一個非線性隨機偏微分方程解的存在惟一性

王 昭, 鮑金洲, 李永坤

(長春工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 吉林 長春 130012)

0 引 言

1951年，Ito的經(jīng)典文章為隨機方程引入了經(jīng)典工具隨機積分，隨機方程自此進入了一個新的蓬勃發(fā)展的時代[1]，類似于隨機常微分方程(SODE)的多樣性，隨機偏微分方程(SPDE)同樣廣泛存在于各個領(lǐng)域中(例如物理、化學(xué)、生物等), 并且有可能會更好地解釋世界，例如描述流體力學(xué)中的湍流、描述波在隨機介質(zhì)中的傳播、描述化學(xué)中合金的分離以及來自生物學(xué)中的模型等[2]。

眾所周知，高維非線性隨機偏微分方程解的惟一性是重點和難點之一，隨著非線性隨機偏微分方程深入研究，對于二階非線性方程的研究涌現(xiàn)了大量有意義的結(jié)果，Duan[3]利用轉(zhuǎn)化思想處理了一類隨機微分方程，將微觀模型定義在帶有小孔或不均勻的介質(zhì)中，隨著小孔的消失，微觀模型自然轉(zhuǎn)化為宏觀模型；Zhang等[4]研究了隨機非線性方程的光滑解的存在性；Zhang[5]、Breit[6]研究了非線性隨機方程解的正則性。

隨著高階非線性拋物型隨機偏微分方程研究重要性的顯現(xiàn)，大量學(xué)者開始關(guān)注這個方向，Blomer[7]研究了四階拋物型方程和表面增長模型;對于描述相變的隨機Cahn-Hilliard方程， Da Prato等[8]利用經(jīng)典的半群理論以及強Feller性質(zhì)給出了方程弱解的存在惟一性，Cardon-Weber[9]給出修正溫和解的存在惟一性，Wang[10-11]研究了帶有不同隨機項的解的相關(guān)性質(zhì)，Duan[12]研究了S-H方程的隨機形式,給出了解的存在惟一性等。

我們研究如下帶有隨機項的四階拋物方程解的存在惟一性。

du+(uxxxx+uxx-u+u3)dt-dw=0

u(0,x)=u0(x), -l

u(t,-l)=u(t,-l),t>0

(1)

首先，通過變量替換，隨機微分方程可以轉(zhuǎn)化為確定方程，并在適當?shù)目臻g利用不動點定理，建立局部解的存在惟一性，再根據(jù)解對初值和隨機項的連續(xù)依賴，給出整體解存在惟一性結(jié)果。

1 預(yù)備知識

首先通過C(I)的閉包Lp(I),p=1,2，…，定義如下范數(shù):

為了方便，令

H:=L2(I)

并考慮巴拿赫空間Lp(0,T;Lq(I))及其范數(shù):

文中定義如下核心空間：

E：L6(0，T：L4(I))

由非線性項u3決定。

首先，給出如下結(jié)果。

引理1對于任何T>0，有

L(0,T;H)∩L2(0,T;V)?E

(2)

且存在一個常數(shù)K，與T>0無關(guān)，則有

‖u‖E≤K(‖u‖L(0,T;H)+‖u‖L2(0,T;V))

u∈E

(3)

證明 利用Sobolev嵌入定理,則

且存在一個常數(shù)C1>0,則

(4)

(5)

提高式(5)兩邊的階數(shù),并在[0,T]的區(qū)間積分,其中

下面的壓縮映射定理是建立局部存在性的核心定理。

如果

F(0)=0

而且

對于

‖z1‖E≤a

‖z2‖E≤a

(6)

則方程

(7)

存在惟一的解z∈E,滿足‖z‖E≤a。

引理3若A是一個在H上的負自伴算子

?H?V′

則A和S(t)=etA從V延拓到V′。

若

t∈[0,T],y0∈H,g∈L2(0,T;V′)

則

y∈L(0,T;H)∩L2(0,T;V)

對于L>0的某些常數(shù)，獨立于T>0。

‖y‖L(0,T;H)+‖y‖L2(0,T;V)≤L(‖y0‖H+‖g‖L2(0,T;V′))

(8)

推論1對于A,S(t)和y0為引理3中的定義，我們得到

(9)

證明 使用式(4)、式(5)、式(8)以及u:=S(t)y0有

則式(9)成立，對于

2 局部解的存在惟一性

首先,建立局部解的存在惟一性，利用自伴算子A

Au:=-uxxxx-uxx-(c+1)u

(10)

注意A是一個嚴格的負自伴算子，可以通過負自伴算子定義(-A)a。定義域為

根據(jù)式(10)，式(1)可以重寫形式

du=(Au-u3+cu)dt+dw

(11)

