一類隨機(jī)四階拋物型方程的解的穩(wěn)定性研究

（南京郵電大學(xué)通達(dá)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225127）

近年來，隨機(jī)微分方程（SDEs）和隨機(jī)偏微分方程（SPDEs）因其在自然科學(xué)、工程控制、生物等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而受到越來越多的重視和研究.人們主要關(guān)心方程解的存在唯一性及穩(wěn)定性.目前已有一些好的研究方法，如Lyapunov函數(shù)方法、逐次逼近法、大偏差理論、不動(dòng)點(diǎn)原理等.其中，不動(dòng)點(diǎn)原理因其在解的穩(wěn)定性研究方面簡單有效而受到廣泛使用，尤其是那些帶Markov鏈和Possion跳的問題.但是，目前已出版的文獻(xiàn)大多是討論隨機(jī)微分方程或者隨機(jī)熱方程（二階拋物），而很少有隨機(jī)四階拋物型偏微分方程的解的穩(wěn)定性結(jié)果.如文獻(xiàn)［1］討論了線性隨機(jī)四階拋物型方程的解的穩(wěn)定性.

到目前為止，尚沒有非線性隨機(jī)四階拋物型方程的解的穩(wěn)定性結(jié)果.

本文考慮一類帶Markov鏈的非線性隨機(jī)四階拋物型方程的解的穩(wěn)定性問題.利用不動(dòng)點(diǎn)原理，我們不但得到了解的存在唯一性，還得到了溫和解的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性.

一、記號(hào)、模型及定義

常用記號(hào)：本文用到的記號(hào)簡介如下：

(N5)拉普拉斯算子：，散度：

模型：本文主要考慮如下非線性隨機(jī)四階拋物型偏微分方程：

其中α,β:S→R，記αi=α(i)，βi=β(i)，Φ:[0,T]×L2(Θ)×S→L2(Θ)為Ft可測的，初值u0為F0可測隨機(jī)變量，與r(?)和B(?)相互獨(dú)立，且?p＞ 0，Ε‖u0‖p<∞.

定義1：取值于L2(Θ)的隨機(jī)過程u:={u(t,?)}t∈[0,T]稱為方程（1）的溫和解，若其滿足：

（i）u∈C([ 0 ,T] ;L2(Θ))，?t∈ [ 0 ,T]，且u(t)是Ft適應(yīng)的，滿足：

（ii）u滿足隨機(jī)微分方程

定義2：方程（1）稱為是p階矩指數(shù)穩(wěn)定性的，若存在常數(shù)δ＞0，C＞0使得

最后，我們給出定理證明的一些必要假設(shè).

假設(shè)：（A1）‖etΔ‖ ≤ Me-γ t，M為常數(shù)，γ＞ 0；

（A2）Φ 是滿足以下條件的算子：?u,v∈L2(Θ)，p≥ 2，存在正常數(shù)LΦi(i∈S)使得：Φ(t,0,i)=0,‖Φ(t,u(t,x),i)-Φ(t,v(t,x),i)‖ ≤LΦi‖u(t,x)-v(t,x)‖;

（A3） sup1≤i≤N|αi|LΦi<∞，sup1≤i≤N|βi|<∞.

二、主要定理

本節(jié)我們將用不動(dòng)點(diǎn)原理討論方程（1）的溫和解的存在唯一性及p階矩指數(shù)穩(wěn)定性.

引理1［4］：設(shè)G(t,x)是ut=Δu-Δ2u的基本解，則

其中，G1(t,x)為ut-Δu=0 的基本解，滿足；G2(t,x)為ut+Δ2u=0 的基本解，滿足；“*”指卷積，“”指v的 Fourier變換.記eΔt:=G1(t,x)，e-Δ2t:=G2(t,x)，e(Δ-Δ2)t:=G(t,x).

引理2［3］：設(shè)G1(t,x)，G2(t,x)，G(t,x)如上，則：

引理3：若etΔ滿足假設(shè)（A1） ， 則

證明：由卷積的Young不等式，引理1及引理2得：

其中＞0為常數(shù)，如不特別說明，我們將不再加以區(qū)分.

特別地，若k=0，則

當(dāng)p≥2時(shí)有s＞0.故由Γ-函數(shù)的特點(diǎn)知此時(shí)積分收斂.又

證明：設(shè)H是所有Ft適應(yīng)的連續(xù)過程的Banach空間，u(t,x)∈H，滿足Ε‖u(t,x)‖p≤M*Ε‖u0‖pe-ηt,t≥ 0，M*＞0,0<η<γ.H中的范數(shù)定義為

我們定義算子φ :H→H：

由Cp不等式［2］得：

顯然φ在[0,+∞)上是p階矩連續(xù)的.以下我們分兩步證明.

步驟1：φ(H)?H.由引理3得：

由假設(shè)（A1-A3），引理3，引理4及Ho?lder不等式得：

由引理3和BDG不等式［5］得：

由此φ(H)?H得證.

步驟2：φ是壓縮映射.?u,v∈H，u(0,x)=u0(x)=v(0,x)，考慮下式：

由條件（11）∈(0,1)得：φ是壓縮映射.

由不動(dòng)點(diǎn)定理可知φ在H中有唯一不動(dòng)點(diǎn)u(t,x)，且由以上證明可知u(t,x)是p階矩指數(shù)穩(wěn)定的.由此定理1證畢.