利用核函數(shù)和不同正則化方法的結(jié)構(gòu)載荷識別混合技術(shù)研究

繆炳榮 周鳳 陳翔宇

摘要： 提出一種基于核函數(shù)和不同正則化方法進(jìn)行載荷識別技術(shù)研究，以提高識別精度。首先，根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的逆問題理論和Green核函數(shù)方法建立動力學(xué)方程；其次，采用正則化技術(shù)，如Tikhonov方法、截?cái)嗥娈愔捣纸猓═SVD）方法、LSQR方法等，通過混合方法增加虛擬邊界約束條件對不適定性問題求解；最后，結(jié)合實(shí)際算例和利用混合方法進(jìn)行載荷識別的數(shù)值計(jì)算與試驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明：混合方法中利用GCV曲線選擇最優(yōu)的正則化參數(shù)值，通過Tikhonov結(jié)合LSQR方法進(jìn)行正則化的求解，得到的載荷識別的結(jié)果最好。盡管預(yù)測數(shù)據(jù)存在一定的分散性誤差，但是識別能力良好、總體誤差較小、相關(guān)性系數(shù)較大?；贕reen函數(shù)和正則化技術(shù)的載荷識別混合方法可以有效地應(yīng)用到工程實(shí)際研究。

關(guān)鍵詞： 載荷識別； 結(jié)構(gòu)動力學(xué)； 逆問題； 正則化方法；有限元法

中圖分類號： O347.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： 1004-4523（2018）04-0553-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.002

引言

在多數(shù)工程技術(shù)問題中，結(jié)構(gòu)載荷識別問題可以理解為如何準(zhǔn)確求解結(jié)構(gòu)動力學(xué)的病態(tài)方程[12]。這就需要考慮合理選擇結(jié)構(gòu)動力學(xué)第二類逆問題的求解技術(shù)，常用的一種方法就是正則化方法[34]。國內(nèi)外學(xué)者對如何利用正則化方法求解結(jié)構(gòu)動力學(xué)逆問題已經(jīng)做了大量研究，取得了不少成果[57]。

H G Choi等在載荷識別過程的Tikhonov正則化方法中引入閾值，考慮了振動響應(yīng)誤差放大的影響，且根據(jù)矩陣條件數(shù)進(jìn)行預(yù)測精度判斷 [8] 。Fergyanto E等利用B樣條函數(shù)逼近沖擊載荷，采用Tikhonov正則化，L曲線方法確定正則化參數(shù)[9]。Wang等提出了一種改進(jìn)的迭代正則化方法來解決線性逆問題，通過Morozov偏差原理確定正則化參數(shù)[10]。肖悅等對含噪信號基于奇異熵的去噪處理方法，同時(shí)利用正則化方法對共軛梯度迭代算法進(jìn)行預(yù)優(yōu)，提高逆問題求解中輸入數(shù)據(jù)的精度和改善其非適定性[11]。盧立勤等提出共軛梯度最小二乘迭代正則化算法和啟發(fā)式迭代收斂終止準(zhǔn)則，該方法在載荷識別過程中不需要對傳遞矩陣求逆和明確正則化參數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，但響應(yīng)數(shù)據(jù)誤差對正則化算法的迭代步數(shù)和收斂速度影響較大 [12]。You Jia等對于隨機(jī)載荷識別中的誤差影響和不適定問題，提出基于適當(dāng)正交分解的加權(quán)正則化方法，并通過廣義交叉驗(yàn)證方法（簡稱GCV方法）選取正則化參數(shù)[13]。Baijie Qiao 等研究了一種基于函數(shù)系數(shù)向量范數(shù)最小化的一般稀疏正則化方法，通過可分離近似的稀疏重構(gòu)，解決力識別的稀疏正則化問題[14]。M Aucejo和O De Smet構(gòu)建乘法正則化，以迭代的方式計(jì)算正則化解，求解過程中不需要預(yù)先定義正則化參數(shù)[15]。Gang Yan等在重建沖擊力時(shí)間歷程時(shí)，采用基于Bayesian推導(dǎo)的正則化問題的逆問題分析方法，用狀態(tài)空間模型來解決影響力重構(gòu)的問題[16]。Zhen Chen 和Tommy H T Chan 針對移動載荷識別過程中的病態(tài)問題，采用截?cái)鄰V義奇異值分解方法尋求不適定方程的解 [17] 。

