預(yù)處理最小二乘QR分解法識(shí)別橋梁移動(dòng)荷載的優(yōu)化分析及試驗(yàn)研究

陳震 王震 余嶺

摘要： 基于時(shí)域內(nèi)移動(dòng)荷載識(shí)別理論，針對(duì)逆問題求解存在的典型不適定性問題，提出采用預(yù)處理最小二乘QR分解法（PLSQR）識(shí)別橋梁移動(dòng)荷載。兩軸時(shí)變移動(dòng)荷載數(shù)值仿真結(jié)果表明：與采用奇異值分解求逆的時(shí)域法（TDM）相比，由PLSQR方法識(shí)別移動(dòng)荷載在識(shí)別精度、抗噪性能和抗不適定性等方面均有明顯的提高。通過結(jié)合改進(jìn)的Gram-Schmidt正交化，在PLSQR方法基礎(chǔ)上對(duì)其迭代效率進(jìn)行優(yōu)化，改進(jìn)的PLSQR方法（i-PLSQR）在保證不降低識(shí)別精度的前提下其最優(yōu)迭代次數(shù)有明顯降低，3種噪聲水平下8種工況平均最優(yōu)迭代次數(shù)較原PLSQR方法均減小超過2/3。試驗(yàn)研究表明i-PLSQR識(shí)別結(jié)果與真實(shí)荷載非常接近，識(shí)別精度較傳統(tǒng)TDM有明顯提高，可應(yīng)用于移動(dòng)荷載的現(xiàn)場(chǎng)識(shí)別。

關(guān)鍵詞： 移動(dòng)荷載識(shí)別； 橋梁； 時(shí)域法； 預(yù)處理最小二乘QR分解法； 優(yōu)化分析

中圖分類號(hào)： TU311.3； U441+.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1004-4523（2018）04-0545-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.001

引言

橋梁移動(dòng)荷載識(shí)別屬結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)逆問題范疇，由橋梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)識(shí)別橋面移動(dòng)荷載已取得較大進(jìn)展，其中尤以時(shí)域法（TDM）[1]和頻時(shí)域法（FTDM）[2]識(shí)別理論完備、識(shí)別精度較高而備受關(guān)注[3]。Chan等[4]指出，雖然通過奇異值分解（SVD）可有效提高TDM識(shí)別精度，但由于逆問題自身的不適定性，識(shí)別結(jié)果仍對(duì)噪聲敏感且存在較大波動(dòng)[59]。近年來，相關(guān)學(xué)者已提出許多新的方法來克服和解決這一頑固問題，且識(shí)別精度較傳統(tǒng)方法有較大改進(jìn)[1013]。識(shí)別精度和識(shí)別效率是逆問題識(shí)別的兩大核心問題，在保證識(shí)別精度的前提下，如何高效、快速地識(shí)別移動(dòng)荷載也是評(píng)價(jià)移動(dòng)荷載識(shí)別方法經(jīng)濟(jì)性和現(xiàn)場(chǎng)適用性的關(guān)鍵因素。

現(xiàn)有移動(dòng)荷載識(shí)別方法大多側(cè)重于提高識(shí)別精度，本文擬通過迭代優(yōu)化分析得到同時(shí)具有高精度和高效率的移動(dòng)荷載識(shí)別方法。在TDM識(shí)別方法的基礎(chǔ)上，提出采用預(yù)處理最小二乘QR分解法（PLSQR）識(shí)別橋梁移動(dòng)荷載，并結(jié)合改進(jìn)的GramSchmidt正交化對(duì)新方法進(jìn)行迭代優(yōu)化分析以期提高新方法的迭代效率，節(jié)約識(shí)別成本。數(shù)值模擬結(jié)果表明：與采用SVD求解的TDM方法相比，由PLSQR方法識(shí)別移動(dòng)荷載在識(shí)別精度、抗噪性能、抗不適定性等方面較傳統(tǒng)方法均有明顯的提高。迭代優(yōu)化后的預(yù)處理最小二乘QR分解法（iPLSQR）在保證不降低原方法識(shí)別精度的前提下可有效降低其迭代次數(shù)、提高識(shí)別效率，這為新方法的實(shí)際應(yīng)用奠定了良好的基礎(chǔ)。為了驗(yàn)證本文方法的可行性與有效性，文末給出試驗(yàn)驗(yàn)證。

