論反例在中學數(shù)學教學中的作用

黃新旭

摘 要：在中學數(shù)學教學中，恰當?shù)姆蠢粌H能加深學生對概念、定理、公式的理解與運用，還有利于提升學生數(shù)學思維能力。本文從反例的概念著手，借助調(diào)研結(jié)果，研討反例運用所存在的問題，剖析反例在數(shù)學教學中的作用。

關(guān)鍵詞：反例；問題；作用；思維

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1004-7344（2018）30-0037-02

1 引 言

在現(xiàn)實的學習及實踐中，我們有如此的經(jīng)歷：當對某問題苦思而無果時，從反面切入，常能茅塞頓開，獲得驚喜性的成功。又或，要否定一個命題，只要舉出一個滿足命題條件，而不滿足命題結(jié)論的例子就行了。這在數(shù)學中稱為舉反例。G·波利亞說：“類比和反例是獲得發(fā)明的偉大源泉。”在學習日常中，我們會總結(jié)出一系列的結(jié)論，而當結(jié)論是錯誤的，那么舉出反例就可以推翻。

同樣，在中學數(shù)學教學中，某些數(shù)學知識學生僅從正面去思考會很模糊，然構(gòu)建適當?shù)姆蠢Ｄ苁盏匠龊跻饬系奶鸸?，學生既深刻地理解了知識，又培養(yǎng)優(yōu)良的數(shù)學品質(zhì)。故，僅靠正面示范，沒有反例的參照，無法凸顯知識的本真，對知識的理解就會失真。

2 反例的概念

數(shù)學中的反例，是指符合命題的條件，而又不符合該命題結(jié)論的例子。簡稱，反例就是一個指出某命題不成立的例子。從廣義上來講，所有的例子都可稱為反例，因為它總可以推出某命題不成立。反例教學是指在概念、定理等教學過程中，教師有針對地構(gòu)建看起來正確而實質(zhì)完全錯誤的解答，進一步巧妙地引領(lǐng)學生發(fā)現(xiàn)、頓悟、歸納出錯誤，最終得出正確結(jié)論的教學方法。

精準說來，反例教學法中的反例是指教師在教學實踐中，收集的典型例題的典型誤解、重要知識點的典型錯誤認識。然而，如果反例龐雜，則學生反而會被引入歧途，倘若是教師信手拈來的反例，那么其意義就很微小，因此，反例必須具體有典型性、精準性、簡煉性。

3 運用反例的調(diào)研

貴州大學附屬中學始建于1947年，目前是一所全日制封閉精細管理的貴州省屬中學，含有初高中數(shù)學教師24名。通過對這24名教師進行問卷調(diào)查得出以下結(jié)論，如表1～4。

4 目前數(shù)學反例使用存在的主要問題

①新課標對反例沒有具體要求，關(guān)于反例的考題基本沒有；②教師認為反例的作用微乎其微缺乏運用反例的意識；③教師對反例的了解甚少，無法有效的把反例運用于教學中；④教師構(gòu)造反例的能力低，不能系統(tǒng)地教給學生構(gòu)造反例的方法；⑤關(guān)于反例的資料缺乏，獲取反例的渠道單一，主要從教材及教材參考書和自己的經(jīng)驗獲??；⑥大部分的教師都是在平時教學過程中少量的穿插使用反例。

5 反例在數(shù)學教學中的作用

5.1 反例可以加深學生對數(shù)學概念及原理的理解

教學中，概念、定理、公式一般采用正面闡述的形式，學生往往對一些關(guān)鍵性詞句、條件理解不透徹，看不到本質(zhì)，只是機械地強記。如果遇到名稱相似或結(jié)構(gòu)相類似的知識點，就會混淆得一塌糊涂。

例1：不少學生片面地認為函數(shù)就是：一個變量隨著另一個變量的變化而變化，它們就是函數(shù)關(guān)系，可提出這兩個例子：

（1）人的體重與年齡成函數(shù)關(guān)系嗎？

（2）若y=clt x·tan x，則y是x的函數(shù)嗎？

解析：①學生認為體重隨年齡的增加而增加，因而構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。實際上，年齡無法確定體重，即當年齡發(fā)生變化時，體重沒有確定的值和它對應，故不符合函數(shù)的定義。②學生認為y=cot x·tan x=1，故y不是x的函數(shù)。實際上對每一個定義域內(nèi)的x值，y總有唯一確定的值（y=1）和它對應，只不過y的值始終不變罷了，因此是函數(shù)。

5.2 反例是一種糾正錯誤的常用辦法

反例之所以被稱為反例，是因為糾錯是它最凸顯的也是最根本的作用。講授習題上，舉反例是反駁與糾正錯誤的有效方法，是學生加強學習的有力武器。面對學生解題中所出現(xiàn)的共性錯解，教師可以示以反例，曲中窺直，用反例說明解法有誤，從而引導學生去找到錯誤的根源，最終讓師生共同品嘗成功的“蛋糕”。