為了能夠迅速提高結(jié)構(gòu)動載荷識別結(jié)果的準(zhǔn)確性，在眾多文獻(xiàn)的研究基礎(chǔ)上，本文提出一種基于核函數(shù)和正則化的混合方法進(jìn)行載荷識別技術(shù)研究，以提高識別精度。這種方法主要是基于結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的載荷識別技術(shù)的混合計(jì)算方法，通過比較結(jié)構(gòu)載荷識別技術(shù)的幾種典型方法，以及L曲線和GCV曲線的正則化參數(shù)選取準(zhǔn)則的研究，提出一種混合識別方法，且將仿真與試驗(yàn)結(jié)果結(jié)合起來進(jìn)行比較性研究，以期望提高結(jié)構(gòu)載荷識別的精度。

1理論背景1.1基于Green核函數(shù)建立正問題考慮線性動態(tài)系統(tǒng)的載荷識別問題，假設(shè)系統(tǒng)對單位沖擊載荷δ（t）的響應(yīng)，即由載荷作用點(diǎn)到響應(yīng)測量點(diǎn)的Green函數(shù)為z（t）。根據(jù)疊加原理，激勵(lì)和系統(tǒng)響應(yīng)之間表示為如下卷積形式z（t）=∫t0H（t-τ）f（τ）dτ（1）式中H（t-τ）表示結(jié)構(gòu)脈沖響應(yīng)的Green核函數(shù)，z（t）表示系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)數(shù)據(jù)可以是應(yīng)力應(yīng)變、位移、速度和加速度等。

FM（5）式中M和N分別表示載荷點(diǎn)和響應(yīng)測量點(diǎn)的數(shù)目，且需要保證N≥M，能夠滿足方程正定的或者超正定的條件。方程（5）表示多輸入多輸出系統(tǒng)的線性離散方程模型。

1.2正則化方法

求解結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程不適定問題的方法主要是根據(jù)與原不適定問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的解。如何建立有效的正則化方法是求解動力學(xué)逆問題中不適定問題的重要內(nèi)容。正則化理論（Regularization Theory）主要用于線性代數(shù)理論中求解具有很大條件數(shù)的不適定性的逆問題。正則化理論主要目的是提供有效穩(wěn)定的數(shù)值分析方法，包括能夠產(chǎn)生穩(wěn)定的解與合適的邊界約束。在已知邊界約束情況下，通過選擇最優(yōu)的正則化參數(shù)，保證其對未知解的良好近似。通常的正則化方法有基于變分原理的Tikhonov方法、截?cái)嗥娈愔捣纸猓═SVD）方法、LSQR方法和各種迭代方法以及其他一些改進(jìn)算法。這里對一些典型的正則化方法做簡單介紹。

1.2.1Tikhonov方法

Tikhonov正則化的動態(tài)載荷識別方法主要步驟包括：建立離散線性系統(tǒng)的方程；Tikhonov正則化方法的求解；選取最優(yōu)的正則化參數(shù)。Tikhonov正則化方法可以考慮為優(yōu)化問題minf∈RnHf-z22+α2f22（6）式中·22表示向量2范數(shù)的平方。α（α>0）為正則化參數(shù)，是一個(gè)常數(shù)，主要控制殘差范數(shù)Hf-z22和解的范數(shù)f22之間的相對大小。為了更好地獲得近似真實(shí)解，α的值應(yīng)該越小越好，但是考慮到數(shù)值穩(wěn)定性，α的值應(yīng)該越大越好，這就需要優(yōu)化地選擇該參數(shù)。方程（6）目標(biāo)函數(shù)的準(zhǔn)確形式為fTHTH+α2If-2zTHf+zTz（7）根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的梯度等于零的概念，方程（7）的最小二乘解為HTH+α2If=HTz（8）根據(jù)方程（8）推導(dǎo)載荷的表示形式f=HTH+α2I-1HTz（9）式中I記作單位矩陣，HTH+α2I-1HT稱為正則化算子。

