高等數(shù)學(xué)教學(xué)中線性方程組的解法分析

丁黎明　趙冬

摘要：通過對線性方程組解法的教學(xué)過程進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生從行列式、矩陣、向量在求解線性方程組的不同使用條件及有關(guān)定理結(jié)論廣泛思考，幫助學(xué)生理清這些知識要點，更好地掌握這幾方面之間的知識聯(lián)系，使學(xué)生更深入地體會行列式、矩陣、向量在解線性方程組的作用及應(yīng)用價值。

關(guān)鍵詞：線性方程組；求解；解法分析

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）40-0223-02

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中線性方程組的求解問題是一個很重要的知識點，也是一個很重要的教學(xué)難點[1]。由于線性方程組形式復(fù)雜，求解變換涉及到行列式、矩陣、向量等幾方面眾多的基本知識，使學(xué)生容易混淆概念，出現(xiàn)思路混亂現(xiàn)象。事實上，行列式、矩陣、向量在求解線性方程組時有關(guān)定理與結(jié)論是相互一致的，并不矛盾，這就需要教師在教學(xué)中善于歸納與總結(jié)，理清這些知識要點，幫助學(xué)生更好地掌握知識之間的聯(lián)系，讓學(xué)生更深入地體會到行列式、矩陣、向量在解線性方程組的作用及應(yīng)用價值[2]。

一、利用行列式解線性方程組

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中利用行列式求解線性方程組，即使用克萊姆法則求解。

分析：適用定理1克萊姆法則求解的線性方程組有局限性，必須是所含方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相等且系數(shù)行列式不等于零，而且所求的解是唯一的。那么，自然而然會繼續(xù)考慮當(dāng)方程組中所含方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)不相等時怎樣求解，有多少解，還需深入探究。

二、利用矩陣解線性方程組

利用矩陣求解的線性方程組，方程組中所含方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)不一定相等也可以相等，求得的解可以唯一也可無窮多組，使用初等行變換和逆矩陣求解。

（一）初等行變換法

對線性方程組的增廣矩陣作初等行變換，化成簡化了的階梯形矩陣，再根據(jù)矩陣的秩來判斷解的情況，進(jìn)而在有解的情況下求出方程組的解。

（二）逆矩陣法

由逆矩陣的定義可知，只有n階非奇異方陣才可能有逆矩陣，因此利用逆矩陣求解的線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即得秩（）=秩（A）=n，從而方程組AX=B有唯一一組解X=AB。滿足使用逆矩陣求解的方程組也可用克萊姆法則求解。

三、利用向量解線性方程組

當(dāng)線性方程組有唯一一組解時，行列式或矩陣都能夠具體解出。當(dāng)線性方程組有無窮多組解時，行列式不能求解，矩陣可以求解但一般解的表達(dá)形式比較籠統(tǒng)，能否準(zhǔn)確而清晰地表示出通解的形式，需要繼續(xù)探究。

定理3 設(shè)線性方程組

分析：利用定理3也需要先使用矩陣的初等行變換化成簡化了的階梯形矩陣，根據(jù)矩陣的秩判斷解的情況，進(jìn)而在有解的情況下使用解向量的形式求出方程組的通解，用向量表示的通解形式比一般解的形式更加清晰而準(zhǔn)確。利用向量解線性方程組，需要向量組的線性關(guān)系作為基礎(chǔ)，通過方程組解的結(jié)構(gòu)，再利用解空間的極大線性無關(guān)組表示出通解的向量形式。

總之，通過對線性方程組解法的分析，可以看出行列式、矩陣、向量在求解線性方程組的過程中不斷遞進(jìn)與延伸，解的表達(dá)形式逐漸發(fā)展與完善。但要注意區(qū)分在求解時的不同使用條件，理清這些知識之間的聯(lián)系，才能準(zhǔn)確地把握相關(guān)結(jié)論，靈活地選擇求解方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]王凌云，李山.高等數(shù)學(xué)[M].南京：河海大學(xué)出版社，2012：268-288.

[2]劉亞國.關(guān)于矩陣應(yīng)用于線性方程組求解的幾點思考[J].職校論壇，2010，（31）：247-248.