例2：若a=A，b=B，則a+B=A+B，反之是否成立？

解析：反之不成立。顯然直接說明不好入手，借助反例：若a=6，b=4，則a+b=10，若A=2，B=8，則A+B=10，但是a≠A，b≠B。

5.3 借助反例可以引導學生發(fā)現(xiàn)問題

課本中的例題所提供的解題思路清楚明確，學生只需機械記憶與模仿，長此以往會使學生缺乏勇于探索、質(zhì)疑的能力。為了補缺，在例題講授中教師設(shè)置適當反例，故意制造陷阱，讓學生透過現(xiàn)象，看到問題的本質(zhì)，養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)的品質(zhì)。例如在講授分式方程的解法時，書本都是給出解方程的規(guī)范步驟，而照本宣科的教學不易發(fā)現(xiàn)問題，同時學生也懶得去探索、發(fā)現(xiàn)。巧用反例，可以使學生發(fā)現(xiàn)漏洞，自主發(fā)現(xiàn)，獲得正確的結(jié)論。

面對這樣的反例，學生的興趣就提上來了，一眼就能發(fā)現(xiàn)錯誤的原因是去分母時方程右邊漏乘了（x-1）。通過這個反例，加深了學生去分母不要漏乘的印象。

5.4 反例可以培養(yǎng)學生思維的多重維度

數(shù)學學習的任務就是要培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，從而正確地解答數(shù)學問題，并能優(yōu)化其他問題的解決。新課標明確指出：“發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心?！彼季S的縝密性、靈活性、發(fā)散性、深刻性、創(chuàng)新性都是思維重要的品質(zhì)。根據(jù)中學生的心理特點和學科自身的特點，運用反例培養(yǎng)這些思維品質(zhì)是一個行之有效的方法。設(shè)置巧妙的反例，能讓學生學會多維度考慮問題，靈活思維。然而，構(gòu)造反例的方法并不是唯一的，需要學生對所學知識有透徹的理解，充分挖掘數(shù)學功底，展開想象，故構(gòu)造反例的過程也是學生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的訓練過程。

例4：帶根號的數(shù)都是無理數(shù)。

5.5 反例可以極速解題的速度

反例的學習和運用可以提高我們的數(shù)學能力，優(yōu)化解題過程，并在日積月累中提高解題速度。反例教學實際上是教師為了清晰學生在掌握數(shù)學知識過程中的模糊印象，亂套公式等毛病所挖的坑。通過正反對比，構(gòu)造極端的反差，使學生對錯誤留下極為深刻印象，從而，降低再犯類似的錯誤的幾率，最終使學生對所學知識得到進一步鞏固升華。

例5：在學習反比例時可舉出反例：倩倩總共要背18首詩，問已經(jīng)背的和沒背的數(shù)是否成反比例？

解析：“對的”，顯然這些學生沒有充分掌握成反比例的條件：兩個量的乘積為定植。這個題是兩個量的和一定，學生頓時豁然開朗，

5.6 反例是鑒別假命題簡易的方法

反例是否定一個命題的絕佳手段。在學習過程中，學生通過類比或歸納等方法得到一些看似正確實則錯誤的結(jié)論，要否定它，反例是一種行之有效的利器。判斷一句話（或一個結(jié)論）的真?zhèn)?，首當其充的方法就是?gòu)造反例。這是由反例本身的特性決定的，在澄清是非，揭示黑白，否定命題時它具有直觀、簡明、說服力強等特點。

例6：負數(shù)就是在一個數(shù)的前面加一個負號。

解析：許多理解不清的學生認為是對的，只要亮出反例，如果是負數(shù)，在它的前面加一個負號就變成了一個正數(shù)了。再如果是0，在0的前面加個負號還是0。

5.7 教學相長的助推

教學包含教師的教與學生的學兩部分。教學離不開教師和學生這兩個相對主體，在教學中，教師不僅是講授者和組織者，也是參與討論的一位，學生的思維“動”起來后，他們在研究問題的廣度和深度上可能會超越教師，使教師和學生之間能相互學習。反例在教學中雖處于次要地位或輔助教學地位，但它是培養(yǎng)學生主動性和能力的一種途徑，它有利于教師更有效地教授知識，也有利于學生更好地掌握數(shù)學各類知識，達到雙贏的局面。

例7：兩個無理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？

6 結(jié)束語

在中學數(shù)學教學中，適時地引入一些反例或啟發(fā)學生構(gòu)建反例，往往能使學生在認識上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，有助于他們掌握并能靈活運用。教師根據(jù)學習過程中學生容易出錯的地方，開展反例教學，講解精選的反例，往往能引起學生內(nèi)心的共鳴，增加學生學習的熱情，使認識與體驗相融合，打破對數(shù)學的慣性思維：“枯燥、繁瑣、難如登天”，激勵其上進的欲望，并形成學好數(shù)學的堅定信念，癡于與數(shù)學談一場永不分手的戀愛。

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收稿日期：2018-9-23