教材的專(zhuān)業(yè)化解讀與教學(xué)設(shè)計(jì)策略
———以《長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)》為例

潘小福（特級(jí)教師）

關(guān)于長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，蘇教版教材共編排有三個(gè)例題。這三個(gè)例題的編排有什么特點(diǎn)？如何專(zhuān)業(yè)化解讀，并進(jìn)行針對(duì)性的教學(xué)設(shè)計(jì)呢？

一、例題4的教材解讀與教學(xué)設(shè)計(jì)

例題4，讓學(xué)生分小組任意擺3個(gè)小長(zhǎng)方形，然后填寫(xiě)表格，但是教材沒(méi)有像例5、例6那樣，用大卡通來(lái)引導(dǎo)思考的方向。擺長(zhǎng)方形后，學(xué)生要思考什么？教師也較少去思考擺長(zhǎng)方形的目的是什么？

一般地，數(shù)學(xué)教學(xué)中，任何一個(gè)實(shí)踐操作活動(dòng)，都應(yīng)該有一個(gè)思維的方向，也就是通過(guò)操作，思考什么？所以，在解讀教材時(shí)，要理解教材的編寫(xiě)意圖，即要用一個(gè)“啟發(fā)式提問(wèn)”引領(lǐng)學(xué)生的思維方向，指導(dǎo)學(xué)生的實(shí)踐操作。我想，這里可以用“你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？”這個(gè)問(wèn)題來(lái)引領(lǐng)，而且這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該在學(xué)生操作之初就提出。這是例題4教學(xué)的第一個(gè)問(wèn)題。

例題4教學(xué)還有第二個(gè)問(wèn)題，即教材提出“小組合作”，“小組合作”是一個(gè)籠統(tǒng)的概念，分幾人小組？小組里的同學(xué)如何分工？要如何表達(dá)小組學(xué)習(xí)的成果？……這些問(wèn)題都需要進(jìn)行教學(xué)法的規(guī)劃和設(shè)計(jì)。一般地，教師在教學(xué)例4的時(shí)候，往往會(huì)采取兩種方式，一種由小組合作轉(zhuǎn)化為每個(gè)學(xué)生操作——擺3個(gè)長(zhǎng)方形，而這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓每一位同學(xué)都動(dòng)手操作，擺出3個(gè)小長(zhǎng)方形，往往會(huì)占用比較多的課堂學(xué)習(xí)時(shí)間。如果經(jīng)常采用學(xué)生個(gè)性化的獨(dú)立操作，學(xué)生的自主操作能力較強(qiáng)，則可以嘗試；如果學(xué)生操作能力一般，在課的起始階段，就讓學(xué)生占用過(guò)多的課堂學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行操作，則會(huì)使得課堂沉悶，也會(huì)影響整節(jié)課的推進(jìn)節(jié)奏，學(xué)習(xí)效率不高。另一種，則是用小組合作的形式，一般采用4人小組的形式。采用這種方式，這4人小組要進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆止?，例如，先合理安排，如何擺，如何記錄，如何思考，再推選一個(gè)人記錄填表，其他3個(gè)人各擺1個(gè)。在整個(gè)小組學(xué)習(xí)的過(guò)程中，每個(gè)小組的組長(zhǎng)要做好組織、協(xié)調(diào)工作。

