含鉸柔性結(jié)構(gòu)的非線性模態(tài)分析

曹芝腑 費(fèi)慶國 姜東

摘要： 建立了含鉸柔性結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)模型，利用打靶法和偽弧長法計(jì)算該結(jié)構(gòu)的非線性模態(tài)和頻率-能量關(guān)系圖，研究含鉸柔性結(jié)構(gòu)的非線性特性。其次，考慮非線性鉸鏈剛度對結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的影響，討論了不同線性/非線性剛度與結(jié)構(gòu)的非線性模態(tài)及頻率-能量曲線的關(guān)系。利用非線性三自由度保守系統(tǒng)的模態(tài)分析，闡釋頻率-能量曲線能夠直觀反映結(jié)構(gòu)的非線性特性：固有頻率變化及分叉、模態(tài)轉(zhuǎn)換及內(nèi)共振。對含鉸柔性結(jié)構(gòu)的非線性模態(tài)分析及參數(shù)影響研究表明：1） 含鉸柔性結(jié)構(gòu)的固有頻率與輸入能量存在明顯非線性特性；2） 鉸鏈非線性剛度的增加，使得含鉸柔性結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)在較低的振動能量下即可發(fā)生較大變化；其次，隨著線性剛度的增加，非線性特性減弱，各階固有頻率的相對變化降低，頻率-能量關(guān)系圖由曲線變?yōu)橹本€；3） 較高的振動能量在結(jié)構(gòu)模態(tài)之間發(fā)生轉(zhuǎn)換，使得結(jié)構(gòu)出現(xiàn)明顯的內(nèi)共振非線性特性。

關(guān)鍵詞： 柔性結(jié)構(gòu)； 非線性鉸鏈； 非線性模態(tài)； 頻能圖； 內(nèi)共振

中圖分類號： O313.7； O322文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： 1004-4523（2018）04-0573-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.004

引言

航天工程中的太陽翼、伸展臂等結(jié)構(gòu)一般由鉸鏈將其彈性構(gòu)件連接為整體。鉸接航天器具有尺寸大，剛度低、柔性高的特點(diǎn)，如美國AEC-Able公司研制的FAST（Folding articulated square Mast）伸展臂結(jié)構(gòu)[1]，含有260個鉸鏈，展開鎖定后其支撐臂總長為32.92 m。鉸鏈間隙、接觸摩擦導(dǎo)致連接處存在明顯非線性，影響結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，采用線性方法的分析結(jié)果存在較大誤差，甚至?xí)?dǎo)致錯誤的定性分析。研究含鉸柔性結(jié)構(gòu)的非線性動態(tài)分析方法，可獲得更加準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)動響應(yīng)，為其動力學(xué)設(shè)計(jì)提供參考。

對于線性系統(tǒng)，利用線性模態(tài)的疊加性原理可以對系統(tǒng)進(jìn)行特性分析及響應(yīng)計(jì)算。在線性模態(tài)理論基礎(chǔ)上，Rosenberg[2-3]提出以“一致振動（Vibrations in unison）”定義非線性模態(tài)（NNM： nonlinear normal mode），并將其分為相似模態(tài)（Similar mode）和非相似模態(tài)（Nonsimilar mode），用以研究離散、無阻尼、保守非線性系統(tǒng)的振動問題。Shaw和Pierre[4-5]提出了更為廣義的非線性模態(tài)定義，認(rèn)為非線性模態(tài)是系統(tǒng)相空間中二維不變流形上的運(yùn)動。陳予恕等[6]將Shaw-Pierre非線性模態(tài)的概念進(jìn)行了推廣，認(rèn)為非線性模態(tài)為模態(tài)空間中偶數(shù)維不變流形上的運(yùn)動，并根據(jù)模態(tài)空間的動力學(xué)方程，將非線性模態(tài)分為：非耦合模態(tài)、耦合模態(tài)和內(nèi)共振模態(tài)。并對Rosenberg，Shaw-Pierre和陳-吳定義下的非線性模態(tài)進(jìn)行了比較。Mikhlin和Avramov[7-8]系統(tǒng)地綜述了Kauderer-Rosenber和Shaw-Pierre定義下的非線性模態(tài)的概念、構(gòu)造方法及相關(guān)應(yīng)用。

