探析聚焦梳理回顧
———《百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識》磨課實(shí)踐引發(fā)的思考

顏壽春

《百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識》是人教版六年級上冊第六單元第一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，包含了百分?jǐn)?shù)的意義和讀寫法兩部分內(nèi)容。由于《百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識》這一內(nèi)容的編排相對獨(dú)立，這個(gè)課時(shí)既是掌握概念的重要環(huán)節(jié)，又是學(xué)生體會數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛應(yīng)用的極好素材。于是，便成了眾多教師執(zhí)教公開課的內(nèi)容，不少名師都用自己的課堂詮釋對《百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識》一課的獨(dú)到見解。筆者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行重新設(shè)計(jì)和整理，在磨課的過程中產(chǎn)生了一些想法，也有許多感悟。

一、雙向探析

1.宏觀把握，研讀內(nèi)容。

小學(xué)階段百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)主要包括:意義與讀寫，與分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互相轉(zhuǎn)化，解決實(shí)際問題。從百分?jǐn)?shù)相關(guān)知識結(jié)構(gòu)來看，百分?jǐn)?shù)屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中“數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)算”這一部分，是在學(xué)生掌握了分?jǐn)?shù)的認(rèn)識、比的認(rèn)識、分?jǐn)?shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上教學(xué)的。百分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)的下位概念，它的本質(zhì)屬性與分?jǐn)?shù)有著緊密的聯(lián)系。學(xué)生通過合情推理容易判斷出“百分?jǐn)?shù)”是從“分?jǐn)?shù)”衍生而來的。但在定義上，分?jǐn)?shù)是把單位“1”平均分成若干份，取這樣的一份或幾份的數(shù)。它突出與整數(shù)的對比，重點(diǎn)在“平均分”上，而百分?jǐn)?shù)表示的是一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，強(qiáng)調(diào)兩者之間的倍比關(guān)系。在教學(xué)時(shí)我們只有了解了兩者之間的聯(lián)系和區(qū)別，才能在教學(xué)時(shí)合理地把握遷移點(diǎn)。

2.微觀分析，立足起點(diǎn)。

從兒童的認(rèn)知角度觀察，六年級學(xué)生認(rèn)知發(fā)展正處于具體運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階段之間，具有初步的抽象概念，能夠進(jìn)行簡單的邏輯推理，但仍舊離不開具體事物的支持。從認(rèn)知發(fā)展來看，學(xué)生學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)時(shí)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)里已積累了一定的抽象概念，如“分?jǐn)?shù)”“倍”“比”等，這為理解百分?jǐn)?shù)概念提供了前提條件;概括能力也達(dá)到了一定的水平，會組織文字揭示百分?jǐn)?shù)概念。因此，在六年級數(shù)學(xué)概念教學(xué)中采用同化方式展開教學(xué)是可行的。

但在百分?jǐn)?shù)內(nèi)涵理解以及定義方面，原有的分?jǐn)?shù)定義存在正遷移和負(fù)遷移情況。根據(jù)學(xué)前情況調(diào)查:三分之一左右的學(xué)生能用分?jǐn)?shù)的意義理解百分?jǐn)?shù);對單位“1”不明顯的百分?jǐn)?shù)，學(xué)生理解較困難。因此，如何解決分?jǐn)?shù)帶來的負(fù)遷移影響，將是學(xué)習(xí)的迷惑處，也是本課教學(xué)的難點(diǎn)。

二、聚焦問題

百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識要建立在分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，如何基于教材又高于教材，我思考了以下幾個(gè)問題：

思考一：怎樣引入情境更合情？

筆者將北師大版、蘇教版、人教版教材進(jìn)行逐一對比，發(fā)現(xiàn)教材編排上內(nèi)容大致相同。

以北師大版實(shí)驗(yàn)教材為例，足球比賽中，通過計(jì)算罰中個(gè)數(shù)是罰點(diǎn)球總數(shù)的幾分之幾來選擇一名同學(xué)罰點(diǎn)球。教材這樣編寫的目的是想讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不好比較，需要將它們化成分母是 100的分?jǐn)?shù)來比較，由此引出學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)的必要性。

以蘇教版教材為例，利用“學(xué)生投籃情況”的學(xué)習(xí)情境，以“誰的成績好”為問題核心，先讓學(xué)生否定了書中呈現(xiàn)的各種比較方案后，只能將這些異分母分?jǐn)?shù)都轉(zhuǎn)化成分母是100的分?jǐn)?shù)，從而得出百分?jǐn)?shù)的含義。