在例題4的教學(xué)過(guò)程中，最為關(guān)鍵的是在學(xué)生自主學(xué)習(xí)展開(kāi)后，學(xué)生已經(jīng)形成了個(gè)性化的認(rèn)知，但還不是很成熟、完善時(shí)，如何有效組織學(xué)生的互動(dòng)交流，這是推進(jìn)教學(xué)、提升學(xué)生認(rèn)知和思維的關(guān)鍵。在這里，首先要注重收集學(xué)生的學(xué)習(xí)“資源”，所謂“資源”即是在前期學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)“你有什么發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)成果的“表征”，可以用文字，也可以用圖形等其他形式由學(xué)生表達(dá)出來(lái)。教師教學(xué)時(shí)，往往會(huì)一個(gè)一個(gè)地讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)自己的發(fā)現(xiàn)，這樣只有少數(shù)的學(xué)生參與到課堂交流之中，因此，此時(shí)最好精心選擇一組有典型性、代表性的學(xué)生的學(xué)習(xí)成果記錄單。何為典型性、代表性呢？即是教師在解讀教材時(shí)期望出現(xiàn)的“學(xué)生的發(fā)現(xiàn)”都能很好地呈現(xiàn)出來(lái)的學(xué)生的學(xué)習(xí)記錄單：

1.可能發(fā)現(xiàn)，含有幾個(gè)小正方形，它的面積就是幾平方厘米，這是舊知，上一節(jié)課已經(jīng)學(xué)過(guò)。

2.還可能發(fā)現(xiàn)，橫排里擺幾個(gè)，長(zhǎng)就是幾厘米，豎排擺幾個(gè)，寬就是幾厘米，這個(gè)發(fā)現(xiàn)是這堂課要讓學(xué)生體會(huì)的。體會(huì)到長(zhǎng)方形的面積和長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是有關(guān)系的。

3.進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)，可能是長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)是它橫排的個(gè)數(shù)乘豎排的個(gè)數(shù)。這個(gè)發(fā)現(xiàn)，對(duì)后面長(zhǎng)方形面積公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)是一個(gè)非常直觀的呈現(xiàn)。

這三個(gè)發(fā)現(xiàn)，就是例題4的學(xué)習(xí)目標(biāo)，而且，這三個(gè)發(fā)現(xiàn)形成一個(gè)不斷遞進(jìn)的序列，這樣的序列可以引導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)知不斷走向深入。如果有一張學(xué)習(xí)單中有這三個(gè)發(fā)現(xiàn)，那就是具有典型性和代表性，如果未能發(fā)現(xiàn)，則可以匯總學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，由教師組合在一起呈現(xiàn)。

呈現(xiàn)這樣有結(jié)構(gòu)、有序列的學(xué)生學(xué)習(xí)“資源”后，就可以引導(dǎo)每一個(gè)學(xué)生圍繞著下面的問(wèn)題展開(kāi)互動(dòng)交流，促進(jìn)認(rèn)知的深化。

1.你理解這三個(gè)發(fā)現(xiàn)嗎？

2.這些發(fā)現(xiàn)都合理嗎？

3.把這三個(gè)發(fā)現(xiàn)與自己小組的發(fā)現(xiàn)對(duì)照，比一比，有什么不同？

通過(guò)這三個(gè)問(wèn)題的互動(dòng)交流，學(xué)生對(duì)剛才的自主學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了一次深度反思，引導(dǎo)著學(xué)生的思維不斷深刻，形成對(duì)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬決定著長(zhǎng)方形面積的大小的關(guān)系認(rèn)識(shí)，并初步猜想，長(zhǎng)方形的面積就是長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的乘積。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)還改變了課堂中“師——生”單一的對(duì)話交流方式，讓更多的學(xué)生參與到課堂學(xué)習(xí)過(guò)程之中，讓更多的學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。

二、例題5的教材解讀與教學(xué)設(shè)計(jì)

例題4的教學(xué)，讓學(xué)生充分交流后，教師順勢(shì)提出：你還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？引導(dǎo)學(xué)生提出：長(zhǎng)方形的面積計(jì)算就是長(zhǎng)乘寬。教師追問(wèn)：這樣的發(fā)現(xiàn)是不是正確呢？于是，過(guò)渡到例題5的教學(xué)：接下來(lái)，我們繼續(xù)研究長(zhǎng)方形的面積計(jì)算。用這樣的方式來(lái)推進(jìn)教學(xué)，既符合知識(shí)的展開(kāi)邏輯，又契合學(xué)生的認(rèn)知需求，讓課堂教學(xué)的推進(jìn)很有節(jié)奏感。

