多種坐標(biāo)系下的圓環(huán)線圈磁場(chǎng)分布

溫 歡， 孟雅俊

(1.中北大學(xué)信息商務(wù)學(xué)院 基礎(chǔ)部, 山西 太原 030600;2.鄭州工程技術(shù)學(xué)院, 河南 鄭州 450044)

0 引 言

自從麥克斯韋將經(jīng)典電學(xué)和磁學(xué)成功整合到一起，并且發(fā)展為麥克斯韋方程組，電磁學(xué)得到了更加深入的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。圓環(huán)線圈就是應(yīng)用電磁學(xué)的一個(gè)非常典型并不可或缺的實(shí)例，它在電子、工程領(lǐng)域以及基礎(chǔ)科學(xué)研究等方面都得到廣泛的應(yīng)用。目前，基于電子與工程領(lǐng)域，環(huán)形線圈開發(fā)出車輛檢測(cè)器[1]、核磁共振等設(shè)備[2]；基于最近基礎(chǔ)物理研究的熱點(diǎn)，超冷原子量子模擬方面，環(huán)形線圈與激光配合構(gòu)成磁光阱，由此可以將原子俘獲并形成超冷原子量子氣體[3-5]。

磁場(chǎng)的本質(zhì)是電流的空間作用，圓環(huán)電流是最基本的理論磁體單元。在圓電流體系下，文中分別在球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系給出了明確的磁場(chǎng)表達(dá)式，因此，通過Mathematica軟件可以得到整個(gè)空間準(zhǔn)確的磁場(chǎng)值。結(jié)合并推廣磁場(chǎng)表達(dá)式，可以獲得任意位置、任意尺寸的通電螺線管的磁場(chǎng)梯度、磁場(chǎng)值等相關(guān)磁場(chǎng)指標(biāo)。這些磁場(chǎng)表達(dá)式可以任意地套用到多種計(jì)算編程語(yǔ)言系統(tǒng)中。

文中進(jìn)一步在亥姆霍茲線圈系統(tǒng)中，利用Mathematica軟件在直角坐標(biāo)系下計(jì)算了亥姆霍茲線圈三維、二維、對(duì)稱軸向的磁場(chǎng)矢量圖，然后分析得到兩個(gè)載流線圈的總磁場(chǎng)在對(duì)稱軸的中點(diǎn)附近的較大范圍內(nèi)是均勻的，該計(jì)算結(jié)果與實(shí)際非常吻合。

1 不同坐標(biāo)系

建立直角坐標(biāo)系，半徑為a的圓環(huán)線圈放置在xoy平面內(nèi)，線圈的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，通過的電流大小為I，電流的正方向如圖1所示(在此忽略線圈的橫截面積)。

1.1 磁失勢(shì)

根據(jù)磁場(chǎng)的“高斯定理”，通過閉合曲面S的磁通量恒等于0，表達(dá)式為：

·B=0

(1)

即磁通量的閉合曲面S是由邊界線L所決定的。既然通過S的磁通量?jī)H由它的邊界線L所決定，就可能找到一個(gè)矢量A，它沿L做線積分等于S的磁通量[6]。對(duì)于磁感應(yīng)強(qiáng)度B，這個(gè)矢量A叫做磁失勢(shì)。

(2)

圖1 圓環(huán)線圈在坐標(biāo)系中的位置

圖中測(cè)量點(diǎn)P在xoz平面內(nèi)。

微分形式為：

B(x)=×A(x)

(3)

我們選擇空間一點(diǎn)P(r,θ,φ)，因?yàn)榄h(huán)形線圈是對(duì)稱的，將測(cè)量點(diǎn)選擇在xoz平面內(nèi) (φ=0)。詳細(xì)推導(dǎo)過程參見文獻(xiàn)[7]?？臻g體系的磁失勢(shì)就可以寫為：

(4)

該關(guān)系式的積分可以用第一類完全橢圓積分K和第二類完全橢圓積分E來(lái)表示：

(5)

式中橢圓積分的參數(shù)k為：

(6)