以人教版教材為例，教材直截了當(dāng)?shù)爻尸F(xiàn)幾幅生活中的百分?jǐn)?shù)情境，讓學(xué)生初步感知這些百分?jǐn)?shù)的含義。筆者認(rèn)為教材這樣編寫的意圖主要是引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際去認(rèn)識百分?jǐn)?shù)。經(jīng)過對以上幾種教材編排的分析，筆者認(rèn)為人教版的引入編排更為合情一些。北師大版和蘇教版教材提供的事例中，為了比較，特意選取分?jǐn)?shù)的分母都是100的因數(shù)，這有一定的局限性和偶然性。在平時(shí)比較一般分?jǐn)?shù)的大小時(shí)，學(xué)生首先想到的方法，我想應(yīng)該是化成小數(shù)更直接。因此教材的編寫無疑夸大了百分?jǐn)?shù)便于比較的功能，顯得有些牽強(qiáng)。

思考二：怎樣突破難點(diǎn)更合理？

分子大于100的百分?jǐn)?shù)的理解是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，應(yīng)該如何突破呢？在對現(xiàn)行各種版本的教材比較中，發(fā)現(xiàn)這個(gè)內(nèi)容的編寫都存在著一定的漏洞。北師大版實(shí)驗(yàn)教材，整節(jié)課只出現(xiàn)了一個(gè)分子大于100的百分?jǐn)?shù)，即117.5%，僅僅是在描述性定義列舉時(shí)出現(xiàn)，所有涉及的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用的事例都僅局限部分與整體的關(guān)系；人教板教材出現(xiàn)過幾個(gè)分子大于100的百分?jǐn)?shù)，但在一開始的情境圖中就出現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生并不能理解其本質(zhì)含義。筆者認(rèn)為，任何一個(gè)概念，都有它的內(nèi)涵與外延，教材這樣的編排，無疑縮小了百分?jǐn)?shù)概念的外延，回避了學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，不利于學(xué)生完整地建構(gòu)百分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵。

思考三：怎樣溝通概率更合適？

在生活中，很多地方都有百分?jǐn)?shù)的身影，在各類統(tǒng)計(jì)圖表中，百分?jǐn)?shù)也比比皆是，在這些生活情境中學(xué)生對百分?jǐn)?shù)是否也能理解？為此，筆者認(rèn)為本節(jié)課應(yīng)該對百分?jǐn)?shù)和概率進(jìn)行簡單的溝通和聯(lián)系，不能純粹停留在百分?jǐn)?shù)的意義教學(xué)上，讓數(shù)學(xué)知識求聯(lián)，注重應(yīng)用，使學(xué)生在更廣闊的背景下認(rèn)識和理解百分?jǐn)?shù)。

思考四：怎樣把握起點(diǎn)更合宜？

為了更好地了解學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)及難點(diǎn)等。筆者設(shè)計(jì)了以下四組問題進(jìn)行前測:

1．你見過百分?jǐn)?shù)嗎?在哪里見過?

2．32% 讀作什么?百分之五十六寫作什么?

3．全國小學(xué)生近視調(diào)查，其中近視人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的25%，沒有近視的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的75% 。其中25%表示什么?75%表示什么?

4．你見過120%這樣的百分?jǐn)?shù)嗎？舉個(gè)例子來說一說它可能表示的意思。

通過前測所了解到的情況與預(yù)期的差別較大，實(shí)際上大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識并會讀寫百分?jǐn)?shù)，他們對百分?jǐn)?shù)的意義理解的程度參差不齊，多數(shù)學(xué)生并不能自發(fā)地理解為什么生活中已經(jīng)有分?jǐn)?shù)了，為什么還要出現(xiàn)百分?jǐn)?shù)，它的價(jià)值何在？如果按照教材原本的思路，從生活中的應(yīng)用入手，學(xué)生似乎并不能引起共鳴，跟學(xué)的痕跡很重，教師的啟發(fā)也稍顯刻意。

三、梳理脈絡(luò)