于是，教師先給出1個(gè)長(zhǎng)方形（例題5第1個(gè)長(zhǎng)方形），要求用小正方形量一量：它的面積是多少呢？讓學(xué)生用面積是1平方厘米的小正方形自主量，并把量得的結(jié)果記錄在長(zhǎng)方形的邊上。然后，教師并列呈現(xiàn)學(xué)生的“資源”：一種是擺滿了的，第二種是橫排擺一行，豎排擺一行。

在組織交流時(shí)，可提出以下三個(gè)問(wèn)題：

1.他們都量對(duì)了嗎？（都是12平方厘米，都是對(duì)的）

2.他們的量法有什么不同？（前者是擺滿了的，后者沒(méi)有擺滿）

3.為什么第二種擺法也能得到12平方厘米呢？（因?yàn)榭梢杂妹颗艛[的個(gè)數(shù)乘以排數(shù)）

這三個(gè)問(wèn)題，串聯(lián)起學(xué)生自主的思維，得到這樣的認(rèn)識(shí)：用面積是1平方厘米的小正方形量長(zhǎng)方形的面積，只要先量長(zhǎng)方形的長(zhǎng)有幾個(gè)小正方形，再量長(zhǎng)方形的寬有幾個(gè)小正方形，就可以用橫排的個(gè)數(shù)乘豎排的個(gè)數(shù)算出長(zhǎng)方形含有幾個(gè)小正方形的個(gè)數(shù)，也就是長(zhǎng)方形的面積是幾平方厘米。

學(xué)生對(duì)這三個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)是推導(dǎo)得出長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式的最為關(guān)鍵的基礎(chǔ)。正是如此，需要讓每一個(gè)學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)這樣的思維方法，因此，在交流結(jié)束后，教師再提出：你會(huì)用這樣的方法再量一個(gè)長(zhǎng)方形的面積嗎？（讓學(xué)生量例題5第2個(gè)長(zhǎng)方形）

教師在小結(jié)這一段教學(xué)時(shí)，要特別提出：剛才那位同學(xué)提出，長(zhǎng)方形的面積可以用長(zhǎng)乘寬來(lái)計(jì)算，在這里是否又一次的得到驗(yàn)證？是否真的如此呢？我們需要再一次深入思考。

三、例題6的教材解讀與教學(xué)設(shè)計(jì)

在例題5教學(xué)的小結(jié)后，教師順勢(shì)推進(jìn)到例題6的教學(xué)，教師出示例題6，提出：下面長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米，你是如何想的呢？

學(xué)生一番思考后，會(huì)紛紛給出答案：14平方厘米。絕大多數(shù)學(xué)生會(huì)直接根據(jù)長(zhǎng)乘寬來(lái)計(jì)算，即用7乘2得出長(zhǎng)方形的面積是14平方厘米。此時(shí)，教師就順勢(shì)提出:為什么可以用7乘2呢？它的道理是什么？讓學(xué)生充分表達(dá)思考過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生從“實(shí)際擺”，到“想擺”，初步形成“長(zhǎng)方形的面積其實(shí)就是長(zhǎng)乘寬”的認(rèn)識(shí)。

但是，在學(xué)生經(jīng)歷長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式猜想的驗(yàn)證過(guò)程后，不宜立即就給出結(jié)論，教師應(yīng)再出示幾個(gè)方形，標(biāo)出長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度，讓學(xué)生再想一想，為什么只要用長(zhǎng)乘寬就可以得到長(zhǎng)方形的面積。

至此，教師提出：長(zhǎng)方形的面積與什么有關(guān)？可以怎樣求長(zhǎng)方形的面積？讓學(xué)生經(jīng)歷長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的數(shù)學(xué)化表達(dá)的過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的簡(jiǎn)潔、規(guī)范。

