一類項鏈圖在Klein瓶上的嵌入

劉新求

(湖南工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 長沙 410151)

1 研究背景

本文中關(guān)于曲面、嵌入、虧格等概念均與文獻[1]一致.上世紀九十年代起，國內(nèi)外一些圖論學(xué)者開始研究圖的虧格分布和完全虧格分布問題，并且做出了一些有價值的結(jié)論[2-7]，但是遠遠未解決這個問題，這是一個NP難問題.因為圖在不同虧格曲面上的嵌入往往有相關(guān)關(guān)系.近十年來，有學(xué)者利用劉彥佩教授提出的聯(lián)樹模型和曲面運算理論[8]，轉(zhuǎn)而研究一些圖在某些小虧格曲面上的嵌入，譬如研究圖在球面、射影平面、環(huán)面、Klein瓶上等曲面上的嵌入，也做出了一些頗有意義的結(jié)論[9-11].本文作者亦研究了兩類廣義項鏈圖在射影平面上的嵌入[12].本文擬在此基礎(chǔ)上，進一步研究其中一類廣義項鏈圖在Klein瓶上的嵌入.

2 引理和定義

為了表述方便，本文列出曲面運算理論的三種運算和三種關(guān)系.

運算1Aaa-?A

運算2AabBab?AcBc

運算3AB?(Aa)(a-B)

關(guān)系1AaBbCa-Db-E～ADCBEaba-b-

關(guān)系2AaBaC～AB-Caa

關(guān)系3Aaabcb-c-～Aaabbcc

定義2.1 若曲面S=…a…b…a…b, 則稱邊a和b在曲面S中交錯，若曲面S=…a…a…b…b，則稱邊a和b在曲面S中平行(此處省略邊的上標).

引理2.1[8]設(shè)曲面S1是可定向曲面且虧格為p，曲面S2是不可定向曲面且虧格為q，則有：

(1) 曲面S=S1xyx-y-可定向且虧格為p+ 1，曲面S=S1xx不可定向且虧格為2p+ 1；

(2)曲面S=S2xyx-y-不可定向且虧格為p+ 2，曲面S=S2xx不可定向且虧格為q+ 1.

定義2.2 設(shè)A是一個字母循環(huán)序，則由A中的某些字母按原來的相對順序組成的字

母循環(huán)序叫做A的子列.

根據(jù)引理2.1，顯然有以下結(jié)論：

引理2.2 在曲面S的多邊形表示中，若其子列也能表示某個曲面S1，則S1

的虧格必定不大于S的虧格.

定義2.3 在兩個節(jié)點之間連結(jié)m(m ≥ 2)條重邊構(gòu)成的圖叫做雙極圖，記作Dm.

圖1 圖Dm及其聯(lián)樹

引理2.3[13]雙極圖Dm在球面上的嵌入個數(shù)g0(Dm)=(m-1)!.

引理2.4[14]雙極圖Dm在Klein瓶上的嵌入個數(shù)

定義2.4 在圈U2n=u1u2...u2nu1的節(jié)點u2i-1,u2i:i=1,2,3,…,n之間分別添

圖2 項鏈圖

3 主要結(jié)論

圖3 圖的聯(lián)樹

S=

嵌入情形1E1,E2,…,En中均不含有扭邊.

或者

=[m(m+1)!+(m+1)!]n-(m+1)!n

=((m+1)n-1)(m+1)!n.

嵌入情形2E1,E2,…,En中恰有一個含有扭邊.

而對于i≠j，Ej中的邊的放置方法均為(m+ 1)!種.令i=1,2,…,n,故嵌入情形2在Klein平面上的嵌入個數(shù)為

嵌入情形3E1,E2,…,En中恰有兩個含有扭邊.

而

分別對應(yīng)著2種不同的情形，所以以上子列實際上對應(yīng)著16 種不同的情形.對于r≠i,j，Er中的邊均為非扭邊且其中每一條邊所對應(yīng)的兩條半邊均在生成樹的同一側(cè)，則有

從而Er的邊的放置方法有(m+ 1)!種.

對其中每一種嵌入情形，Er(r≠i,j)的邊的放置方法有(m+ 1)!種，Ei(Ej)的邊的放置方法有

綜上，嵌入情形3在Klein瓶上的嵌入個數(shù)為

把以上嵌入情形的嵌入個數(shù)相加即得定理結(jié)論.

令m= 1，立即得到以下推論：

推論3.1 項鏈圖Nn,0在Klein瓶上的嵌入個數(shù)為(2n2+ 2n-1)2n.