1.2.2截?cái)嗥娈愔捣纸猓═SVD）方法

對待病態(tài)矩陣的方法是利用秩虧的系數(shù)矩陣推導(dǎo)新的問題。秩虧的矩陣H的秩最接近k的近似矩陣Hk，Hk為Hk=∑ki=1uiσivTi， k≤n（10）截?cái)嗥娈愔捣纸猓═SVD）方法是用來求解最優(yōu)化問題minHkf-z2（11）式中Hk 表示秩為k的H矩陣。

這個(gè)問題的解還可以寫為fk=∑ni=1uTiz〖〗σivi（12）TSVD的解fk是矩陣H在數(shù)值零空間上唯一沒有分量的正則化解。該方法是將所得的廣義解公式的右端進(jìn)行截?cái)?，僅保留了前k個(gè)對應(yīng)的具有較大奇異值的部分，過濾較小的奇異值，避免過渡放大擾動誤差。但是為了提高識別的準(zhǔn)確性，需要盡量地將值k取得大一些。但是該方法對數(shù)據(jù)本身有一定的限制，實(shí)際中很難達(dá)到要求。

1.2.3LSQR方法

LSQR方法是一種特別適合求解大型、稀疏矩陣線性方程的方法。其將任意稀疏矩陣方程轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣為方陣的方程，然后利用Lanczos對角化算法建立較低的對角矩陣，求解方程的最小二乘解。由于求解過程中采用QR因子分解法，這種方法稱為LSQR方法。LSQR方法可以表示為minfHf-z（13）考慮線性系統(tǒng)及其最小二乘問題，假設(shè)矩陣H沒有精確的零奇異值。利用奇異值分解，系統(tǒng)的解為fLSQ=∑ni=1uTizσivi（14）與較小的奇異值σi相關(guān)的傅里葉系數(shù)uTiz沒有像奇異值一樣衰減得很快，但是逐漸趨于穩(wěn)定，解fLSQ是由與最小的σi相關(guān)項(xiàng)的和決定的。

當(dāng)運(yùn)用在不適定性問題中時(shí)，LSQR方法表現(xiàn)出“半收斂特性”。正則化過程中最近一次的迭代重建的是關(guān)于解的信息，其次，迭代重建的主要是噪聲信息。當(dāng)誤差達(dá)到最小時(shí)，迭代計(jì)算結(jié)束，獲得正則化的解。雖然在實(shí)際中經(jīng)常不知道準(zhǔn)確解，相對誤差的圖形也不能找到最優(yōu)的迭代結(jié)束的點(diǎn)，但是，通過這種正則化參數(shù)選擇的方法可以有效地預(yù)測迭代結(jié)束的點(diǎn)。

1.3正則化參數(shù)選取方法

對于大多數(shù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程的病態(tài)問題求解，均需要進(jìn)行正則化處理，為此必須考慮正則化參數(shù)的最優(yōu)選取原則。很多學(xué)者已經(jīng)研究了大量的正則化參數(shù)選取方法[718]，例如L曲線準(zhǔn)則、廣義交叉驗(yàn)證法（GCV）準(zhǔn)則、擬最優(yōu)準(zhǔn)則、Morozov偏差準(zhǔn)則、啟發(fā)式準(zhǔn)則等。其中L曲線準(zhǔn)則和廣義交叉驗(yàn)證方法（GCV）相比于其他的一些方法得到了廣泛的應(yīng)用。好的正則化參數(shù)會在擾動誤差和正則化誤差之間有一個(gè)較好的平衡。這里主要介紹L曲線準(zhǔn)則和GCV曲線準(zhǔn)則選取最優(yōu)正則化參數(shù)的方法。