非線性模態(tài)的構(gòu)造主要基于漸近法[9]，通過不同類型的級數(shù)展開對非線性響應(yīng)進(jìn)行描述，從而求解各非線性結(jié)構(gòu)的非線性模態(tài)，但非線性模態(tài)的解析方法難以應(yīng)用于復(fù)雜的實(shí)際結(jié)構(gòu)，需利用數(shù)值計(jì)算的方法求解各類非線性結(jié)構(gòu)的非線性模態(tài)。Slater[10]首先提出利用數(shù)值積分的方法，直接求解非線性結(jié)構(gòu)動力學(xué)控制方程的周期解，但其缺點(diǎn)是模態(tài)分叉現(xiàn)象的缺失并且難以證明模態(tài)流形的不變性。Peeters等[11]結(jié)合打靶法和偽弧長法，提出了更為高效和穩(wěn)定的非線性模態(tài)求解方法，并將該方法應(yīng)用于飛機(jī)結(jié)構(gòu)的非線性模態(tài)分析[12]。Kuether等[13]則提出利用幾何非線性有限元模型的線性模態(tài)解集作為周期解的初始條件，從而避免打靶法中數(shù)值積分所引起的計(jì)算效率低下的問題。Renson等[14]基于流線迎風(fēng)Petrov-Galerkin的有限元算法，通過移動網(wǎng)格和計(jì)算域的預(yù)測-校正技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了不變流形上的非線性模態(tài)數(shù)值計(jì)算。非線性模態(tài)理論及數(shù)值解的發(fā)展，為實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的非線性模態(tài)分析奠定了基礎(chǔ)。Blanc等[15]則基于中心流形方法，在流形連續(xù)性條件下求解保守系統(tǒng)的非線性模態(tài)，并提出了具有精確數(shù)值結(jié)果的非線性降階模型構(gòu)造方法。

針對含鉸柔性結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)建模及分析，胡海巖等[16]指出，大型空間結(jié)構(gòu)展開鎖定后的非線性動力學(xué)分析要用以揭示結(jié)構(gòu)柔性、運(yùn)動副間隙等非線性因素所引起非線性振動的機(jī)理。Guo[17-18]等針對空間可展開結(jié)構(gòu)，開展了鉸鏈的非線性動力學(xué)建模方法的研究。Sarkar等[19]則利用傅里葉-伽遼金算法對非線性鉸鏈懸臂梁結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行了分析。王巍等[20]利用中心不變流形非線性模態(tài)，對非線性梁系統(tǒng)動力學(xué)方程進(jìn)行解耦，分析了各階非線性模態(tài)的動力學(xué)特性。吳爽等[21]通過動力測試獲得真實(shí)太陽翼板間鉸鏈結(jié)構(gòu)的動力學(xué)參數(shù)，利用實(shí)驗(yàn)響應(yīng)驗(yàn)證了所建立的非線性動力學(xué)分析模型。

本文以含鉸柔性結(jié)構(gòu)作為主要研究對象，通過將鉸鏈簡化為具有局部非線性特性的多自由度系統(tǒng)，建立其非線性動力學(xué)分析模型，然后利用打靶法和偽弧長數(shù)值方法對其進(jìn)行非線性模態(tài)分析，計(jì)算結(jié)構(gòu)的頻率-能量關(guān)系圖和非線性模態(tài)。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮鉸鏈線性剛度和非線性剛度的變化，分析鉸鏈剛度對該結(jié)構(gòu)非線性動力特性的影響。