1理論背景1.1時(shí)域法識(shí)別移動(dòng)荷載以EulerBernoulli梁為例，梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為ρ，抗彎剛度為EI，黏性阻尼為C，假設(shè)速度為c的動(dòng)荷載P自梁左端向右端移動(dòng)，模型簡(jiǎn)圖如圖1所示。

當(dāng)測(cè)得車輛荷載作用下橋梁的彎矩響應(yīng)或加速度響應(yīng)后，TDM移動(dòng)荷載識(shí)別理論即可轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)方程求解問題AN×NBxNB×1=bN×1（4）式中A為車橋模型系統(tǒng)矩陣，b為測(cè)得的橋梁響應(yīng)，x為待識(shí)別的移動(dòng)荷載，下標(biāo)N為測(cè)點(diǎn)響應(yīng)數(shù)，NB=L/（cΔt）為采樣樣本數(shù)。

1.2最小二乘QR分解法（LSQR）

1982年P(guān)aige和Saunders提出LSQR算法[14]，LSQR算法是典型的迭代算法，首先將任意系數(shù)矩陣方程轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣為方陣的方程，然后利用Lanczos方法求解方程的最小二乘解。LSQR非常適用于大型稀疏矩陣的求解，由于其優(yōu)良的算法特性，已在噪聲主動(dòng)控制領(lǐng)域取得良好的噪聲控制效果[15]。

在求解車橋系統(tǒng)方程Ax=b（A∈Rm×n，x∈Rn×1，b∈Rm×1）最小二乘問題minAx-b2時(shí)，通過k次迭代求得殘差范數(shù)rk2最小的解即為最優(yōu)解。本文不再贅述常規(guī)LSQR算法及Lanczos對(duì)角化方法，重點(diǎn)詳述針對(duì)LSQR方法的預(yù)處理改進(jìn)及其迭代優(yōu)化。

1.3預(yù)處理LSQR算法（PLSQR）

LSQR算法具有數(shù)值穩(wěn)定、能充分利用矩陣稀疏性減少計(jì)算量等優(yōu)點(diǎn)，但在移動(dòng)荷載識(shí)別領(lǐng)域，由于逆問題識(shí)別存在的典型不適定性特征，需對(duì)其改進(jìn)以提高其抗不適定性。Jacobsen等[16]提出通過引入正則化方法可有效提高LSQR算法的抗不適定性。

1.4改進(jìn)的GramSchmidt正交化

在對(duì)車橋系統(tǒng)矩陣進(jìn)行QR分解時(shí)，需采用GramSchmidt正交化方法。GramSchmidt正交化即利用投影矩陣在已有正交基基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)新的正交基，但當(dāng)車橋系統(tǒng)矩陣A為病態(tài)矩陣時(shí)，通過傳統(tǒng)GramSchmidt正交化得到的Q矩陣列向量會(huì)由于舍入誤差而喪失正交性。Dax[17]提出改進(jìn)的GramSchmidt正交化方法，有效避免了舍入誤差的影響，尤其在求解欠秩最小二乘問題時(shí)較傳統(tǒng)GramSchmidt正交化具有明顯優(yōu)勢(shì)。

為m行n列系統(tǒng)矩陣A構(gòu)造m×n正交矩陣Q和n×n上三角矩陣R，其QR分解可表示為A=QR（9）傳統(tǒng)GramSchmidt正交化只需保證式（9）滿足如下邊界條件A-QR2≤γεA2（10）式中γ為與系統(tǒng)矩陣行數(shù)m和列數(shù)n有關(guān)的常數(shù)，ε表示計(jì)算精度限制條件。假定系數(shù)矩陣A的奇異值滿足σ1≥σ2≥…≥σn>0，當(dāng)σ1/σn1/ε時(shí)，此時(shí)僅由邊界條件（10）無法保證Q矩陣的正交性。改進(jìn)的GramSchmidt方法通過引入如下附加邊界條件可有效解決這一問題I-QTQ2≤γεσ1σn（11）式中I為單位矩陣。對(duì)于存在明顯不適定性的移動(dòng)荷載識(shí)別問題，引入改進(jìn)的GramSchmidt方法可有效保證計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性，進(jìn)而提高移動(dòng)荷載識(shí)別效率。

