多根無(wú)限長(zhǎng)恒定電流形成的磁力線方程研究

郭 勇 姜付錦

(1.湖北省孝感高級(jí)中學(xué) 432100；2.湖北省黃陂一中試題研究中心 430300)

1 問(wèn)題

四根均通有恒定電流的長(zhǎng)直導(dǎo)線1、2、3、4都垂直于x-y平面，它們與x-y平面的交點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2a、中心在原點(diǎn)O的正方形的頂點(diǎn)，各導(dǎo)線中電流的方向已在圖1中標(biāo)出.

圖1 圖2

已知真空磁導(dǎo)率為μ0.試分析空間磁力線方程是怎樣的？是如何分布的？

2 磁力線方程推導(dǎo)

2.1 兩根無(wú)限長(zhǎng)電流形成的磁力線方程

將上式兩邊不定積分后得

I2·ln[y2+(x-a)2]+I1·ln[y2+(x+a)2]=C，(C為一個(gè)積分常數(shù))

進(jìn)一步整理后得

[y2+(x+a)2]I1·[y2+(x-a)2]I2=eC，

若I1=I2，則磁力線方程是到兩個(gè)定點(diǎn)(直線電流)的距離之積是一個(gè)定值.

若I1=-I2，則磁力線方程是到兩個(gè)定點(diǎn)(直線電流)的距離之商是一個(gè)定值.

2.2 四根直線電流形成的磁力線方程

圖3

整理后得

兩邊不定積分后得

[(y-a)2+(x+a)2]I1·[(y+a)2+(x+a)2]I4·[(y-a)2+(x-a)2]I2·[(y+a)2+(x-a)2]I3=C1，

若I1=I3=-I2=-I4，則

上式中C1為某一個(gè)積分常數(shù)，這個(gè)曲線簇就是本文開始問(wèn)題的答案.

2.3 n根直線電流形成的磁力線方程

不妨設(shè)互相平行的n根無(wú)限長(zhǎng)直線電流，通過(guò)它們的電流依次為I1,I2,I3,…,In，位置坐標(biāo)依次為(x01,y01),(x02,y02),(x03,y03),…,(x0n,y0n)，則它們?cè)诳臻g形成的磁力線方程如下：

[(y-y01)2+(x-x01)2]I1·[(y-y02)2+(x-x02)2]I2…[(y-y0n)2+(x-x0n)2]In=C，

上式中C為某一個(gè)積分常數(shù).

2.4 由柯西——黎曼方程推導(dǎo)

設(shè)磁勢(shì)為φ，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，由于B=-?φ，得任意一點(diǎn)P(x,y)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

積分后得B(x,y)=I2·ln[y2+(x-a)2]+I1·ln[y2+(x+a)2]+k(x)

k(x)=C1(C1為任意常數(shù))，得

B(x,y)=I2·ln[y2+(x-a)2]+I1·ln[y2+(x+a)2]+C1

上式中的B(x,y)為任意常數(shù)，則上式可化為

I2·ln[y2+(x-a)2]+I1·ln[y2+(x+a)2]=C

上式中C1為任意常數(shù)，即兩根無(wú)限長(zhǎng)直線電流形成的磁力線方程.

2.5 數(shù)值模擬

圖4 圖5

通過(guò)以上分析可以現(xiàn)，多根無(wú)限長(zhǎng)通電直線形成的磁力線方程既可以用磁力線的微分方程推導(dǎo)，也可以由柯西——黎曼方程得到.它們形成的磁力線方程與多根無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的等勢(shì)線方程具有類似性，若它們的電流大小相等、方向相同，則磁力線方程是到這些電流位置的距離的乘積是一個(gè)定值的曲線簇——卡西尼卵形曲線.限于篇幅，這里不再贅述，感興趣的讀者可以自行推證.