例談數(shù)學(xué)思考力

☉江蘇省淮安工業(yè)園區(qū)實驗學(xué)校 李 賓

☉江蘇省淮安工業(yè)園區(qū)實驗學(xué)校 張徐慧

“數(shù)學(xué)思考”是需要一定的思考力來實現(xiàn)的.數(shù)學(xué)思考力是從數(shù)學(xué)的角度觀察問題、分析問題，發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)信息，并運用數(shù)學(xué)的知識與方法解決問題的思考能力，是在數(shù)學(xué)思維過程中產(chǎn)生和表現(xiàn)出來的作用力.學(xué)生經(jīng)常由于思考力的不足，導(dǎo)致問題無法解決而產(chǎn)生受挫情緒，從而對數(shù)學(xué)學(xué)習失去信心，進而失去興趣.如何引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)思維活動中提升數(shù)學(xué)思考力，是數(shù)學(xué)教師的首要任務(wù).

一、判斷影響數(shù)學(xué)思考力

判斷是指對事物情況有所肯定或否定的思維形式，是一種三思而行的能力.數(shù)學(xué)活動中的判斷始終圍繞著選擇獲取什么樣的信息，思考方向定位在何處，如何把握思考力的作用點等，這些都是需要事先做好判斷的.在判斷的過程中，學(xué)生的自我心智活動是有意識的.判斷力強的人思考力也強，他們的心智活動一般表現(xiàn)為尋求各種可能的方法，不斷地修正、完善過程，善于原因分析，執(zhí)行力強，想盡一切方法解決問題，只要有想法就會去嘗試.數(shù)學(xué)學(xué)習大多數(shù)是一種思考之后的“嘗試”.

教學(xué)片段1：你有哪些方法畫已知∠AOB的平分線？

生1：直接用量角器量，很簡單，小學(xué)里就已經(jīng)學(xué)過了.

師：怎么量？能說說具體的過程嗎？

生1：將量角器上的中心與O點對齊、水平刻度線與射線OB重合，看射線OA與哪個刻度線重合，讀出∠AOB的度數(shù)，然后計算出它的一半，找出與∠AOB的度數(shù)的一半相對應(yīng)的刻度線就可以了.

師：請你上來跟大家一起量一量.

生1：（應(yīng)用SEEWO軟件里的數(shù)學(xué)工具量角器）量得∠AOB的度數(shù)差不多是49度.

師：∠AOB的度數(shù)的一半是多少呢？

生1：差不多是……

師：這就比較麻煩了，差不多的差不多是多少呢？找不準，會產(chǎn)生誤差，這樣做不太準！有什么方法可以替代嗎？

生2：對折，沿著O點將射線OA與射線OB重合，折痕就是它的平分線.

師：確實是個好方法，簡單易操作，避免了誤差，值得借鑒.還有其他方法嗎？

生3：（應(yīng)用SEEWO軟件里的數(shù)學(xué)工具刻度尺）在OA、OB上分別量OC、OD，使得OC=OD，連接CD，再取CD的中點E，連接OE，射線OE就是∠AOB的平分線.

在上述教學(xué)片段中，學(xué)生做出的判斷遵循的心智活動有：第一，三個人通過思考分別用了三種不同的方法；第二，在聽取其他同學(xué)的方法之后，無論對與錯，聽的人都會不斷地自我修正直至完善.

教學(xué)片段2：在數(shù)學(xué)上，我們?nèi)绾谓柚背吆蛨A規(guī)作已知角的平分線？

師：我們的同學(xué)都很棒，都是生活的創(chuàng)造者，剛才你們的方法與我們工人師傅的想法不謀而合.大家都很努力，只要堅持就不怕問題解決不了.我們先來看看工人師傅的方法，看會不會給你們一些啟示.

問題1：工人師傅常常利用角尺平分一個角.如圖2，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別任取OC=OD，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點C、D重合，這時過角尺頂點M的射線OM就是∠AOB的平分線.請同學(xué)們說明這樣畫角平分線的道理.