1非線性模態(tài)理論

多自由度保守系統(tǒng)自由振動的運(yùn)動控制方程為M+Kx+fnl=0（1）式中M和K分別表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，x和分別表示結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)系下的位移和加速度向量，fnl表示非線性恢復(fù)力向量。根據(jù)Rosenberg理論的定義，其非線性模態(tài)是這樣一種運(yùn)動：（1）所有質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動周期一致；（2）所有質(zhì)點(diǎn)同時通過平衡位置；（3）所有質(zhì)點(diǎn)同時達(dá)到位移最大。則所有質(zhì)點(diǎn)xi的位置都可以用任一質(zhì)點(diǎn)的位置確定xi=Xix0（2）則非線性模態(tài)可以分為相似模態(tài)xi=cix0 （ci為實(shí)常數(shù)，i=1，2，…，N）和非相似模態(tài)xi=Xi（x0） （i=1，2，…，N）。根據(jù)Rosenberg理論的定義，相似模態(tài)為直線，非相似模態(tài)為曲線。但Rosenberg定義下的非線性模態(tài)構(gòu)造十分嚴(yán)苛，導(dǎo)致其難以延伸應(yīng)用于非保守系統(tǒng)，以及在內(nèi)共振情況下失效。在Rosenberg模態(tài)理論的基礎(chǔ)上，推廣到更一般的定義，認(rèn)為非線性模態(tài)是非線性保守系統(tǒng)的周期運(yùn)動。

從圖2（a）可以看出，該系統(tǒng)第1階模態(tài)存在顯著非線性特性，且非線性結(jié)構(gòu)的頻率-能量關(guān)系依賴于非線性系統(tǒng)的動態(tài)特性，頻能圖是非線性模態(tài)分析的一種有效表達(dá)形式。選取非線性特征顯著的第1階模態(tài)為例，計(jì)算在一般定義下的構(gòu)型空間中x1與x2和x3之間的非線性模態(tài)曲線（x-y： x1-x2， x1-x3）如圖2（b）所示。

若圖1所示結(jié)構(gòu)中不存在非線性彈簧，則得到的線性三自由度系統(tǒng)頻能圖如圖3所示。圖3（a）～（c）分別表示第1階、第2階和第3階模態(tài)。從圖中可以看出，對于線性系統(tǒng)，其頻率-能量關(guān)系呈線性關(guān)系，即結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率不會隨著振動能量的變化而變化，與之相反，非線性系統(tǒng)的頻能圖則呈明顯非線性關(guān)系。如圖4所示，在區(qū)域A和區(qū)域B內(nèi)出現(xiàn)頻率拐點(diǎn)，結(jié)構(gòu)的振動頻率取值不定，這些不定取值均具有臨界性質(zhì)。在同一振動能量水平下，結(jié)構(gòu)的振動頻率會發(fā)生突變，這些不定點(diǎn)均為頻率分叉點(diǎn)。

為了驗(yàn)證方法的準(zhǔn)確性，針對如圖1所示的三自由度非線性結(jié)構(gòu)，利用Nastran與該方法進(jìn)行比較。圖4所示為第1階非線性模態(tài)的頻能曲線對比圖，圖中圓點(diǎn)代表Nastran計(jì)算結(jié)果。選取圖4中I～I(xiàn)V點(diǎn)對應(yīng)的初始條件，計(jì)算非線性瞬態(tài)響應(yīng)，比較結(jié)果如圖5所示，本文所用方法與Nastran計(jì)算結(jié)果誤差較小，具有較高準(zhǔn)確性。

3 含鉸柔性結(jié)構(gòu)非線性模態(tài)分析

含鉸柔性結(jié)構(gòu)可以簡化為鉸鏈與柔性彈性結(jié)構(gòu)連接在一起的非線性組合結(jié)構(gòu)，具有局部非線性特性。下面介紹非線性鉸鏈的建模方法及其非線性模態(tài)分析結(jié)果。