其中,Wiener過程中取值于可分的Hilbert空間H=L2(I)中,且其協(xié)方差算子為Q。

令

S(t):=etA,t≥0

利用隨機積分定義wA(t)

(12)

利用變換

y(t,x):=u(t,x)-wA(t,x),t∈[0,T]，P.a.s

(13)

式(1)退化成為確定性方程

yt=Ay-(y+wA)3+c(y+wA)

(14)

滿足

y(0,x)=u0(x)

y(t,-l)=y(t,l)=0

(15)

滿足式(14)的解，y可表示為積分形式

(16)

y(t)=S(t)u0+F(y+wA)(t),t∈[0,T]

(17)

下面給出式(17)y解的存在惟一性，也就給出了式(1)的溫和解的存在惟一性。

在式(17)中,F:E→E是算子的連續(xù)延拓。

F0:C1([0,T];V)→E

定義為

(18)

t∈[0,T]

其中

G0:C1([0,T];V)→E

定義如下

(G0u)(t)=-uux(t)+cu(t),t∈[0,T]

(19)

鑒于式(17)，并假設(shè)F是良定義的，關(guān)于應(yīng)用引理2，我們給出了有局部解的存在性。

引理4G0定義如式(19)，可以連續(xù)延拓到

G:E→L2(0,T;V′)

并且滿足

證明 令u,v,ψ∈L2(0,T;V),<.，.>表示L2(0,T;V)和L2(0,T;V′)二者之間的對偶映射，我們得到

由此推出另一個重要的結(jié)論。

引理5

(20)

證明 在F0定義于式(18)和引理3，得到

F(u)(t)=y(t;G(u))∈L(0,T;H)∩L2(0,T;V)

此外，從引理1有

‖F(xiàn)(u)-F(v)‖E≤K(‖y(.;G(u))-y(.;G(v))‖L(0,T;H)+

‖y(.;G(u))-y(.;G(v))‖L2(0,T;V))≤

KL‖G(u)-G(v)‖L2(0,T;V')≤

其中M2=M1KL。

定理1假設(shè)u0屬于H，存在一個隨機變量τP.a.s取值于(0,T]，使得方程(1)在區(qū)間[0,τ]上存在惟一解。

證明 利用

z(t)=y(t)+wA(t)-S(t)u0

式(17)可改寫為

(21)

對

F(z)=F(z+S(t)u0)

則式(17)與式(20)等價。

令

通過τ1得到

(22)

K指在引理1、引理4和M的定義。

wA(t)是連續(xù)的且具有wA(0)=0。存在τ2使得

令

τ:=min{τ1,τ2}

并引入E

E:=L6(0,τ;L4(I))

其中Z1和Z2滿足

‖Zi‖E≤a,i=1,2

利用引理4和式(9)，有

最后，應(yīng)用引理2給出了z(t)的存在惟一性。

3 整體存在性

首先給出

推論2G的定義如引理4,則u,v∈E

(23)

引理6式(17)的解y(t)連續(xù)依賴初值u0∈H和隨機項wA(t)∈E。

由引理2得到y(tǒng)0和y1∈L2(0,T;V),因此(y0-y1)(t)∈V,對幾乎所有的t∈(0,T)。使用S(t)的連續(xù)性和引理5，存在常數(shù)L1和C1使得

L1‖u0-u1‖H+

利用Sobolev嵌入定理，存在y0和y1∈E，則存在常數(shù)C2和C3，使得

利用Gronwall不等式有

結(jié)論成立。

接下來，給出解的適當?shù)墓烙嫛?/p>

引理7假設(shè)u0∈H,wA定義如式(12),并表示y的解

y(t)=S(t)u0+F(y+wA)(t)

t∈[0,T]

(24)

并且y滿足

(25)

和

(26)

其中

以及

(27)

首先證明

(28)

乘以式(27)，通過y(t)整合，得到

(29)

得到一個下界‖yxx‖H，利用

則有

(30)

接下來考慮式(29)的第一積分項，有

(31)

則得出結(jié)論

下面定理給出了方程整體解的存在惟一性。

定理2對于u0∈H=L2(I)，方程(1)存在惟一解u(.,x)∈E,P.a.s.。

證明 對于區(qū)間[0;τ]，從定理1我們有解存在為u(.,x)∈E，P.a.s.。利用式(13)和引理6，我們得出結(jié)論為u(t,x)在E上有界。P.a.s.對于所有的t≥0，這意味著解決方程(1)整體解的存在性。

4 結(jié) 語

利用不動點定理研究了一個隨機偏微分方程，給出了解的存在惟一性結(jié)果，能夠為解決模型所表示的實際問題提供一定的理論基礎(chǔ)。