2數(shù)值模擬

以圖1模型為例，車輛模型參數(shù)如下：兩軸車輛軸距l(xiāng)s=8 m，行駛速度c=40 m/s。橋梁的抗彎剛度EI=1.28×1011 N·m2，梁長(zhǎng)L=40 m，前3階固有頻率分別為：f1=3.2 Hz，f2=12.8 Hz，f3=28.8 Hz，測(cè)量橋梁的加速度響應(yīng)和彎矩響應(yīng)的采樣頻率為200 Hz，分析頻段取0～40 Hz。

表1列出了8種組合工況下TDM，PLSQR和iPLSQR在1%，5%和10%共3種噪聲水平下的識(shí)別誤差。表中‘m為測(cè)量彎矩響應(yīng)，‘a(chǎn)為測(cè)量加速度響應(yīng)，測(cè)量響應(yīng)組合考慮僅由加速度響應(yīng)識(shí)別、僅由彎矩響應(yīng)識(shí)別和由組合響應(yīng)識(shí)別移動(dòng)荷載3種情況；‘14，‘12和‘34分別表示測(cè)點(diǎn)位于橋梁14，12和34橋跨處；表中正體數(shù)據(jù)為采用SVD求解后TDM識(shí)別誤差，斜體數(shù)據(jù)為PLSQR方法識(shí)別誤差，帶下劃線數(shù)據(jù)為iPLSQR方法識(shí)別誤差，符號(hào)‘*表示識(shí)別誤差超出允許誤差限值100%，此時(shí)識(shí)別結(jié)果不可接受。

由表1可知，隨著噪聲水平增大，TDM識(shí)別誤差迅速增加，當(dāng)噪聲水平達(dá)到10%時(shí)，8種識(shí)別工況中僅有1種工況識(shí)別結(jié)果可以接受。PLSQR和iPLSQR識(shí)別誤差隨噪聲水平增加略有增加，識(shí)別方法表現(xiàn)出顯著的抗噪性能，且所有工況的識(shí)別誤差均小于30%，其中有7種工況的識(shí)別誤差均小于15%，識(shí)別精度較TDM有明顯提高。

同時(shí)，由表1數(shù)據(jù)可知，TDM識(shí)別誤差受測(cè)量響應(yīng)組合影響較大，識(shí)別精度隨測(cè)點(diǎn)數(shù)量增加而增加，尤其是當(dāng)響應(yīng)組合中包含較多加速度響應(yīng)時(shí)識(shí)別精度增加明顯，當(dāng)僅由彎矩響應(yīng)識(shí)別移動(dòng)荷載時(shí)其識(shí)別精度最差，即TDM識(shí)別結(jié)果受響應(yīng)類型和響應(yīng)數(shù)量影響顯著。PLSQR和iPLSQR識(shí)別方法在8種響應(yīng)組合工況中均呈現(xiàn)出良好的識(shí)別效果，識(shí)別精度受測(cè)點(diǎn)類型和數(shù)量變化影響很小，具有良好的測(cè)點(diǎn)適應(yīng)性。

圖2比較了10%噪聲水平下TDM，PLSQR與iPLSQR由含有較多高頻信息的加速度響應(yīng)（對(duì)應(yīng)表1中工況1）識(shí)別橋梁移動(dòng)荷載結(jié)果；圖3比較了5%噪聲水平下3種識(shí)別方法由組合響應(yīng)（工況3）識(shí)別橋梁移動(dòng)荷載結(jié)果；圖4比較了1%噪聲水平下3種識(shí)別方法由含有較多低頻信息的彎矩響應(yīng)（工況8）識(shí)別橋梁移動(dòng)荷載結(jié)果。

