時、頻效應(yīng)實驗及數(shù)學(xué)關(guān)系式的驗證

梁世鐸

(溫州市航海學(xué)會，浙江 溫州325000)

0 引 言

根據(jù)多普勒效應(yīng)[1]，觀測者與波源之間存在相對運(yùn)動時，測者測得波源頻率不等于波源發(fā)射頻率；相互靠近運(yùn)動時，測者測得頻率高于波源發(fā)射頻率；相互背離運(yùn)動時，測得頻率低于波源發(fā)射頻率。該實驗筆者在1988年就做過聲波實驗了。

測者A用兩只電子秒表，分辯率為0.01s，一只由B拿著坐在出租車上(在溫州牛山北路測速段)，A站在路旁，小車以90km/h(25m/s)速度向著A方向行駛，B每隔2s說一聲“按”，司機(jī)就按響喇叭，A聽到喇叭聲①，立即按下秒表，再一次聽到喇叭聲②，就按停秒表。A測下喇叭聲①與喇叭聲②的時間間隔。①聲號與②聲號不是在同一地點發(fā)射的，兩者相差50m(25m/s×2s)，這50m，聲波需走0.14s(50m/340m/s)。小車背離A行駛與向著A行駛，測得的時間間隔t=2±0.14s(見圖1)。

圖1 聲源移動與聲波傳播圖

A在坐標(biāo)S系原點O處，波源在X軸X1處，聲信號①由X1傳送到O點，傳送距離為C0t1。在發(fā)射信號①的瞬間，向測者(或背離測者)以U0的速度運(yùn)動了t時間間隔，運(yùn)動了U0t的距離，至X′(X″)處的瞬間，發(fā)射了信號②，信號②由X′(X″)處傳送了C0t′(C0t″)距離到達(dá)O點，由此建立式(1)：

C0t′-C0t1=U0t

(t′-t1)C0=U0t

∵t′

∴-△tC0=U0t得

-△t=tU0/C0

(1)

式(1)為波源向著測者運(yùn)動的關(guān)系式。

同理：波源背離測者運(yùn)動的關(guān)系式：C0t″-C0t1=U0t整理，得式(2)：

△t=tU0/C0

(2)

可知，小車背離測者運(yùn)動了50m(或向著測者)的間隔發(fā)射了兩個聲號，50m聲波需走0.14s，故測得結(jié)果為2s± 0.14s。

該實驗是用聲波聲速(340m/s)做實驗，如果用光波光速(299792458m/s)做實驗，精度要求太高，50m光波只需1.6×10-7s，該精度一般儀器達(dá)不到要求。

2013年筆者得到歐倫福平板PSD-3型、K波(2.413209697×1010Hz)雷達(dá)測速儀，在觀測中，PSD-3型與平板電腦連接，在平板電腦上有數(shù)據(jù)“雷達(dá)速度與多普勒頻率輸出”，有效距離100m。

1 頻率效應(yīng)式[2]

f=f0(1+cosβ0u0/C0)/(1-cosα0u0/C0)

(3)

式(3)中：f為觀測頻率；f0為發(fā)射頻率；β0為測者接收運(yùn)動視分量角；α0為發(fā)射源運(yùn)動視分量角。雷達(dá)波往返是瞬間完成的，故接收視分量角β0與發(fā)射視分量角α0相等，即β0=α0=α，式中運(yùn)動速度也相等，即u0=U0，C0為光速。

將式(3)整理得式(4)：

f/f0=(1+cosαU0/C0)(1+cosαU0/C0)(1-cosαU0/C0)(1+cosαU0/C0)

1+Δf/f0=1+2cosαU0/C0

得Δf=2f0cosαU0/C0

(4)

因PSD-3雷達(dá)測速儀的有效觀測距離為100m，車速不可過快，以36km/h(10m/s)較為理想，這樣往返100m可以測得20多個數(shù)據(jù)。

PSD-3雷達(dá)測速儀[3]觀測中，小車向著測者以36km/h勻速行駛時，由式(4)可知：

當(dāng)α′=0時，Δf=f02U0/C0,U0=ΔfC0/2f0

(5)

