約束條件下兩個Pareto總體的參數(shù)估計

(吉林師范大學(xué)博達(dá)學(xué)院，吉林 四平 136000)

0 引 言

近年來，隨著統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展，對序約束下多個總體參數(shù)估計的研究已有很大發(fā)展.目前對k個有序正態(tài)均值的極大似然估計(MLE)、多個指數(shù)總體參數(shù)的極大似然估計、二項分布的混合估計以及最小最大估計、可容許估計等方面的問題已經(jīng)有了明確的研究成果.但現(xiàn)有研究均未考慮約束條件下兩個Pareto總體的參數(shù)估計問題.

1 半序約束下兩個Pareto總體參數(shù)的Bayes估計

設(shè)X11,X12,...,X1n1和X21,X22,...,X2n2是分別來自于參數(shù)為(b1,θ1)和(b2,θ2)的Pareto總體的樣本，并且彼此獨立.這里，Pareto總體的密度函數(shù)為：

p(x|θi)=θibiθix-(θi+1),x>bi>0,θi>0(i=1,2)如果根據(jù)實際問題所提供的知識，有

θ1θ2

(1)

要根據(jù)以上樣本，求(1.1)式成立時，(θ1,θ2)的Bayes估計.

1.1 先驗分布的選取

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，如果單樣本總體的先驗分布選取參數(shù)為(a,b)的Gamma分布時，(θ1,θ2)在約束條件(1.1)下的先驗分布為：

并且在平方損失下，后驗期望向量(E(θ1|X),E(θ2|X))為(θ1,θ2)的Bayes估計.其中X=(X11,...,X1n1,X21,...,X2n2)

1.2 后驗密度

設(shè)Xij服從Pareto 分布，j= 1,2,...,ni，i=1,2，Xij相互獨立.假定根據(jù)某些已知信息，有(1)式成立，則由因子分解定理及充分性原則，即可通過

來求(θ1,θ2)的Bayes估計，即(θ1,θ2)的Bayes估計為(E(θ1|T1,T2),E(θ2|T1,T2))，為此，先計算后驗密度.

引理1.2.1[3]X～Pareto(b,θ)，則lnX～Exp(lnb,θ),進(jìn)而有

θ(lnT-lnb)～Exp(1)=Ga(1,1)

引理1.2.2X1,X2,...,Xn是來自Pareto(b,θ)的簡單樣本，則

命題1.2 在約束條件(1)下，當(dāng)單樣本總體的先驗分布為Gamma分布時，Pareto分布的

后驗密度為：

證明： 由引理1.2.2，(T1,T2)關(guān)于(θ1,θ2)的條件密度為

于是，(T1,T2)的邊際密度

即

化簡整理得：

m(t1,t2)=

∵

(2)

∴m(t1,t2)=

∴后驗密度

=

1.3 Bayes估計

命題1.3 在約束條件(1)下，當(dāng)單樣本總體的先驗分布為Gamma分布時，兩個Pareto總體參數(shù)的Bayes估計為：

E(θ1|T1,T2)=

證明：

由(2)式，

同理

2 錐序約束下兩個Pareto總體參數(shù)的極大似然估計

2.1 單樣本Pareto總體參數(shù)的極大似然估計

引理2.1 設(shè)X～Pareto(x|b,θ)，抽取樣本X1,X2,...,Xn，則θ的極大似然估計為

證明： 對于樣本X1,X2,...,Xn，似然函數(shù)

2.2 兩個Pareto總體參數(shù)的約束極大似然估計問題

設(shè)X11,X12,...,X1n1和X21,X22,...,X2n2是分別來自于參數(shù)為(b1,θ1)和(b2,θ2)的Pareto總體的樣本，并且彼此獨立.這里，Pareto分布的密度函數(shù)為：

此時樣本X11,X12,...,X1n1,X21,X22,...,X2n2的似然函數(shù)

因此，對數(shù)似然函數(shù)為

lnL(θ1,θ2)=n1lnθ1+n2lnθ2+n1θ1lnb1+

{(θ1,θ2):θ2=a1θ1}上的點，這相當(dāng)于在約束θ2=a1θ1下，求Laglange函數(shù)

的最大值點，即約束極大似然估計.由Laglange乘子法可得

解之可得θ1,θ2的極大似然估計分別為

G(θ1,θ2,a)=n1lnθ1+n2lnθ2+n1θ1lnb1+n2θ2lnb2-

的最大值點，同樣解得θ1，θ2的約束極大似然估計分別為：

3 結(jié) 語

在半序約束下，當(dāng)先驗分布為Gamma分布時，計算了Pareto總體參數(shù)的后驗密度，并給出了兩個Pareto總體參數(shù)的Bayes估計；在錐序約束下，根據(jù)Laglange乘子法，計算了兩個Pareto總體參數(shù)的極大似然估計.