由圖2可知，當(dāng)僅由加速度響應(yīng)識(shí)別移動(dòng)荷載且加速度測(cè)點(diǎn)較多時(shí)，即使噪聲水平達(dá)到10%，TDM，PLSQR與iPLSQR仍具有很高的識(shí)別精度。但仍需注意當(dāng)車輛荷載前軸下橋和后軸上橋的特定時(shí)刻，TDM識(shí)別結(jié)果與真實(shí)荷載仍有一定差異，存在著局部波動(dòng)情況，這種局部波動(dòng)在圖3和4中更為明顯，呈現(xiàn)出逆問題識(shí)別具有的典型不適定特征。車橋系統(tǒng)矩陣存在的不適定性不僅會(huì)直接導(dǎo)致某一時(shí)刻識(shí)別誤差畸大，降低識(shí)別方法的識(shí)別精度，甚至?xí)绊懺撟R(shí)別方法的適用性直至無法識(shí)別橋梁移動(dòng)荷載（如圖4中TDM識(shí)別結(jié)果）。TDM采用SVD降噪具有一定的效果，但針對(duì)存在不適定性的逆問題識(shí)別時(shí)仍有較大缺陷，文獻(xiàn)[7]也采用SVD降噪識(shí)別雙軸移動(dòng)荷載，其數(shù)值模擬結(jié)論與本文完全一致。

由表1和圖2～4中識(shí)別結(jié)果可知，PLSQR和iPLSQR識(shí)別精度差異很小，兩種方法均具有顯著的抗不適定性，識(shí)別荷載在車輛行駛的全時(shí)段均與真實(shí)荷載非常接近，且識(shí)別精度受測(cè)點(diǎn)類型及噪聲干擾小。與此相比，TDM方法識(shí)別精度具有明顯的測(cè)點(diǎn)類型依賴性，當(dāng)僅由彎矩響應(yīng)識(shí)別移動(dòng)荷載時(shí)，盡管噪聲水平僅為1%，TDM識(shí)別精度仍然很差（圖4）；但當(dāng)僅由加速度響應(yīng)識(shí)別移動(dòng)荷載時(shí)，雖然噪聲水平達(dá)到10%，TDM仍具有非常高的識(shí)別精度（圖2）。

圖5結(jié)果表明，兩種方法最優(yōu)迭代次數(shù)均隨噪聲水平增加而減小，且iPLSQR在迭代過程中更快到達(dá)最優(yōu)解，其最優(yōu)迭代次數(shù)較PLSQR顯著減小。由理論推導(dǎo)可知，通過將傳統(tǒng)LSQR方法進(jìn)行預(yù)處理得到的PLSQR與iPLSQR方法是典型的雜交方法，即迭代系數(shù) k 值的選取也包含了系統(tǒng)矩陣截?cái)嗾`差的選取信息。隨著噪聲水平的增加，測(cè)量橋梁響應(yīng)中誤差信號(hào)也增多，因此需要截?cái)嗟恼`差信號(hào)也隨之增加，而 k 值越小就代表實(shí)際識(shí)別過程中采用的真實(shí)響應(yīng)數(shù)據(jù)越少，即測(cè)量橋梁響應(yīng)中需要截?cái)嗟恼`差信號(hào)越多。反之，如果選取的 k 越大，系統(tǒng)矩陣中包含的噪聲干擾信號(hào)越多，則PLSQR與iPLSQR的識(shí)別誤差將隨之增加。

圖6結(jié)果表明，在1%噪聲水平下，8種工況iPLSQR平均最優(yōu)迭代次數(shù)較PLSQR降低91%，在5%噪聲水平下，iPLSQR平均最優(yōu)迭代次數(shù)較PLSQR降低75%，在10%噪聲水平下，iPLSQR平均最優(yōu)迭代次數(shù)較PLSQR降低67%。iPLSQR通過引入改進(jìn)的GramSchmidt算法，保證了正交矩陣Q的正交性，避免其受舍入誤差的影響，有效提高了移動(dòng)荷載識(shí)別效率。在現(xiàn)場(chǎng)移動(dòng)荷載識(shí)別過程中，實(shí)際的車橋系統(tǒng)矩陣必將非常龐大，通過降低迭代次數(shù)可有效減少識(shí)別移動(dòng)荷載所需時(shí)間。

3試驗(yàn)驗(yàn)證

車橋模型試驗(yàn)由余嶺教授在暨南大學(xué)重大工程災(zāi)害與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室指導(dǎo)進(jìn)行，試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用文獻(xiàn)[9]中相關(guān)數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)化車橋模型及試驗(yàn)布置如圖7所示。

采用本文提出的iPLSQR方法由實(shí)測(cè)橋梁12m，34m，12a 和 34a響應(yīng)識(shí)別橋面移動(dòng)車載，并將該識(shí)別結(jié)果與TDM（SVD）方法識(shí)別結(jié)果進(jìn)行比較，車輛前后軸和總重識(shí)別結(jié)果及識(shí)別誤差如表2所示，符號(hào)‘*表示識(shí)別誤差超出允許誤差限值100%。識(shí)別荷載時(shí)程曲線如圖8所示。