在球坐標(biāo)系下，磁場(chǎng)的不同分量為：

(7)

1.2 球坐標(biāo)系

在球坐標(biāo)系下(見圖1)，對(duì)關(guān)系式進(jìn)行求解可得到P(r,θ,φ)對(duì)應(yīng)分量的磁場(chǎng)值和磁場(chǎng)梯度，如下：

(8)

(9)

式中：μ0——真空磁導(dǎo)率。

α2=a2+r2-2arsinθ

β2=a2+r2+2arsinθ

因此關(guān)系式可以得到很好的簡(jiǎn)化。

通過Mathematica軟件計(jì)算，可以得到磁場(chǎng)的空間微分形式：

(10)

[2α2(r2+a2)cosθ2]K(k2)}

(11)

[α2(-a4+a2r2-2r4+a2(a2-3r2)cos2θ)]K(k2)}

(12)

[3a6+2a4r2+a2r4+2r6+a2(5r2-a2)(r2+a2)cos2θ+(-7a5r+7a3r3-4ar5)sinθ+

a3r(a2-5r2)sin3θ]K(k2)}

(13)

1.3 直角坐標(biāo)系

空間一點(diǎn)的坐標(biāo)變化為直角坐標(biāo)P(x,y,z)(見圖1)。球坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的變換公式為[8]:

即：

(14)

將上式代入球坐標(biāo)系式(8)和式(9)，可以得到直角坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)分量的磁場(chǎng)值和磁場(chǎng)梯度，如下：

(15)

(16)

(17)

分析關(guān)系式(15)和式(16)可以看出，x、y軸磁場(chǎng)值有一個(gè)特點(diǎn)：

由此可知，磁場(chǎng)梯度滿足：

關(guān)系式中：

ρ2=x2+y2

r2=x2+y2+z2

α2=a2+r2-2aρ

β2=a2+r2+2aρ

γ2=x2-y2

因此關(guān)系式可以得到很好的簡(jiǎn)化。

通過Mathematica軟件計(jì)算，可以得到磁場(chǎng)的空間微分形式：

2ρ2z2(2x2+y2)+3z4γ)-r4(2x4+γ(y2+z2))]E(k2)+

[a2(γ(2z2+a2)-ρ2(3x2-2y2))+r2(2x4+γ(y2+z2))]α2K(k2)}

(18)

[r2(2r2+ρ2)-a2(5ρ2-4z2)+2a4]α2K(k2)}

(19)

[(ρ2-a2)2+z2(ρ2+a2)]α2K(k2)}

(20)

(21)

2ρ2z2(2y2+x2)-3z4γ)-r4(2y4-γ(x2+z2))]E(k2)+

[a2(-γ(2z2+a2)-ρ2(3y2-2x2))+r2(2y4-γ(x2+z2))]α2K(k2)}

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

1.4 柱坐標(biāo)系

空間一點(diǎn)的坐標(biāo)變化為P(ρ,φ,z)，見圖1。柱坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的變換公式為[8]：

即：

(27)

將上式代入直角坐標(biāo)系關(guān)系式(15)、式(16)和式(17)中，可以得到柱坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)分量的磁場(chǎng)值和磁場(chǎng)梯度，如下：

(28)

(29)

關(guān)系式中：

α2=a2+ρ2+z2-2aρ

β2=a2+ρ2+z2+2aρ

因此關(guān)系式可以得到很好的簡(jiǎn)化。

通過Mathematica軟件計(jì)算，可以得到磁場(chǎng)的空間微分形式：

[a4-3a2ρ2+2ρ4+(2a2+3ρ2)z2+z4]α2K(k2)}

(30)

[(a2-ρ2)2+(a2+ρ2)z2]α2K(k2)}

(31)

(32)

(33)

