橢球被平面截得的截面面積

黃 之

(上海智啟教育培訓(xùn)有限公司 200000)

本文首先得到平面截橢球所得的截面的面積，然后提出一些與此相關(guān)的問題.其中一些比較繁雜的運(yùn)算會(huì)省略，因?yàn)槟菍⒑馁M(fèi)很大篇幅.

一、因?yàn)槿菀卓吹?，任何一個(gè)平面截橢球，截面必然是橢圓，其在軸截面的投影也是一個(gè)橢圓，所以，應(yīng)該首先得出平面上橢圓的面積的一般公式.

設(shè)xOy面上有一條二次曲線為F:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0，首先通過平移變換將它的一次項(xiàng)消去.這只需要設(shè)F:a(x-s)2+b(x-s)(y-t)+c(y-t)2+g=0,展開后進(jìn)行系數(shù)對(duì)比，得到：

眾所周知，當(dāng)判別式Δ=b2-4ac為負(fù)數(shù)時(shí)F為橢圓，為0時(shí)F為拋物線，為正數(shù)時(shí)F為雙曲線(都包括退化情形).(s,t)即是F的對(duì)稱中心，當(dāng)判別式為0時(shí)F所表示的拋物線的中心在無窮遠(yuǎn)處.

這樣，就可以把任何一個(gè)橢圓化為形如E:ax2+bxy+cy2+g=0，下面求E的面積.首先將它的xy項(xiàng)消去，即進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換.易得：將E繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角后的方程為：

(acos2θ-bsinθcosθ+csin2θ)x2+((a-c)sin2θ+bcos2θ)xy+(asin2θ+bsinθcosθ+ccos2θ)y2+g=0

其中A=acos2θ-bsinθcosθ+csin2θ,B=asin2θ+bsinθcosθ+ccos2θ.

(順便指出，由此可以得到E有兩條對(duì)稱軸：y=k1,2x，其中k為bk2+2(a-c)k-b=0的實(shí)根.)

而且可見G與H的位置關(guān)系取決于T′=a2p2+b2q2+c2-r2的正負(fù)，當(dāng)T′>0時(shí)交于實(shí)橢圓，當(dāng)T′=0時(shí)相切，當(dāng)T′<0時(shí)相交于虛橢圓.

那么，由一中的公式可以得到投影G′的面積為：

三、現(xiàn)在將平面的方程改為一般式K:Ax+By+Cz+D=0.

其中T=a2A2+b2B2+c2C2-D2，當(dāng)T>0時(shí)交線為實(shí)橢圓，當(dāng)T=0時(shí)平面與橢球相切，當(dāng)T<0時(shí)平面與橢球交于虛橢圓.

下面將二維的計(jì)算結(jié)果列出來作對(duì)比：

令t=a2A2+b2B2-C2，當(dāng)t>0時(shí)直線與橢圓交于兩個(gè)不同實(shí)交點(diǎn)，當(dāng)t=0時(shí)直線與橢圓相切，當(dāng)t<0時(shí)直線與橢圓交于兩個(gè)不同的虛交點(diǎn).

雖然還可以繼續(xù)計(jì)算四維的情形：四維空間中一個(gè)三維平面截超橢球所得到的橢球的體積.可是這樣的方法顯然會(huì)使運(yùn)算量極其龐大！

四、下面來簡單的應(yīng)用一下這個(gè)截面面積公式：

1.如果一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)過橢球

的三個(gè)頂點(diǎn)A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),求平面ABC截橢球所得的面積與三角形ABC的面積之比.

2.從橢球外一點(diǎn)P看去，看到的區(qū)域面積(觀察者認(rèn)為這平面，不理會(huì)視覺差異，定義為這個(gè)區(qū)域的實(shí)際面積)為固定數(shù)值S，求所有的P構(gòu)成的軌跡.

設(shè)過P作G的某一個(gè)切面的切點(diǎn)為P1(x1,y1,z1)，則該切面的方程為：

這相當(dāng)于說，所有的切點(diǎn)都滿足下面這個(gè)方程：

它是一個(gè)平面，故而所有切點(diǎn)都在一個(gè)平面上，且切點(diǎn)確定的平面方程就是U.

那么從P(x0,y0,z0)看橢球，看到的就是U截橢球所得到的截面，由文中公式得到：

此問題如果考慮視覺的話，應(yīng)該會(huì)稍微復(fù)雜一點(diǎn)，在上述基礎(chǔ)上還應(yīng)乘以某個(gè)角的余弦值.

另外，在二維上也可以有類似的問題，比如：

1.從橢圓外一點(diǎn)P看橢圓，總是看到一條長度為定值L的線段，求所有的P構(gòu)成的軌跡.

2.從橢圓外一點(diǎn)P看橢圓，看到橢圓的視角總是一個(gè)給定大小的角(0度至180度)，求P點(diǎn)的軌跡.