三次函數(shù)的命題相關(guān)思考

張秋鴻

(福建省龍巖市漳平二中 364400)

對最一般的三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)一類的問題，從解題的角度來看，可以經(jīng)過平移將三次函數(shù)的拐點(即三次函數(shù)的對稱中心點)移到原點處，使問題簡化，從而較為簡單地解決問題.此時三次函數(shù)都可化為y=ax3+px(a≠0)，以下稱該型為標(biāo)準(zhǔn)型三次函數(shù).過程如下：

另上面也可這樣變形：

此時只須上下平移即可變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型三次函數(shù).

經(jīng)過以上分析，要解決三次函數(shù)問題，實際上解決標(biāo)準(zhǔn)型問題即可.同樣的思維方法用在有關(guān)三次函數(shù)問題命題時有很好的幫助.一方面可以在標(biāo)準(zhǔn)型上研究，然后推廣到一般情形，另一方面也可以命好題后放到標(biāo)準(zhǔn)型上繼續(xù)研究.

不妨假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)型三次函數(shù)的三次項系數(shù)a>0，則顯然有以下性質(zhì)：

1.函數(shù)為奇函數(shù)，原點為其對稱中心點;

2.當(dāng)p≥0時，函數(shù)在R上為增函數(shù)，沒有極值;

(1)若對任意的m∈(t,x2]，線段MP與曲線f(x)均有異于M，P的公共點，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；

(2)若存在點Q(n,f(n))，x1≤n

分析(1)在過點M的直線中，除平行于x軸外恰好還有一條與曲線相切，且切點在O點與N點之間.此時如果斜率繼續(xù)增大，在P點兩側(cè)均有交點.可見，相切時的切點是線段MP是否與曲線有異于M，P的公共點的臨界點.曲線在P處的切線斜率為f′(m).

m=-2時即為M點，故m=1.

(2)若m∈(0,2]，只要取Q為P關(guān)于原點的對稱點，因為f(x)為奇函數(shù)，顯然PQ線段過原點，而原點在曲線上，所以m∈(0,2]符合題意.

若m∈(-2,0]，因為-2

本題若為普通三次函數(shù)(如09福建卷)則明顯加大難度了，因為函數(shù)的圖象不清，不能應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，特別是(2)問難度就更大了，所以原題(09福建卷)只要求寫出結(jié)果，而不要求證明.

該題用很基本的三次函數(shù)，但卻考查了科學(xué)嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)分析的思想方法，對中學(xué)階段來說屬靈活性，難度都較大.試題有較好的區(qū)分度，不過有不足的地方就是起點門檻高，對不能理解題意的考生基本得不到分數(shù).

分析本題關(guān)鍵在兩點：

1是切線l1上兩倍的切點橫坐標(biāo)和切線與曲線另一交點橫坐標(biāo)和為零；(把切點當(dāng)兩個點看，即有切線與曲線交點的橫坐標(biāo)和為零，如本題2xP1+xP2=0)

∴a(x-x1)2(x+2x1)=0.∵x≠x1，

∴x+2x1=0，即x2+2x1=0,即有2xP1+xP2=0.

另一方面：

拐點處切線方程為：y=px，與f(x)聯(lián)立方程有：

事實上，對上述的第一點有：對三次函數(shù)y=ax3+px(a≠0)，如果與直線y=kx+b有三個交點，則三個交點的橫坐標(biāo)和為零.特別地，當(dāng)直線與曲線相切時，切點用兩點計算.聯(lián)立兩方程，因為ax3+px=kx+b，即有ax3+

(p-k)x-b=0，由x2項的系數(shù)為零，根據(jù)韋達定理容易得到：x1+x2+x3=0.

把上述推廣到一般情形有：對一般三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，如果與直線y=kx+b有三個交點，則三個交點的橫坐標(biāo)的平均值為三次函數(shù)拐點的橫坐標(biāo).(如果直線與曲線相切，則切點用兩點計算)可以把這一性質(zhì)設(shè)計成試題，讓考生猜想，同樣的，考生不容易觀察到，對數(shù)學(xué)思維有很高的要求.