“翻棋”

毛傳林

摘要：眾所周知，所有的整數(shù)能夠被分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類，我們也經(jīng)常選0作為偶整數(shù)這一類的代表，選1作為奇整數(shù)這一類的代表。我們對自然界中存在的各種物體，看到的各種現(xiàn)象都在進行著分類，并選出一類中的某個典型代表作為這一類的標準型。

關(guān)鍵詞：翻棋 數(shù)學 轉(zhuǎn)化 分類 標準型

整數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)，二次曲線分為橢圓和雙曲線。給定一個二次曲線方程，怎么判斷其是橢圓還是雙曲線？常見的做法是將曲線方程化為標準型，然后再加以判別。實際上，此方程中蘊涵著轉(zhuǎn)化、分類，并從每一個類中選出一種最為簡單、最能夠反映性質(zhì)的元素，作為這一類元素代表的邏輯過程。此外，每一個類中的元素，由于都能夠轉(zhuǎn)化為標準型元素，所以同一類中的元素之間實際上是可以相互轉(zhuǎn)化的。本文以“翻棋”游戲作為研究對象，簡單淺析說明轉(zhuǎn)化、分類、確定標準型這一深刻的數(shù)學思想。

“翻棋”游戲常常被描述如下：在3× 3方格中有9顆棋子（棋子的正面是黑色，反面是白色）。每次任選一行或者一列，把所選行或列的全部棋子正反面翻轉(zhuǎn)叫做一次T操作。請問：能否經(jīng)過有限次T操作，將某個圖形下的棋子全都變成黑色朝上？

一、1× 1方格和2× 2方格

3× 3方格里面9個棋子，每個棋子正反面又分別有黑白兩種顏色，這樣對應的圖形將會產(chǎn)生29（=512）種可能情況，似乎太多了點。我們先來考慮1× 1方格和方格2× 2方格兩種較為簡單的情況吧。

很容易看到1× 1方格只有一個格子，里面棋子如果是正面黑色朝上，那么不用操作，或者說經(jīng)過0次T操作，就把全部棋子變成黑色朝上了；如果是反面白色朝上，那么只需要經(jīng)過1次T操作，就可以把全部棋子變成黑色。所以，可以得到結(jié)論：對于1×× 方格，不論棋子怎么擺放，我們都可以經(jīng)過有限次T操作，將棋子全部變?yōu)楹谏?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2017/04/11/xwjy201702xwjy201702103-2-l.jpg" style="">

現(xiàn)在，來討論2× 2方格的情況。在2× 2方格中放上棋子，將會產(chǎn)生16種可能情況，不算太多，我們可以把他們?nèi)慨嫵鰜?，如下?/p>

為了方便敘述，我們給上述16種情況給出ABCD……的編號，并寫在圖形下方。注意到每經(jīng)過一次T操作，從一個舊的圖形出發(fā)，我們可以得到一個新的圖形，如選圖形A的第2行進行T操作，我們會得到圖形K；當然，選圖形K的第2行進行T操作，我們會重新得到圖形A。這使得我們意識到，假如兩個圖形可以經(jīng)過有限次T操作相互轉(zhuǎn)化，那么他們中只要有一個最終可以通過有限次T操作變成全部黑面朝上，則另外一個圖形也可以通過有限次T操作變成全部黑面朝上了。這種轉(zhuǎn)化，驅(qū)使我們想知道，看哪些圖形之間可以相互轉(zhuǎn)化，而哪些圖形之間不能相互轉(zhuǎn)化。我們把可以相互轉(zhuǎn)化的圖形看作是一類的。這樣，問題來了：所有圖形能夠分成多少類呢？