1.3.1L曲線準(zhǔn)則

在選取正則化最優(yōu)參數(shù)的過程中，常用一種圖形化工具進(jìn)行正則化參數(shù)的確定，即L曲線準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則主要是對于所有的正則化參數(shù)，采用對數(shù)尺度下的正則化解的范數(shù)Lfreg2和相應(yīng)的殘差范數(shù)Hfreg-z2之間的圖形作為依據(jù)。由于通過正則化參數(shù)確定的參數(shù)化曲線像“L”形狀，又稱為L曲線準(zhǔn)則。這種方法中，L曲線有效地權(quán)衡了正則化解和殘差范數(shù)之間的最小值。同時(shí)正則化參數(shù)變化時(shí)殘差范數(shù)和解的范數(shù)隨之變化的情況。L曲線準(zhǔn)則如圖1所示。

在L曲線的拐點(diǎn)上（L曲線曲率最大處），解的范數(shù)和殘差范數(shù)能夠獲得很好的平衡。此時(shí)的正則化參數(shù)為最優(yōu)的正則化參數(shù)。L曲線準(zhǔn)則確定的最優(yōu)參數(shù)點(diǎn)主要位于曲線的拐點(diǎn)處。L曲線準(zhǔn)則選擇最優(yōu)的α參數(shù)作為曲線上具有最大曲率的參數(shù)值。該曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可以寫為lgHf-z，lgF=ζα，ζα（15）1.3.2GCV曲線準(zhǔn)則

廣義交叉驗(yàn)證（GCV，Generalized Cross Validation）的思路是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)觀點(diǎn)，利用最佳的參數(shù)預(yù)測任何一個(gè)新的數(shù)據(jù)，并用其他數(shù)據(jù)點(diǎn)來建立模型。實(shí)際上就是尋求擾動誤差和正則化誤差之間的一個(gè)平衡，也就是產(chǎn)生合理的曲線拐點(diǎn)。GCV曲線準(zhǔn)則的缺點(diǎn)是在接近最小值的時(shí)候，函數(shù)曲線非常平緩，不容易找到GCV函數(shù)的最小值。選擇正則化參數(shù)確定最小化的GCV函數(shù)G≡Hfreg-z22traceIm-HHI2（16）可以進(jìn)一步表示為Gk=∑Ni=1uTizσ2i+k22∑Ni=11σ2i+k22（17）式中HI表示的是當(dāng)與z相乘（也就是freg=HIz）產(chǎn)生的正則化解freg的一個(gè)矩陣，k表示正則化參數(shù)。G參數(shù)定義為連續(xù)的和離散的正則化參數(shù)。GCV曲線準(zhǔn)則如圖2所示。

2載荷識別混合計(jì)算方法

為了研究一種新的結(jié)構(gòu)載荷識別的混合方法以提高載荷識別精度，這里針對正則化方法的幾種典型方法：Tikhonov方法、截?cái)嗥娈愔捣纸猓═SVD）方法、LSQR方法以及不同的參數(shù)選取原則進(jìn)行了不同識別方法組合與載荷識別精度的技術(shù)研究?；旌献R別研究方法中主要通過確定正則化算子，針對不同的載荷類型采用合理的正則化參數(shù)確定最優(yōu)的參數(shù)值，包括L曲線方法和GCV方法，增加求解的條件進(jìn)而求解外部輸入的動態(tài)載荷。

混合載荷識別方法的研究步驟包括：

（1）通過Green函數(shù)法結(jié)合Duhamel卷積積分方程建立實(shí)際的機(jī)械結(jié)構(gòu)載荷識別的正問題模型。

（2）建立結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行計(jì)算與試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，確定模態(tài)參數(shù)，和對有限元模型進(jìn)行模態(tài)修正。

