

對學(xué)生而言這顯然很困難，故此路不通．

方法2直接求原函數(shù)的最小值，只需要最小值非負(fù)即可．經(jīng)過求導(dǎo)，得

因單調(diào)區(qū)間不容易求出，故此路不通．由此看來，要解決第2)小題似乎只有“華山一條路”，即只能沿著筆者的設(shè)計(jì)思路去求解．

若此題作為“老高考”的壓軸題，也許還合適;若作為“新高考”的試題，顯然也不合時(shí)宜，入口太窄，難度太大．一個好的試題，應(yīng)該有多個入口供學(xué)生選擇，可以通過不同的角度來詮釋．因此，筆者決定繼續(xù)改．考慮對第3稿的函數(shù)作代換，于是決定將x換成x+1，得到函數(shù)

1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

2)若不等式f(x)≥1+alnf(x)恒成立，求a的最大值．

第4稿的題干顯然更簡潔，只是第2)小題中，很容易聯(lián)想到換元，會使得大部分學(xué)生的解法都一樣，筆者對此不滿意，故繼續(xù)修改．由于第3稿是用不等式x－1－lnx≥0對x進(jìn)行賦值，才使得函數(shù)變得復(fù)雜，因此想要讓解析式更簡單，就只能簡化賦值的式子．筆者采用了第4稿的賦值方式，再對兩邊取對數(shù)，這樣就得到了試題(即例1)．

3 試題的另解

在試題的命制過程中，筆者獲得了第2)小題的其他兩種解法．

解法2當(dāng)a≤0時(shí)，顯然符合，故只需考慮a＞0的情形．令 g(x)=ex－ax－1，則

即函數(shù)g(x)在(lna，+∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，lna)上單調(diào)遞減．

若a≤1，則 g(x)≥g(0)=0;若 a ＞1，則g(x)≥g(lna)=a－alna－1，因?yàn)?ln1＜1－1，aa所以g(lna)＜0．

因此，a的最大值為1．

解法3考慮參數(shù)分離:經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合條件，即a的最大值為1．

4 考后的反饋

考后筆者參與了本次考試的閱卷，得到如下數(shù)據(jù):本題滿分15分，平均得分10．6分;40%左右的學(xué)生，得分不小于14分;10%左右的學(xué)生第1)小題求導(dǎo)數(shù)錯誤;還有30%左右的學(xué)生在做第2)小題時(shí)，出現(xiàn)了困難，得分很低，但是都猜出了答案．從得分情況來看，本題的區(qū)分度還可以．大部分學(xué)生對于高考要求的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題掌握得很好，少部分學(xué)生還需要加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的訓(xùn)練．本題第2)小題，可以通過使［－1，+∞)上的最小值非負(fù)得到參數(shù)a的最大值．從得分情況來看，求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題，還需要加強(qiáng)訓(xùn)練．第2)小題的解答，部分學(xué)生使用了解法3，參數(shù)分離之后，部分學(xué)生使用了高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則，還有部分學(xué)生繼續(xù)用導(dǎo)數(shù)求式子最小值．另外從學(xué)生的解答中，筆者發(fā)現(xiàn)了兩種新解法如下:

解法4由第1)小題可知，當(dāng)a=1時(shí)，

矛盾．

綜上可得:a的最大值為1．

解法5當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x+1，顯然符合，故a的最大值非負(fù)．因?yàn)閒(－1)=0，故存在δ∈( －1，0)，使得在( －1，δ)內(nèi)，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增，即導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(－1，δ)內(nèi)恒非負(fù)．又

5 考后的反思

從考生答題的情況來看，大部分學(xué)生并沒有被不等式x－1≥lnx卡住，反而給出了更漂亮的解法．從學(xué)生的整體答題情況來看，本文中提到的5種解法都有學(xué)生用到，解法的多樣性是筆者在命題時(shí)所沒有料到的．本題入口寬，解法多樣，由此來看，應(yīng)該是一個好的訓(xùn)練題．從第2)小題的答題情況來看，錯誤百出，這反映出部分學(xué)生的基本功不夠踏實(shí)．2017年的浙江省數(shù)學(xué)高考導(dǎo)數(shù)試題突出導(dǎo)數(shù)計(jì)算和函數(shù)單調(diào)區(qū)間的考查，因此，在高三臨考階段，對于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，應(yīng)該要更加重視核心內(nèi)容的訓(xùn)練和講解，做到有的放矢．

再次翻看學(xué)生的解答，筆者發(fā)現(xiàn)有少數(shù)學(xué)生因?yàn)闆]有處理好不等式，導(dǎo)致第 2)小題沒有拿到高分，主要原因是不熟悉x－1－lnx≥0．因此若將第1)小題改為“當(dāng)a=1時(shí)，令g(x)=f(x－2)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值”可能會更好一點(diǎn)．考完后，筆者又重新翻看了2017年浙江省數(shù)學(xué)高考導(dǎo)數(shù)試題，函數(shù)中沒有參數(shù)，不需要討論，干干凈凈地考函數(shù)．因此，筆者認(rèn)為:若把例1當(dāng)作是一般的訓(xùn)練題，比較適合;若當(dāng)作是高考模擬題，則不太適合．這也啟示筆者:在編擬試題時(shí)，應(yīng)盡可能地與高考試題接軌，讓高三的師生明確方向．