命題1：我們規(guī)定，如果兩個圖形，可以經(jīng)過有限次T操作相互轉(zhuǎn)化，那么這兩個圖形被說成是同為T類的；否則，被說成不是同為T類的。

問題：2× 2方格下棋子的圖形，經(jīng)過有限次T操作，可以分為多少個不同的T類？

在2× 2方格的情況下，我們可以將全部16種圖形分成下述兩類。請讀者自行驗證，上述同一類的圖形如何通過T操作相互轉(zhuǎn)化。

由上述分類可以看出，對于2× 2方格，如果正面黑色朝上的棋子個數(shù)是偶數(shù)的時候，相應的圖形可以經(jīng)過是可以經(jīng)過有限次T操作變成圖形A，也就是全部黑色朝上的；否則，正面黑色朝上的棋子個數(shù)是奇數(shù)個的時候，相應的圖形是不可能經(jīng)過有限次T操作變成圖形A的，但是我們發(fā)現(xiàn)它們總可以變成圖形B。實際上，這時，我們就把圖形A當成了第一類中所有圖形的代表，圖形B當成了第二類中所有圖形的代表，圖形A和圖形B也被稱為標準型。

二、3× 3方格

3× 3方格中棋子對應的圖形的情況有29（=512）種之多，不可能像2× 2方格時那樣一一羅列出來，該怎么辦呢？我們發(fā)現(xiàn)，在處理2× 2方格時，通過圖形間的轉(zhuǎn)化，分類，并確定標準型的想法還是可以使用的。 最后，我們得到的圖形，第1行3個格子和第1列3個格子里面的棋子一定都是黑面朝上。這樣的一個圖形我們稱之為標準型。綜合上面的分析，我們可以得到下述命題：

命題2：令X是一個3× 3方格棋子的圖形，那么可以經(jīng)過有限次T操作，將圖形X變成一個第1行3個格子和第1列3個格子里面的棋子都是黑面朝上的標準型。

對于一個3× 3方格下棋子的圖形，它可以轉(zhuǎn)變到兩個或者多個標準型嗎？下面的命題告訴我們，這是不可能的，它只可能轉(zhuǎn)變成一個標準型。

命題3：令X是一個3× 3格下棋子的圖形，經(jīng)過有限次T操作將X轉(zhuǎn)化為標準形，那么X只有唯一的一個標準形。 證明：設圖形X可以經(jīng)過有限次T操作化為標準型Y，也可以化為標準型Z。假設Y和Z在某個格子里的

棋子顏色不一樣。不妨，在這個格子里，Y圖形的棋子是黑色，Z圖形的棋子是白色?？梢钥吹?，需要對Z圖形里，這個白色棋子所在的行或者列，一共進行奇數(shù)次T操作，才能將這個棋子的顏色變成黑色。但是，這將導致，Z圖形中，和這個白色棋子位于同一行或同一列的第1個棋子的顏色變?yōu)榘咨?所以圖形Y和Z是不能通過有限次T操作相互轉(zhuǎn)化的。這與他們都可以通過X經(jīng)過有限次T操作轉(zhuǎn)化而來矛盾。我們得到結(jié)論，Y和Z必須完全相同，也就是X只有唯一的一個標準型。

三、結(jié)論

在各種數(shù)學理論或者專著中常用的術(shù)語“等價關(guān)系”和“等價類”，大眾讀者往往只能記住這兩個術(shù)語的數(shù)學描述，而不知其到底為什么要給出這樣的描述，于是就有了數(shù)學抽象、深奧，但卻不切實際的感覺。實際上，所謂“等價關(guān)系”就是對元素可以相互轉(zhuǎn)化的抽象描述，“等價類”也就是在講可以相互轉(zhuǎn)化的所有元素被視為一類。所以，數(shù)學理論中，一般只要出現(xiàn)這兩個術(shù)語的地方，對應的就是在對研究對象進行分類。

通過“翻棋”這一簡單而有趣的游戲，在游戲過程中，首先對圖形變化有了樸素的感性認識。然后，利用分類的基本方法論，能夠使學生在數(shù)學上對怎樣分類，如何分類，怎么確定標準型，有個理性認識，從而慢慢理解“等價關(guān)系”和“等價類”內(nèi)涵，最終掌握分類的基本方法論。

參考文獻：

[1]張遠南.使人聰明的數(shù)學智力游戲[M].上?？茖W普及出版社，1993.

[2]Brina Bolt著.黃啟明譯.數(shù)學樂園[M].浙江科學技術(shù)出版社，1997.