由表2和圖8結(jié)果可知，iPLSQR識(shí)別結(jié)果與真實(shí)荷載非常接近，最大誤差僅為3.12%，TDM（SVD）識(shí)別結(jié)果與真實(shí)值偏差較大，前后軸識(shí)別誤差均超過100%，識(shí)別結(jié)果不可接受。由iPLSQR識(shí)別荷載重建橋梁34橋跨處彎矩響應(yīng)和加速度響應(yīng)如圖9所示，圖中重建響應(yīng)和實(shí)測(cè)響應(yīng)也非常接近，這也說明iPLSQR在識(shí)別橋面移動(dòng)荷載時(shí)具有良好的識(shí)別精度和實(shí)用價(jià)值。

4結(jié)論

本文基于移動(dòng)荷載時(shí)域識(shí)別理論，提出采用PLSQR方法識(shí)別橋梁移動(dòng)荷載，分別采用數(shù)值分析和試驗(yàn)驗(yàn)證評(píng)價(jià)新方法的識(shí)別精度。研究結(jié)論如下：

1）PLSQR在識(shí)別精度、抗噪性能、測(cè)點(diǎn)適應(yīng)性和抗不適定性等方面均較傳統(tǒng)TDM方法有明顯的提高。同時(shí)，新方法的識(shí)別效率與迭代次數(shù)的選取直接相關(guān)，對(duì)新方法進(jìn)行迭代優(yōu)化是提高其識(shí)別效率及節(jié)約現(xiàn)場(chǎng)移動(dòng)荷載識(shí)別成本的關(guān)鍵。

2）通過結(jié)合GramSchmidt正交化對(duì)PLSQR方法迭代效率進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的iPLSQR方法在保證識(shí)別精度和PLSQR基本一致的前提下實(shí)現(xiàn)了更高效的識(shí)別橋梁移動(dòng)荷載，3種噪聲水平下8種工況平均最優(yōu)迭代次數(shù)較PLSQR方法均減小超過23。

3）試驗(yàn)結(jié)果表明，采用iPLSQR方法識(shí)別的橋面移動(dòng)荷載與真實(shí)荷載非常接近，其識(shí)別的前軸、后軸及總重荷載均在真實(shí)荷載附近微小波動(dòng)，最大識(shí)別誤差僅為3.12%，較TDM試驗(yàn)識(shí)別精度有顯著提高。

本文通過提出移動(dòng)荷載識(shí)別新方法并對(duì)其迭代效率進(jìn)行改進(jìn)，得到改進(jìn)后的iPLSQR方法，iPLSQR在逆問題識(shí)別最關(guān)鍵的識(shí)別精度和識(shí)別效率兩個(gè)方面均取得顯著效果，試驗(yàn)結(jié)果也驗(yàn)證了其良好的識(shí)別精度和現(xiàn)場(chǎng)適用性，為有效識(shí)別橋面真實(shí)移動(dòng)荷載提供了依據(jù)。

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Abstract： Based on the theory of moving force identification in time domain， a preconditioned least square QRfactorization （PLSQR） algorithm is developed to overcome the typical illposed problem existing in inverse problems. A comprehensive numerical simulation is set up based on a beam model with biaxial timevarying forces to evaluate PLSQR by comparing this technique with the conventional counterpart SVD embedded in the time domain method （TDM）. Investigations show that the PLSQR has higher precision， more noise immunity and less sensitive to perturbations with the illposed problems compared with TDM. By combining the improved GramSchmidt with iterative orthogonalization， iterative optimization analysis of PLSQR is carried out. Results indicate that the improved PLSQR（iPLSQR） can more quickly and effectively identify the moving load on bridge without sacrificing the identification accuracy compared with the PLSQR， and the average optimal numbers of iterations reduce by at least two thirds in eight cases with three noise levels. The experimental results show that the identified force obtained from the iPLSQR is very close to the true force and the identification accuracy is significantly higher than traditional TDM， which can be applied to the field moving force identification. The study results have important reference for the research of inverse problems identification of structural dynamics.

Key words： moving force identification； bridge； time domain method； preconditioned least square QRfactorization； optimization analysis