圖2

生1：利用“SSS”證明三角形全等.

師：你能說說工人師傅的操作過程嗎？（這一方法實際上就是對用“用刻度尺畫角平分線”的延伸，再次感受幫助學(xué)生建立聯(lián)系，從而產(chǎn)生新的思維）

生2：量OC=OD；移動角尺，使CM=DM；連接CM、DM，射線OM就是∠AOB的平分線.

師：能說明理由嗎？這樣的M點唯一嗎？

生2：不唯一，任意移動角尺，只要滿足CM=DM就可以了.

師：角尺對工人師傅來說是日常用品，在數(shù)學(xué)中我們可以使用什么工具代替呢？

生3：直尺.

師：直尺怎么做到CM=DM？

生3：不能，可以用圓規(guī).

師：很好，在數(shù)學(xué)中，我們常用的畫圖工具是直尺和圓規(guī).用直尺和圓規(guī)按序?qū)⒛竟煾档摹安僮鳌边^程作出來，并寫出作法.

生3：

上述教學(xué)片段中，學(xué)生做出的判斷遵循的心智活動有：由工人師傅的操作類比歸納尺規(guī)作角平分線的方法，這是本節(jié)課的難點，學(xué)生很難做到遷移，但是遇到問題時，學(xué)生不斷地嘗試，在嘗試的過程中不斷地分析問題、查明原因，修正完善.比如，第二步“移CM=DM”中M點的確定，學(xué)生會先想到把圓規(guī)指針放在某個點，把這個點作為M，可是在過程中會發(fā)現(xiàn)不知道把圓規(guī)指針放在什么位置.通過不斷地分析探討會發(fā)現(xiàn)C、D兩點是確定的，從而轉(zhuǎn)換思路，通過確定的C、D兩點來確定未知的M點.若分別以點C、D為圓心，半徑又該如何選擇？在嘗試中發(fā)現(xiàn)只能以“大于CD一半的長”為半徑作弧.

通過上訴兩個教學(xué)片段，我們發(fā)現(xiàn)，判斷力強的學(xué)生能有效產(chǎn)生高質(zhì)量的見解.

二、洞察影響數(shù)學(xué)思考力

弗洛伊德曾說過：“洞察力就是變無意識為有意識.”洞察力也稱預(yù)見力，是指一個人多方面觀察事物，從多種問題中把握其核心的能力.有些學(xué)生看到信息就會立刻作出決定，確定行動方案，采取行動.在解決的過程中，他們也會接受潛意識的警訊，一旦感覺不對，就會繼續(xù)搜集信息，不斷調(diào)試方法.這類學(xué)生洞察力比較強，常常能敏銳地發(fā)現(xiàn)別人尚未意識到的問題，能迅速又準確地找到問題的本質(zhì).因此，強化洞察力，對于學(xué)生捕捉到創(chuàng)造性思維，尋求解決問題的辦法相當重要.

1.開啟好奇心、主動發(fā)現(xiàn)問題

任何學(xué)習都離不開好奇心，有了好奇心也就有了問題.學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問題和提出的問題越多，能夠解決的問題也就越多，那么提高的能力也就越廣.教師要善于鼓勵學(xué)生對任何問題都要帶著疑問，帶著好奇心，鼓勵學(xué)生探究想象問題的前因后果，用不間斷的思考豐富自己的思維，加深自己的學(xué)習經(jīng)驗.學(xué)材的選取要盡可能直觀、形象、豐富，盡可能充分調(diào)動學(xué)生的多種感官，讓學(xué)生有充分的看、聽、說的機會，讓學(xué)生自己在解決問題中尋求突破，從而激發(fā)學(xué)生的思考力.問題的設(shè)計，要能充分調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)思考的興趣，最好能接近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”.數(shù)學(xué)情境的選取要恰當，能夠激發(fā)學(xué)生探究的沖動，并能在解決問題后帶來幸福感的體驗.

