淺析高中數(shù)學(xué)小題中有關(guān)構(gòu)造函數(shù)問題

宋英軍

【摘 要】為同學(xué)們總結(jié)有關(guān)函數(shù)導(dǎo)數(shù)中小題的部分題型的解題思路，幫助其擺脫對函數(shù)導(dǎo)數(shù)的陰影，特對函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的部分小題做出一些個人的總結(jié)，希望對同學(xué)們有些許幫助。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；構(gòu)造函數(shù)；由條件推導(dǎo)新函數(shù)

根據(jù)各種有關(guān)函數(shù)構(gòu)造小題，本人將其分為兩大類：⑴有關(guān)函數(shù)奇偶性的簡單函數(shù)構(gòu)造問題。⑵單純的復(fù)雜函數(shù)構(gòu)造問題。由于例題過于繁雜，本人便不一一列舉。不過，在講述解題方法之前，本人先對其所用的基本公式進(jìn)行一下說明，以便于之后的總結(jié)。

由于目前高中對函數(shù)介紹較少，對于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算主要應(yīng)用以下幾個公式：

1.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的加減法運(yùn)算公式；

2.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘法運(yùn)算公式；

3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式。

為了便于做出總結(jié)，特在此將函數(shù)導(dǎo)數(shù)的除法運(yùn)算公式做一些改動。改動并證明如下：fxgx′=f′xgx-fxg′xgx2fx

gx-1′=f′xgx-1+fxg′xgx2=f′xgx-1+fxgx-1′可知，函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘法運(yùn)算公式與除法運(yùn)算公式實質(zhì)性等同。

類型一：有關(guān)函數(shù)奇偶性的簡單函數(shù)構(gòu)造問題；

1.（高考）奇函數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)問題的顯性應(yīng)用

常見條件：①fx在R上可導(dǎo)；②fx+f-x=2Ax2在R上恒成立；③f′x-2Ax在0，+∞或-∞，0為正或為負(fù)。

構(gòu)造過程：fx+f-x=2Ax2fx-Ax2=-f-x-A-x2。所以，fx在R上為奇函數(shù)。令gx=fx-Ax2，則g′x=f′x-2Ax，即得新函數(shù)gx為所求函數(shù)。

2.（拓展）偶函數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)問題的顯性應(yīng)用

常見條件：①fx在R上可導(dǎo)；②fx-f-x=2Ax在R上恒成立；③f′x-2A在0，+∞為正或為負(fù)。

構(gòu)造過程：fx-f-x=2Axfx-Ax=f-x-Ax。所以，fx在R上為偶函數(shù)。令gx=fx-Ax，則g′x=f′x-2Ax，即得新函數(shù)gx為所求函數(shù)。

3.（拓展）隱性應(yīng)用

眾所周知，兩個奇函數(shù)相加仍為奇函數(shù)，偶函數(shù)亦然。而x的奇次方為奇函數(shù)，x的偶次方為偶函數(shù)。如果上述的奇函數(shù)與x的奇次方相加，偶函數(shù)與x的偶次方相加，即可構(gòu)造出更加復(fù)雜的函數(shù)。但因其難度太大，在此便不做具體說明。

類型二：單純的復(fù)雜函數(shù)構(gòu)造問題

1.（高考）冪函數(shù)與未知函數(shù)的乘法問題

常見條件：①fx在R上可導(dǎo)；②xf′x+Afx在0，+∞或-∞，0或R上為正或為負(fù)。

構(gòu)造過程：令gx=xAfx，得g′x=xAf′x+AxA-1fx=xA-1xf′x+Afx。即得新函數(shù)gx為所求函數(shù)。

2.（高考）指數(shù)函數(shù)與未知函數(shù)的乘法問題

常見條件：①fx在R上可導(dǎo)；②f′x+Afx在0，+∞或-∞，0或R上為正或為負(fù)。

構(gòu)造過程：令gx=eAxfx，得g′x=eAxf′x+AeAxfx=eAxf′x+Afx。即得新函數(shù)gx為所求函數(shù)。

3.（高考）正余弦函數(shù)與未知函數(shù)的乘法問題

由于此類問題形式簡單而種類繁多，我將以表格形式列出。表格如下：

4.（高考）三項式問題

常見條件：①fx在R上可導(dǎo)；②Ax+Bfx+xf′x在0，+∞或-∞，0或R上為正或為負(fù)。

構(gòu)造過程：因為Ax+Bfx+xf′x=xf′x+Afx+Bfx=xf′x+Bfx+Axfx，所以猜測新函數(shù)gx=eAxxBfx，得g′x=eAxxB-1Ax+Bfx+xf′x。故新函數(shù)gx為所求函數(shù)。

以上便是本人對小題中函數(shù)構(gòu)造的全部見解，希望對同學(xué)們有些許幫助。

【參考文獻(xiàn)】

[1]五年高考，三年模擬.組卷網(wǎng)