（3）比較不同的正則化方法的組合和參數(shù)選取原則，結(jié)合仿真與實(shí)測的結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)，且根據(jù)不同的載荷類型（載荷幅值、頻率、位置和傳感器或應(yīng)變片的布置數(shù)量等）進(jìn)行混合載荷識別技術(shù)研究。

（4）由于實(shí)測的結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)數(shù)據(jù)存在噪聲，且結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)矩陣的病態(tài)特性，需要結(jié)合動力學(xué)的逆問題理論，利用正則化方法解決問題的不適定性。其中，最優(yōu)的正則化參數(shù)α或者k的選取，主要是利用L曲線準(zhǔn)則或者廣義交叉驗(yàn)證（GCV）方法等確定，并進(jìn)行正則化計(jì)算，以有效識別結(jié)構(gòu)載荷。

利用混合識別方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)載荷識別的技術(shù)路線如圖3所示。

3算例

3.1數(shù)值建模仿真與分析算例中，建立長為1 m的懸臂梁結(jié)構(gòu)的有限元模型，材料彈性模量為70 GPa，泊松比為0.3，密度為2700 kg/m3，結(jié)構(gòu)阻尼為比例阻尼。該模型由12個(gè)節(jié)點(diǎn)，11個(gè)單元組成。在7號和11號節(jié)點(diǎn)處施加2個(gè)動態(tài)載荷，取動態(tài)響應(yīng)的測量位置為6號節(jié)點(diǎn)和10號節(jié)點(diǎn)。標(biāo)記112表示節(jié)點(diǎn)編號，①表示單元編號。梁結(jié)構(gòu)的邊界條件為：一端為固定約束，另一端為自由約束。在垂直于梁結(jié)構(gòu)的z方向施加動態(tài)載荷F1（t）和垂直于梁結(jié)構(gòu)的y方向施加動態(tài)載荷F2（t），如圖4所示。其中，R1和R2分別表示振動響應(yīng)的測點(diǎn)，箭頭表示了載荷位置。

下面分別針對正則化技術(shù)和不同正則化參數(shù)選取方法進(jìn)行比較性研究，以便尋找合適的載荷識別方法。

3.1.1Tikhonov+L曲線方法

以L曲線準(zhǔn)則選擇最優(yōu)的正則化參數(shù)值，利用Tikhonov方法進(jìn)行正則化求解，獲得載荷時(shí)間歷程結(jié)果如圖5所示。

通過L曲線準(zhǔn)則選擇最優(yōu)的正則化參數(shù)值，再通過Tikhonov方法結(jié)合LSQR方法進(jìn)行正則化的求解，得到載荷時(shí)間歷程的結(jié)果如圖7，8所示。

3.1.3TSVD +GCV曲線方法

利用廣義交叉驗(yàn)證（GCV）最優(yōu)的正則化參數(shù)值，結(jié)合截?cái)嗥娈愔捣纸夥ǎ═SVD， Truncated Singular Value Decomposition）求解，獲得載荷時(shí)間歷程的識別結(jié)果如圖9，10所示。

3.1.4TSVD+LSQR+ GCV準(zhǔn)則

用GCV曲線選擇最優(yōu)的正則化參數(shù)值，通過Tikhonov結(jié)合LSQR方法進(jìn)行正則化的求解，得到載荷識別的結(jié)果如圖11，12所示。