1.明確起點(diǎn)，在融合中銜接。

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，《百分?jǐn)?shù)的意義》的教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生借助具有現(xiàn)實(shí)意義的素材和生活經(jīng)驗(yàn)，自主建構(gòu)百分?jǐn)?shù)的意義，在知識建構(gòu)的過程中感受百分?jǐn)?shù)的廣泛應(yīng)用。

師：課前，老師讓同學(xué)們收集生活中的百分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在就請你們來介紹……

師：竟然有這么多的地方都出現(xiàn)了百分?jǐn)?shù)的身影——看來百分?jǐn)?shù)在我們生活中真是無處不在，應(yīng)用廣泛，老師也找到了一些百分?jǐn)?shù)，一起來讀一讀。

（1）已經(jīng)格式化的程序是所有程序的14%。

（2）最新調(diào)查顯示：25%的小學(xué)生患近視。

（3）酒精含量約占整瓶酒重量的38.2%。

2.數(shù)形結(jié)合，在溝通中明理。

師：首先我們來認(rèn)識一下常見的衣服標(biāo)簽上的百分?jǐn)?shù)。

（1）棉80%是什么意思呢？

（2）你能通過畫圖來表示出80%的含義嗎？

（3）反饋：百格圖。

追問：誰看懂了它的意思？圖中棉在哪里？整幅圖又表示什么？

師：請你來說說你的畫法。

追問：明明是十分之八啊，怎么就可以代表80%了呢？

師：你這一段表示多少？能表示出80%嗎？

小結(jié)：這三幅圖，雖然選用的圖形不同，但它們都表示了棉與面料總成分之間的關(guān)系。都可以理解成把單位1平均分成100份，取其中的80份。

問題 1：標(biāo)簽上寫著滌綸40%又表示什么意思？如果要在百格圖中表示出40%，怎么涂？

問題 2：現(xiàn)在涂色部分表示什么？整個(gè)正方形又表示什么？

小結(jié)：這樣就表示出了“滌綸的含量占衣服總量的40%”。

本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生在原有生活經(jīng)驗(yàn)、語言描述的基礎(chǔ)上，通過畫圖來表示百分?jǐn)?shù)。在這個(gè)過程中深刻理解百分?jǐn)?shù)的含義，同時(shí)也為百分?jǐn)?shù)意義的表達(dá)找到了一個(gè)直觀形象的展示平臺。鼓勵(lì)學(xué)生多角度進(jìn)行表征，建立數(shù)與圖的對應(yīng)關(guān)系，溝通百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。

3.對比建構(gòu)，在辨別中明義。

為了深化概念認(rèn)識，筆者設(shè)計(jì)了連一連的練習(xí)：

大豆的出油率 100%

學(xué)生的出勤率 95%

女生人數(shù)是男生的（ ）120%

追問1：種子的發(fā)芽率為什么連95%，100%不行嗎？ 出勤率為什么可以是95%和100%？

追問2：女生人數(shù)是男生的（ ），為什么說以上三種情況都有可能？

（學(xué)生爭論）

師：如果男生有100人，女生會是幾人？也就是女生是男生的1.2倍，看來百分?jǐn)?shù)還可以表示我們以前學(xué)習(xí)的倍數(shù)關(guān)系。

追問3：生活中你們見過超過100%的百分?jǐn)?shù)嗎？舉例說明。

創(chuàng)設(shè)“超市摸獎促銷活動”，明明上面寫著中獎率為90%，為什么每次去買，摸到都是謝謝參與。引發(fā)學(xué)生思考，原來老師屬于10%未中獎的，理解小于100%是表示部分與整體的關(guān)系，同時(shí)把百分?jǐn)?shù)與概率統(tǒng)計(jì)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)臏贤ā?/p>

4.巧用題材，在理解中深化。

（1）架橋鋪路，凸顯本質(zhì)區(qū)別。

百分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)的一種特殊形式，很容易讓學(xué)生產(chǎn)生混淆，認(rèn)為分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的意義一樣，如何突破這個(gè)難點(diǎn)，讓學(xué)生明確分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的區(qū)別，筆者通過一組材料來說明：

近視眼人數(shù)是全國小學(xué)生人數(shù)的百分之二十五，研究發(fā)現(xiàn)，近視眼的最大成因是握筆姿勢不正確，正確的握筆姿勢是：食指在前，拇指在側(cè)后，手指距離是百分之三米。

師：這里的兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母都是100，把它們都改寫成百分?jǐn)?shù)可以嗎？為什么？