2.善于思考、學(xué)會分析問題

學(xué)生對一個問題的思考過程，其實就是一個分析的過程.通過思考，學(xué)生才會形成從多種問題中把握核心問題的能力.很多學(xué)生遇到問題時似乎從來不多加思考，不分析，也不想象，只會憑著自己的感覺去做.結(jié)果，前面做過的題目再次遇到時還是不會做.在思考的過程中，學(xué)生要學(xué)會對照比較、歸納概括、融會貫通、舉一反三.

比如，在新授課中運用直尺與圓規(guī)作出已知角的平分線，提出這樣的問題：如圖3，你能運用直尺與圓規(guī)作出它們的角平分線嗎？學(xué)生是建立在非平角的一般角的經(jīng)驗上通過對比模仿建立遷移，通過分析可以發(fā)現(xiàn)，平角也是角，因此作法應(yīng)該跟一般的角一樣.待學(xué)生解決完，教師及時追問：第二個平角的角平分線與直線AB有怎樣的關(guān)系？在此基礎(chǔ)上再次提出：已知直線AB，過O點你會作直線AB的垂線嗎？學(xué)生順理成章地遷移得就是以O(shè)為定點，作平角AOB的平分線！

圖3

層層深入，變式遷移：（1）如圖4，已知直線l，如何過O點作直線l的垂線呢？

學(xué)生會自然而然地在直線l上O點的兩側(cè)取A、B兩點，將問題轉(zhuǎn)化成與上面一樣.

圖4

3.多積累、豐富經(jīng)驗

學(xué)生的洞察力與學(xué)習經(jīng)驗是分不開的，經(jīng)驗豐富的學(xué)生，見的問題多、思路清晰、方法得當，因此解決問題的效率快，而且一步就能做到位；經(jīng)驗不夠的學(xué)生，思路不對、方法也不當，總是犯錯誤，同樣的問題經(jīng)常犯.學(xué)習經(jīng)驗越豐富，洞察力越強.只有多思考、多理解問題，才能豐富自己的學(xué)習經(jīng)驗；多積累，思考的內(nèi)容才能更具體、更豐富，洞察力才能更強.

三、自覺影響數(shù)學(xué)思考力

自覺是自己有所認識而主動去做，自己感覺到，自己有所察覺，是內(nèi)在的自我發(fā)現(xiàn)、外在創(chuàng)新的自我解放意識.從發(fā)展學(xué)力的角度看，數(shù)學(xué)思考轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思考力的成功秘訣，需要一個條件支持就是“思路”來自于學(xué)生的思考.我們知道，任何一種能力的培養(yǎng)都不是一蹴而就的，而是需要堅持不懈地努力，在這個過程中，起著關(guān)鍵作用的內(nèi)在驅(qū)動力就是學(xué)生的自覺力，如果學(xué)生沒有堅定的信念和責任心，是很難提升數(shù)學(xué)思考力的.自覺力強的學(xué)生思考力也強，能正確評估自己的能力，合理地擬定截長補短的計劃.在數(shù)學(xué)學(xué)習中，一切數(shù)學(xué)思考的轉(zhuǎn)化都來自于學(xué)生自身，學(xué)生思維的自發(fā)覺醒是數(shù)學(xué)思考力發(fā)展的必要因素.我們可以從兩個方面來激發(fā)學(xué)生自愿地執(zhí)行或追求整體長遠目標任務(wù)的自覺力，一是培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習的熱情、興趣等；二是激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的責任心、職責意識等.

數(shù)學(xué)學(xué)習活動是通過學(xué)生自我的心智做出判斷、洞察解決方法及創(chuàng)意點子、自覺采取行動.思考力強的學(xué)生善于提出問題，并且借著對問題的深入分析提升討論的深度.思考力強的學(xué)生對待問題目標明確、堅韌不拔、全心投入，不達目標，絕不中止.