3.1 非線性鉸建模

從圖13（a）可以看出，線性剛度系數(shù)保持不變時，隨著非線性剛度系數(shù)的增加，在較低的能量水平下即可出現(xiàn)明顯的非線性特性：頻率變化、模態(tài)轉(zhuǎn)化和內(nèi)共振，如圖13（a）中箭頭所示。由于非線性剛度系數(shù)僅影響非線性恢復(fù)力的變化，對該結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的潛在線性結(jié)構(gòu)矩陣影響較小，故其初始模態(tài)頻率不變。

結(jié)構(gòu)的非線性剛度系數(shù)保持不變時，隨著線性剛度系數(shù)的增加，線性結(jié)構(gòu)的剛度矩陣也會隨之增加，使得結(jié)構(gòu)的初始模態(tài)頻率增加。同時，隨著線性剛度的增加，結(jié)構(gòu)的非線性特性減弱，頻率變化減小，頻能圖由曲線變?yōu)橹本€（圖13（b））。

4 結(jié) 論

本文利用非線性模態(tài)理論，研究了含鉸柔性結(jié)構(gòu)非線性模態(tài)分析方法。

根據(jù)頻率-能量關(guān)系圖，可以反映含鉸柔性結(jié)構(gòu)的固有頻率與能量水平的變化關(guān)系，以及內(nèi)共振等非線性特性。由于鉸鏈剛度的非線性特性，結(jié)構(gòu)的固有頻率與激勵能量呈現(xiàn)明顯的非線性關(guān)系。其次，含鉸柔性結(jié)構(gòu)的高階非線性模態(tài)在振動能量水平較高時，由于能量在模態(tài)內(nèi)的交換，使得當(dāng)前模態(tài)與高階模態(tài)耦合，產(chǎn)生區(qū)別于線性結(jié)構(gòu)的內(nèi)共振現(xiàn)象。

鉸鏈的線性剛度影響潛在線性結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，從而使得結(jié)構(gòu)的固有頻率隨著線性剛度的增加而提高。當(dāng)線性特性增強(qiáng)時，由于非線性影響的減弱，頻能圖會由曲線變?yōu)橹本€，固有頻率值無明顯改變。其次，鉸鏈的非線性剛度影響結(jié)構(gòu)的頻率變化和模態(tài)轉(zhuǎn)換等非線性特性的顯現(xiàn)條件。通過增加結(jié)構(gòu)的非線性剛度，可以在較低激勵水平下，較快出現(xiàn)頻率變化和模態(tài)轉(zhuǎn)換等非線性現(xiàn)象，為后續(xù)的非線性模態(tài)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證奠定基礎(chǔ)。

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Abstract： Based on the nonlinear dynamic model of the flexible assembled structure with a nonlinear hinge， shooting method and pseudo-arc length continuation approach were applied to nonlinear normal mode construction and frequency-energy plot calculation.In order to further understand the effect of the stiffness of nonlinear hinge on the dynamic characteristic， the nonlinear normal modes and frequency-energy plots （FEP） with different linear and nonlinear stiffness were implemented. The modal analysis for the nonlinear conservative three degrees of freedom system illustrated that the frequency-energy plot could represent the dynamic characteristic clearly： bifurcation and change of natural frequencies， internal resonance and transition of modes. Results from nonlinear hinge flexible structure examples were： 1） Obvious nonlinear relationship exists between natural frequencies and input vibrating energies for the flexible structure with hinges. 2） With the increase of nonlinear stiffness， the natural frequencies and modes will change quickly under low vibrating energy level； On the other hand， with the linear stiffness increasing， the nonlinear characteristics and the relative change of resonance frequencies decreased and the FEP will be straight instead of curvilinear. 3） The higher vibrating energy will transform between structural modes， and the structure will show the internal resonance obviously.

Key words： flexible structure； nonlinear hinge； nonlinear normal modes； frequency-energy plot； internal resonance