將f=2.413209697×1010Hz

U0=10m/s

C0=299792458m/s

代入式(4)

得：Δf=1609.92Hz

小車一路駛來，車速保持36km/h勻速，而雷達(dá)測速儀所測數(shù)據(jù)是變化的，如圖2所示。

圖2 雷達(dá)測速視分量角變化圖

當(dāng)：α1=30°.558，U1=31km/h，Δf1=1386.32Hz；

α2=60°，U2=18km/h，Δf2=804.86Hz；

α3=90°，U3=0，Δf3=0；

α4=120°，U4=-18km/h，Δf4=-804.96Hz；

α5=149.442°，U5=-31km/h，Δf5=-1386.32Hz；

α″=π，U″=-36km/h，Δf=-1609.92Hz。

由圖2可見，隨著小車(勻速直行)相對測者的運(yùn)動視分量角是變化的，由式(4)知，雷達(dá)測速儀所測出的數(shù)據(jù)也不同，多普勒頻率Δf是接收頻率f與發(fā)射頻率f0之差(Δf=f-f)。一般的雷達(dá)測速儀將接收返射雷達(dá)波f與雷達(dá)本振雷達(dá)波f0混頻，將多普勒頻率Δf再由式(5)計算而得小車行駛視速率U，而PSD-3雷達(dá)測速儀將多普勒頻率Δf數(shù)據(jù)也顯示出來，見圖3。

圖3 PSD-3雷達(dá)測速儀在平板電腦上所得數(shù)據(jù)

由于路上車輛多，很難得到理想的數(shù)據(jù)。圖3中的數(shù)據(jù)是在溫州市甌江七都島嶼北面沿江邊道上而測，該道路平直，沒有來往車輛，小車保持時速36km，按圖2的示樣，往返200m行駛，測得多組數(shù)據(jù)，圖3為其中一組，較為理想，“+”為向著測者行駛，“-”為背離測者行駛。

在此，首先對圖3數(shù)據(jù)組進(jìn)行驗證，見表1。

表1 對雷達(dá)測速儀數(shù)據(jù)驗證

由以上系列計算的數(shù)字與圖3中數(shù)據(jù)的驗證；式(3)、(4)可行，經(jīng)得起實驗的驗證。得出以下結(jié)論：

(1)P0為藍(lán)移(靠近測者)和紅移(背離測者)的臨界點，藍(lán)移過程，視速率在漸漸變慢，至臨界點時，視速率為零(與車輛真速度快慢無關(guān))，過臨界點后，紅移視速率漸漸變快。

(2)觀測過程，視分量角都在漸漸變大(0→π)。

(3)觀測頻率在漸漸變低(觀測周期在漸漸變慢，作者的8位數(shù)微波觀測儀有效距離能達(dá)100m，就可直觀周期在觀測中，只會在漸漸變慢)，與頻率源向著測者或背離測者無關(guān)。

(4)勻速直線運(yùn)動的發(fā)射源，在藍(lán)移區(qū)與紅移區(qū)以臨界點為基點，視分量角和視速率兩邊對稱。

2 巴納德星[4]

1916年由美國天文學(xué)家巴納德(Edward Emerson Barnard，1875-1923)發(fā)現(xiàn)，自行為每年10.3角秒，所有恒星中年自行值最大的飛行之星“巴納德星”。

筆者現(xiàn)知兩個數(shù)據(jù)；SIMBAD是106.8km/s與ARIONS是110.8km/s，而且觀測視速率向太陽系靠近，年自行值為10.31角秒，知道巴納德星在藍(lán)移區(qū)，向臨界點P0靠近，而自行值在變大(對于同等的矢量，離臨界點越近，其張角越大)。

設(shè)：1916年，巴納德星視速率U1為110.8km/s，年自行值Δθ′為10.3角秒，視分量角為α1， 2017年視速率U2為106.8km/s，年自行值Δθ″為10.31角秒，視分量角為α2。由1916年至2017年總計101年自行總量為θ=(0°0′10.3″+0°0′10.31″)101/2=0°17′20.81″。

圖4 藍(lán)移區(qū)示意圖

設(shè)巴納德星真速率為U0,U0=U1/cosα1，U0=U2/cosα2=U2/cos(α1+θ)

