二項(xiàng)式定理教學(xué)探究
——從知識(shí)的形成過(guò)程詮釋計(jì)數(shù)原理

姚 剛

(浙江省寧波外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 315211)

一、 問(wèn)題引入，激發(fā)學(xué)生興趣

引入：二項(xiàng)式定理研究的是什么？研究：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=?(a+b)4=? (a+b)5=?

問(wèn)題1：展開上述表達(dá)式，展開式各有多少項(xiàng)？系數(shù)是多少？(學(xué)生動(dòng)筆展開表達(dá)式)

問(wèn)題2：感受系數(shù)與什么數(shù)相關(guān)？排列數(shù)？組合數(shù)？(引導(dǎo)學(xué)生思考方向)

問(wèn)題3：二項(xiàng)式定理僅僅研究這幾個(gè)式子嗎？(a+b)100=? 那么(a+b)n的展開式又是什么？

筆者的用意是以問(wèn)題鏈的形式作為教學(xué)的起點(diǎn)，直接給出本節(jié)課需要解決的問(wèn)題，同時(shí)板書展開式各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，以楊輝三角的結(jié)構(gòu)書寫，觀察系數(shù)的特點(diǎn)；

二、通過(guò)對(duì)(a+b)3的再次分析，引出計(jì)數(shù)模型

學(xué)生在展開過(guò)程中竊竊私語(yǔ)，覺(jué)得n慢慢變大時(shí)，展開越來(lái)越繁瑣，那么如何比較簡(jiǎn)捷地求出系數(shù)呢？激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：

(1)n=4、5的系數(shù)與n=3的系數(shù)有遞推的聯(lián)系；

(2)系數(shù)與我們的組合數(shù)有一定的聯(lián)系.

引導(dǎo)學(xué)生從組合數(shù)的角度與嘗試解釋，筆者又給出了第一個(gè)探究以及問(wèn)題鏈：

問(wèn)題1：如何展開(a+b)3？a3如何來(lái)？項(xiàng)如何產(chǎn)生？

板書：(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) =(a·a+a·b+b·a+b·b)(a+b)=a·a·a+a·b·a+b·a·a+b·b·a+a·a·b+a·b·b+b·a·b+b·b·b=a3+3a2b+3ab2+b3.

筆者板書一步一步展開，意圖讓學(xué)生感受項(xiàng)的產(chǎn)生過(guò)程，感受組合在展開過(guò)程的作用.

三、 由特殊到一般歸納出定理

同學(xué)們分組討論，通過(guò)對(duì)計(jì)數(shù)模型的討論，得出n=4、5其實(shí)不需要繁瑣計(jì)算就可以得出系數(shù)，筆者趁熱打鐵，又給出了第二個(gè)探究：推廣到一般結(jié)論

探究2：根據(jù)上述過(guò)程，請(qǐng)你推導(dǎo)(a+b)n展開式中有哪些項(xiàng)？系數(shù)是多少？

根據(jù)(a+b)3的展開原理不難發(fā)現(xiàn)(a+b)n中的項(xiàng)為：

an，an-1b，an-2b2，…，an-kbk，…，abn-1，bn，

教師指出：二項(xiàng)式定理就是我們計(jì)數(shù)模型的運(yùn)用，從中告訴學(xué)生，我們計(jì)數(shù)原理是很有用的，而且身邊隨處可見(jiàn)，然后由學(xué)生總結(jié)出二項(xiàng)式定理的公式特征：

項(xiàng)數(shù)有n+1項(xiàng)；

次數(shù)和為n次，按b的升次或a的降次排列；

最后反思：通過(guò)本次教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)了整個(gè)探索過(guò)程，找到科學(xué)探索的一般規(guī)律：先找到特殊例子，再觀察特殊例子中的規(guī)律，形成不完全歸納、猜想，然后再去試圖證明或否定這些猜想，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高非常重要，本節(jié)課有兩處歸納：

(1)發(fā)現(xiàn)n=3，n=4，n=5，…的系數(shù)有聯(lián)系，后續(xù)可以用數(shù)學(xué)歸納法證明;

(2)發(fā)現(xiàn)系數(shù)都是組合數(shù),然后，根據(jù)這些猜想嘗試證明，挖掘出了其蘊(yùn)含的內(nèi)涵，得到了二項(xiàng)式定理.

但是很多時(shí)候我們忽略這些定理、公式最初發(fā)現(xiàn)所受到的艱辛歷程，再加上，傳統(tǒng)的教學(xué)比較重結(jié)果，輕過(guò)程，重應(yīng)用，輕探究，從而導(dǎo)致我們學(xué)生看不到原理的生成，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了一種數(shù)學(xué)難的想法，這絕對(duì)是我們不希望看到的.

教學(xué)過(guò)程中知識(shí)的運(yùn)用固然重要，但是凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)才是關(guān)鍵，我們不必急于對(duì)知識(shí)進(jìn)行機(jī)械的訓(xùn)練，而應(yīng)追求水到渠成的教學(xué)效果，只有這樣，才能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生綜合素質(zhì)，才能真正體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念.