2 亥姆霍茲線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的數(shù)值計(jì)算

亥姆霍茲線圈是一對(duì)相同的載流圓線圈彼此平行且共軸，通以同方向電流，當(dāng)線圈間距等于線圈半徑時(shí)，兩個(gè)載流線圈的總磁場(chǎng)在軸的中點(diǎn)附近較大范圍內(nèi)是均勻的[9]。故在生產(chǎn)和科研中有較大的實(shí)用價(jià)值，例如產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)磁場(chǎng)、霍爾探頭、地磁場(chǎng)的補(bǔ)償、空間輻射磁場(chǎng)的測(cè)量和排除等。

亥姆霍茲線圈在直角坐標(biāo)系中的位置如圖2所示。

圖2 亥姆霍茲線圈在直角坐標(biāo)系中的位置

由圖2可以看出，在直角坐標(biāo)系下，亥姆霍茲線圈的對(duì)稱中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，同軸線為z軸，線圈的芯徑為1 mm，電流方向相同，大小為100 mA，內(nèi)徑r為60 mm，外徑為80 mm，線圈高度為6匝，總匝數(shù)為10×6=60匝，兩線圈間距d為30 mm。

磁力線矢量圖如圖3所示。

(a) 三維磁力線矢量圖

(b) 二維yoz平面(x=0)的磁力線矢量圖

由式(15)～式(17)，利用Mathematica的函數(shù)ListVectorPlot3D[]可以得到{(x, -50, 50), (y, -50, 50), (z, -30, 30)}的三維磁力線矢量分布圖，見圖3(a)。

利用函數(shù) ListVectorPlot[] 畫出yoz平面(x=0)的磁力線矢量切片分布圖，見圖3(b)。

利用函數(shù)ListPlot[] 畫出了三個(gè)位置處：(x=0,y=0)，(x=0,y=10)，(x=0,y=15)，沿z軸的磁場(chǎng)強(qiáng)度分布如圖4所示。

圖4 亥姆霍茲線圈的不同位置處，沿z軸磁場(chǎng)強(qiáng)度分布

不同間距的線圈組如圖5所示。

圖5 不同間距的線圈組

通過分析磁力線的疏密，如圖3、圖4和圖5中間距d=30 mm的曲線，可知磁場(chǎng)在中心很大范圍內(nèi)為均勻磁場(chǎng)，尤其是沿著z軸，范圍在{(x=0), (y=0),(z, -10, 10)} 的磁場(chǎng)為均勻磁場(chǎng)區(qū)，繪制的磁感線分布圖符合“磁感線疏密程度反映磁場(chǎng)強(qiáng)弱”的物理要求，同時(shí)也滿足亥姆霍茲線圈的特征。

不同間距的線圈組沿z軸(x=0,y=0)磁場(chǎng)強(qiáng)度分布。間距d=30 mm的亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)強(qiáng)度；間距d=24 mm的線圈磁場(chǎng)強(qiáng)度；間距d=36 mm的線圈磁場(chǎng)強(qiáng)度；距離xoy平面d=-15 mm的單線圈磁場(chǎng)強(qiáng)度；距離xoy平面d=15 mm的單線圈磁場(chǎng)強(qiáng)度。

3 結(jié) 語(yǔ)

推導(dǎo)、總結(jié)了圓環(huán)電流線圈在球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的磁場(chǎng)值和磁場(chǎng)梯度表達(dá)式，為今后推導(dǎo)復(fù)雜的圓形磁場(chǎng)鋪平了道路。這些磁場(chǎng)表達(dá)式簡(jiǎn)化了推導(dǎo)過程，可以推廣到不同坐標(biāo)系、任意位置、任意尺寸的通電螺線管系統(tǒng)中。

利用Mathematica強(qiáng)大的計(jì)算功能，畫出磁力線的分布圖，由此可以通過磁力線的疏密程度清楚地看出磁場(chǎng)強(qiáng)度的分布。最后在直角坐標(biāo)系下計(jì)算了亥姆霍茲線圈三維、二維、對(duì)稱軸向的磁場(chǎng)矢量圖，通過分析兩個(gè)載流線圈的總磁場(chǎng)在軸的中點(diǎn)附近的較大范圍內(nèi)是均勻的。