得U1/cosα1=U2/cosα1cosθ-sinα1sinθ

整理：U2/U1=(cosα1cosθ-sinα1sinθ)/cosα1

U2/U1=cosθ-tgα1sinθ

得tgα1=(cosθ-U2/U1)/sinθ

(6)

將：U1=110.8，U2=106.8，θ=0°17′20.81″代入式(6)，

得tgα1=7.15191873，α1=82°2′25.29″

巴納德星真速率：

U0=U1/cosα1=800.1413348km/s，α2=α1+θ=82°19′46.1″

巴納德星真速率：

U0=U2/cosα2=800.1413372km/s

在圖4中的X軸P1點上，有兩艘飛船①、②，同一瞬間從P1出發(fā)。①飛船向P點以光速飛行，經(jīng)過t1時間間隔到達(dá)P點，在P點等候，②飛船先沿X軸向P2點以U0速率飛行，經(jīng)過t0時間間隔到達(dá)P2點，即刻轉(zhuǎn)向P點，以光速飛行，經(jīng)過t2時間間隔到達(dá)P點，此瞬間而①飛船在P點已等侯了t時間間隔。

①飛船用時t1+t，②飛船用時t0+t2，①飛船與②飛船在同一瞬間從P1點出發(fā)，又到達(dá)同一點P,只是①飛船早到了t時刻,兩飛船用時相等,得t1+t=t0+t2

(7)

C0t1=L1

C0t2=L2

從圖4中知：

∵L1≠L2

∴t1≠t2t≠t0,將地球時轉(zhuǎn)換成巴納德星時。將式(3)變換為：

t=t0(1-cosαU0/C0)(1+cosβU0/C0)

(8)

因地球天文臺觀測所有星空天體的自行與視速率，都是以太陽系為參照，故(8)式中U0=0,(8)式成為：

t0=t/(1-cosα0U/C)

(9)

巴納德星現(xiàn)年自行值Δθ″=10.31″,將α3=α2+Δθ″=82°19′56.41″、U0、C0、Δt代入式(9)，得：t0″=1.000356241年。

取t0′、t0″平均值Δt0=1.000356307年，地球1年時，巴納德星而為1.000356307年時。

將圖4中Δ1計算出距離,Δ1=Δt0×U0/C0=2.669934978×10-3光年。

在△PP2P3中：Δ1/sinΔθ″=L3/sinα2=L2/sin(180-α3)

L3=Δ1·sinα2/sinΔθ″=52.93751987光年,t3=52.93751987年。

L2=Δ1·sinα3/sinΔθ″=52.93787618光年,t2=52.93787618年。

由式(7)同理知，

t2+Δt=Δt0+t3

t2+Δt=53.93787618年

Δt0+t3=53.93787618年

由以上數(shù)據(jù)得知式(7)正確。

在△PP1P2中：L1/sin(1800-α2)=L2/sinα1，

L1=L2·sinα2/sinα1=52.97471293光年,t1=52.97471293年。

將t1=52.9747293年，t=101年，t2=52.93787618年代入式(7)，得：

t0=t1+t-t2=101.0368368年，由地球時101年求知巴納德星101.0368368年。

式(6)不但滿足藍(lán)移區(qū)，也能滿足紅移區(qū)，過藍(lán)紅移臨界點后進(jìn)入紅移區(qū),視速率漸漸變大。仍以巴納德星為例，將：U1=106.8km/s，U2=110.8km/s，θ=0°17′20.81″，代入式(6)，得：

tgα1=-7.424921349，α1=-82°19′46.1″=180-82°19′46.1″=97°40′13.9″，真速率U0=U1/cosα1=-800.1413372km/s

α2=α1+θ=-82°2′25.29″=180-82°2′25.29″=97°57′34.71″ ，真速率U0=U2/cosα2=-800.1413348km/s。

式(6)能滿足視速率為藍(lán)移的天體,也滿足視速率為紅移的天體。可以先對太陽系臨近的而視速率存在變化的天體進(jìn)行測算,求知真速率、真距離。隨著時間的推移，漸測求知遠(yuǎn)離太陽系的天體，將對宇宙有一新認(rèn)識。