回顧例4至例6這樣三個(gè)例題的教學(xué)，有兩條線索推進(jìn)著教學(xué)的展開(kāi)，第一條線索：通過(guò)擺小正方形來(lái)體會(huì)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，就是小正方形橫排的個(gè)數(shù)，長(zhǎng)方形的寬，就是小正方形豎排的個(gè)數(shù)。含有幾個(gè)小正方形的個(gè)數(shù)，就是長(zhǎng)方形的面積。用這樣的“實(shí)際擺”，到后來(lái)的“簡(jiǎn)擺”，再到后來(lái)的“想擺”，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)得出，長(zhǎng)方形的面積就是長(zhǎng)乘寬。這是教師主導(dǎo)的主動(dòng)引領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)的教學(xué)線索。同時(shí)還有一條線索，首先學(xué)生自主提出猜想：長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)乘寬嗎?然后進(jìn)一步來(lái)理解、推導(dǎo)、驗(yàn)證，得出結(jié)論：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，這是一條學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)線索。兩條線索交織在一起，有力地推進(jìn)教學(xué)，使得教學(xué)的展開(kāi)與推進(jìn)，既符合知識(shí)的科學(xué)邏輯，又與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相吻合。

四、由長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式推導(dǎo)聯(lián)想到整個(gè)平面圖形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的教材解讀與教學(xué)設(shè)計(jì)

蘇教版教材有關(guān)平面圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，都是類(lèi)似地出現(xiàn)了這樣三個(gè)層次的教材編排。這對(duì)我們進(jìn)行以“類(lèi)”推進(jìn)，長(zhǎng)程規(guī)劃數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升有著很好的促進(jìn)作用。

圖1

例如，平行四邊形面積公式的推導(dǎo)（見(jiàn)圖1）。教材首先提出：下面每組的兩個(gè)圖形面積相等嗎？讓學(xué)生理解，轉(zhuǎn)化前后，形狀改變但面積不變。緊接著提出：你能把平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形嗎？其實(shí)是“有向轉(zhuǎn)化”，所謂“有向”就是朝著長(zhǎng)方形的方向，要根據(jù)長(zhǎng)方形的特征來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化：沿高相剪，得出直角。最后，每個(gè)同學(xué)自選一個(gè)平行四邊形，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形并求出長(zhǎng)方形和平行四邊形的面積，在小組交流后，推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式。

再如，圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)（見(jiàn)圖2），其實(shí)也是分這樣三個(gè)層次：

第一步，給出一個(gè)圓，“你能用數(shù)方格的方法算出圓的面積嗎？”教給學(xué)生數(shù)小格的方法。接著，繼續(xù)給出2個(gè)大小不同的圓，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)，填表格后，讓學(xué)生感受到圓的面積和半徑是有關(guān)系的。教師繼續(xù)提出：圓面積與它的半徑有什么關(guān)系？隨后，教師可以讓學(xué)生把圓等分16份、32份、64份，引領(lǐng)思考：拼成的長(zhǎng)方形與原來(lái)的圓有什么關(guān)系？ 讓學(xué)生感受到長(zhǎng)方形的面積與圓的面積相等，長(zhǎng)方形的寬是圓的半徑，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半。在此基礎(chǔ)上，得出圓的面積的公式。

圖2

蘇教版教材平面圖形面積推導(dǎo)公式都是類(lèi)似地用這樣三個(gè)例題來(lái)展開(kāi)的，體現(xiàn)出了同一類(lèi)型的知識(shí)，它們有相同的課堂推進(jìn)的結(jié)構(gòu)。這樣就可以通過(guò)回顧反思，例如在長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式推導(dǎo)時(shí)提煉研究學(xué)習(xí)平面圖形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的一般方法，繼而在研究學(xué)習(xí)其他平面圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)時(shí)進(jìn)行鞏固、應(yīng)用。讓學(xué)生既獲得知識(shí)、技能，又能通過(guò)豐盈的學(xué)習(xí)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法。