通過4種不同的正則化方法和不同的參數(shù)選取原則進(jìn)行結(jié)構(gòu)載荷識別，這幾種組合方法識別的結(jié)果比較如表1所示。

較好很好從解的收斂性、曲線光滑性及載荷值在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的波動值等方面判斷，每一種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，針對不同的載荷類型有不同的識別精度。Tikhonov+LSQR+L曲線方法與TSVD+LSQR+GCV曲線方法對兩類載荷的總體識別相對誤差較小，相關(guān)系數(shù)較高。這也說明混合識別方法不會隨著噪聲級別的變化而出現(xiàn)大的改變，適合于受外界噪聲影響較大的載荷識別，識別出的各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的載荷具有較小波動性，曲線光滑性較好，且收斂性很好，準(zhǔn)確度較高。另外，奇異值分解法（TSVD）對于原病態(tài)核函數(shù)的小奇異值進(jìn)行截?cái)?，截?cái)嗪蟮木仃囑呌诹夹?，對于?shí)際噪聲干擾放大作用的處理比較明顯，對正弦或三角函數(shù)載荷的識別效果和混合法相差不大，也能保持一定的精度。綜合而言，這也說明單一方法在識別過程中比混合方法的識別精度要差一些。

3.2試驗(yàn)驗(yàn)證

試驗(yàn)對象為與數(shù)值仿真模型同類型的梁結(jié)構(gòu)，且對梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)測試。利用DH9522動態(tài)信號測試分析系統(tǒng)獲取結(jié)構(gòu)的前4階固有頻率，模態(tài)振型及其阻尼比。根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行有限元模型的模態(tài)修正[1819]。實(shí)驗(yàn)所使用的主要設(shè)備如表2所示。

利用混合識別方法獲得的載荷時(shí)間歷程與實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)吻合度較好。限于篇幅識別數(shù)據(jù)不在這里一一列出。盡管部分?jǐn)?shù)據(jù)的識別結(jié)果中由于奇異值對于實(shí)際噪聲干擾的放大作用比較明顯，存在一定的誤差，但是總體來說混合方法能夠在一定程度上有效地識別實(shí)際結(jié)構(gòu)所承受的載荷。

4結(jié)論

針對現(xiàn)有的載荷識別技術(shù)在軌道車輛工程的基礎(chǔ)研究和工程應(yīng)用中存在著識別算法不完善和精度不足的技術(shù)問題，本文通過研究幾種典型的正則化方法和參數(shù)的不同選取原則的組合進(jìn)行了載荷識別的混合識別技術(shù)研究，并結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果對結(jié)構(gòu)載荷識別精度影響的差異性進(jìn)行了對比分析。研究結(jié)果表明：針對不同的載荷類型進(jìn)行載荷識別方法的選擇比較重要，尤其幾種載荷識別方法的組合可以有效地進(jìn)行結(jié)構(gòu)的載荷識別，降低當(dāng)前由于識別精度不足導(dǎo)致工程應(yīng)用遇到的技術(shù)難題。對于未來將載荷識別技術(shù)應(yīng)用在軌道車輛關(guān)鍵結(jié)構(gòu)部件的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)控中具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

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Abstract： The complexity and nonlinearity of the actual structure can lead to the serious illpositivity of the system response matrix，which have a great influence on the prediction accuracy of the load recognition results. In this paper， a hybrid identification method based on kernel function and different regularization method is proposed to improve the recognition accuracy. Firstly， the structure kinetic equation is established according to the inverse problem theory of structural system and the Green kernel function. Secondly， regularization techniques such as Tikhonov method， truncated singular value decomposition （TSVD） method and LSQR method， are used to add the virtual boundary constraint conditions to solve the problem of uncertainty through hybrid method. Finally， the numerical calculation and experimental verification of load identification are performed. The results show that the best load identification results is obtained by the hybrid method in which the GCV curve is used to choose the optimal regularization parameters and the Tikhonov method combined with LSQR method is used to obtained regularized solution. Although there exists some dispersion error in prediction data， the recognition ability is good， the overall error is relative small， the correlation coefficient is slightly larger. This hybrid load recognition method based on Green function and regularization hybrid method can be effectively applied to engineering.

Key words： load identification； structural dynamics； inverse problem； regularization method； finite element method