學(xué)生多數(shù)認(rèn)為可以，少數(shù)覺得不行，請學(xué)生互辯，各抒己見，最后得出正確結(jié)論。

師：百分之三米表示的是一個(gè)具體的數(shù)量，不能用百分?jǐn)?shù)表示，百分?jǐn)?shù)后面不能加單位。而百分之二十五表示的是近視人數(shù)與總?cè)藬?shù)之間的關(guān)系，是一個(gè)分率，可以用百分?jǐn)?shù)表示。

師：分?jǐn)?shù)具有兩重性，既可以表示一個(gè)具體的數(shù)量，如這里的百分之三米，也可以是一種分率，表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，如這里的百分之二十五。但是百分?jǐn)?shù)只能表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，不能表示具體的數(shù)量，大家都明白了嗎？

如果直接詢問學(xué)生“百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)在意義上有什么相同和不同”，問題較抽象，學(xué)生思考難度較大。因此設(shè)計(jì)一組對比題，以具體情境為思考的腳手架，放手讓學(xué)生在比較中生疑，在爭辯中明晰，從而明確百分?jǐn)?shù)只表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，不能表示具體的數(shù)量。

（2）抽絲剝繭，逐層消除疑慮。

上一個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)生明白了分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的區(qū)別，但同時(shí)也會產(chǎn)生疑惑。既然有了分?jǐn)?shù)，為什么還要出現(xiàn)百分?jǐn)?shù)?學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)有什么價(jià)值呢？如何解決學(xué)生的困惑，筆者通過兩組數(shù)據(jù)加以說明：

2016年我國農(nóng)業(yè)生產(chǎn)緩中趨穩(wěn)。分季度看，第一季度同比增長11.6%，第二季度同比增長9.5%，第三季度增長9.1%，第四季度增長10.0%。

2016年我國農(nóng)業(yè)生產(chǎn)緩中趨穩(wěn)。分季度看，第一季度同比增長，第二季度同比增長，第三季度增長，第四季度增長。

追問1：兩組材料有什么區(qū)別？

追問2：哪組材料能一下就看出哪個(gè)季度漲得快，哪個(gè)季度漲得慢？為什么？

引導(dǎo)學(xué)生體會百分?jǐn)?shù)的好處:百分?jǐn)?shù)的分母都是100，比分?jǐn)?shù)更容易比較;同時(shí)告訴學(xué)生用百分號表示分母，書寫簡潔，便于生活工作中信息錄入與編排;百分?jǐn)?shù)的分子可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)，表達(dá)更加靈活，所以生活中經(jīng)常用百分?jǐn)?shù)進(jìn)行分析和統(tǒng)計(jì)。

四、課后反思

1.合理選料，挖掘潛藏價(jià)值。

由于百分?jǐn)?shù)與生活密切相關(guān)，在生活中很容易找到它的原型。筆者在教學(xué)時(shí)，收集的學(xué)習(xí)材料比較多，追問同一層次的問題也很多。導(dǎo)致這節(jié)課容量大，教學(xué)進(jìn)度快，好像是趕集完成任務(wù)一般，學(xué)生沒有多余的時(shí)間思考理解，材料多而雜，反而感到非常累贅。而且課本例題出現(xiàn)的幾組材料也很有研究價(jià)值，筆者沒有很好地利用。所以，筆者認(rèn)為今后在處理教材時(shí)，最需要思考的是：如何用簡單的材料上出富有思考的課？所選的材料與目標(biāo)要有針對性，并在教學(xué)過程中充分挖掘每個(gè)材料深藏的價(jià)值及它們之間的關(guān)聯(lián)，從而真正把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)。

2.豐富外延，強(qiáng)化概念本質(zhì)。

理解百分?jǐn)?shù)的意義是今后學(xué)習(xí)解決問題時(shí)分析數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵。由于學(xué)生理解能力和生活經(jīng)驗(yàn)的不足，分析題目中數(shù)量關(guān)系的能力仍然不夠理想。因此在教學(xué)中需要給學(xué)生提供多種不同含義的例證，豐富百分?jǐn)?shù)的外延，引導(dǎo)學(xué)生分析不同情境中百分?jǐn)?shù)所表示的數(shù)量關(guān)系，并讓學(xué)生學(xué)會辨別單位“1”，鞏固概念本質(zhì)。