基于非線性有限元的空氣彈簧垂向剛度分析

鄧長喜

【摘 要】針對傳統(tǒng)計算空氣彈簧垂向剛度方法的局限性，本文利用有限元法分析了空氣彈簧的垂向剛度。以某型空氣彈簧為例，進行了充氣過程模擬和剛度計算，并對比了仿真分析和試驗所得剛度結(jié)果，結(jié)果表明仿真分析可對空氣彈簧的充氣過程以及剛度計算進行有效模擬。

【關(guān)鍵詞】空氣彈簧；垂向剛度；有限元法

Analysis of Air-spring Stiffness by Nonlinear Finite Element Method

DENG Chang-xi

（Avic Xian Aircraft Industry （Group） Company， Yanliang Shaanxi 710089， China）

【Abstract】Finite element method（FEM） was introduced to analyze vertical stiffness of air spring because of traditional methods limitation. Taking a rubber air spring as an example， inflation process and stiffness calculation were performed. And according to comparison of results between numerical simulation and experimental method， it shows that the numerical simulation method is feasible and effective for simulating the inflation process of air spring， and the vertical stiffness calculation.

【Key words】Air spring； Vertical stiffness； Finite element method

0 引言

空氣彈簧誕生于19世紀(jì)中葉，有專利記載在1847年John Lewis申請了空氣彈簧的發(fā)明專利[1]，同年在《美國科學(xué)》的創(chuàng)刊號上提出了“ride on air”的概念。空氣彈簧以其固有頻率低、水平穩(wěn)定性好、承受載荷能力范圍大、無需另外設(shè)置阻尼器等優(yōu)點，作為隔振器在載重汽車、有軌機車、超精密機床等領(lǐng)域內(nèi)被廣泛采用[2-3]。然而，在實際工程應(yīng)用中空氣彈簧的相關(guān)計算較繁瑣，且忽略了眾多影響因素，設(shè)計時對影響空氣彈簧主要性能的工作壓力、附加氣室以及阻尼的選取原則不太明確，使其不能發(fā)揮應(yīng)有的最大作用。

目前，確定空氣彈簧剛度參數(shù)主要有理論分析和實驗測定兩種途徑。對于形狀簡單的空氣彈簧，理論分析可以用解析法或圖解法計算出近似解，但對于形狀復(fù)雜的空氣彈簧，要計算其剛度就比較困難。而且，理論分析得出的解析解并沒有考慮空氣彈簧囊壁材料對剛度的影響，實驗測定雖可以得出實際剛度大小，但試驗過程需要有樣品，而且試驗過程參數(shù)的調(diào)節(jié)比較困難，這就給空氣彈簧的設(shè)計帶來了較大的難度，不僅延長了設(shè)計周期，而且增加了研發(fā)費用[4]。所幸隨著計算機輔助工程的快速發(fā)展和應(yīng)用，利用仿真分析進行空氣彈簧設(shè)計和優(yōu)化計算逐步成為不可或缺的有效手段之一，用有限元方法分析空氣彈簧的剛度，不僅考慮了囊壁材料對剛度的影響，而且對于形狀復(fù)雜的空氣彈簧，也能較好地計算其剛度。自20世紀(jì)90年代以來，空氣彈簧系統(tǒng)的仿真模擬研究成為熱點，國外眾多學(xué)者利用有限元對空氣彈簧進行了一系列模擬研究得到了很多重要結(jié)論[5-6]。國內(nèi)空氣彈簧的研究始于1957年，當(dāng)時只是局限于車輛用的空氣彈簧，對空氣彈簧的理論進行了初步研究，在理論和試驗方面，積累了一些經(jīng)驗[7]。

本文分析了工程中對空氣彈簧垂向剛度的簡化計算，隨后利用仿真分析手段充分考慮材料、幾何以及接觸非線性的影響，對某型空氣彈簧進行非線性有限元分析，計算其垂向剛度，通過與試驗結(jié)果進行對比，表明仿真分析結(jié)果具有較高精度，可用于指導(dǎo)空氣彈簧工程設(shè)計和優(yōu)化。

1 空氣彈簧的剛度特性

空氣彈簧是一種由有簾線的橡膠囊和充入其內(nèi)腔的壓縮空氣所組成的非金屬彈性元件，其隔振性能主要受到剛度特性、頻率特性和阻尼特性的影響。尤其是其剛度特性，一致是研究熱點之一，結(jié)構(gòu)設(shè)計中，往往先根據(jù)初步的剛度需求進行設(shè)計。

設(shè)空氣彈簧膠囊內(nèi)的氣體為理想氣體，空氣彈簧受到垂直載荷F的作用，此時內(nèi)部的絕對氣壓為P，外部氣壓為Pa，則有以下關(guān)系式：

F=（P-Pa）Ae（1）

PVn=P0Vn 0=const（2）

式中：Ae——空氣彈簧的有效面積；

n——多變指數(shù)，與氣體的流動速度相關(guān)，緩慢流動時相當(dāng)于等溫過程，n=1；快速流動時接近絕熱過程，n=1.4，一般情況下，n=1.3～1.38；

P0、V0——為空氣彈簧處于靜平衡位置的內(nèi)部氣體的絕對壓力和容積。

由式（1）、式（2）可得：

F=（P0Vn 0-Pa）Ae（3）

將式（3）對空氣彈簧的垂直位移S求導(dǎo)數(shù)，其中Ae=-dV/dS，負(fù)號表示空氣彈簧受載荷壓縮時容積減少，則可得空氣彈簧的垂直剛度公式：

K=（P0Vn 0Nn-Pa）（dAe/dS）-Aen P0Vn 0Nn+1（dV/dS）（4）

由上述可知空氣彈簧剛度的影響因素有兩個，容積變化率和有效面積變化率。通過添加附加氣室可以改變?nèi)莘e變化率；通過改變空氣彈簧的結(jié)構(gòu)可以控制有效面積變化率，則可以進一步降低空氣彈簧的剛度。顯然，常規(guī)空氣彈簧剛度計算中，將問題進行了諸多簡化，可用于初期的空氣彈簧設(shè)計，但并未考慮實際結(jié)構(gòu)和工況中的諸多因素影響，與實際情況有一定偏差，利用有限元分析進行剛度求解是十分必要的。

2 有限元模型

2.1 空氣彈簧剛度分析中的非線性

空氣彈簧的性能分析過程中，包含有幾何非線性、材料非線性、邊界非線性三大非線性問題，即為一個三重耦合的強非線性問題?？諝鈴椈傻臍饽液拖鹉z堆的材料是典型的超彈性材料，即橡膠，其計算就涉及到了材料的非線性-超彈性材料本構(gòu)，本文中空氣彈簧的材料模型選擇M-R模型[8]：

W=C1（I1-3）+C2（I2-3）（5）

其中C1，C2的取值依賴于實驗數(shù)據(jù)而得。對此模型，既可運用大變形非線性彈性有限元法中的全拉格朗日模式來求解，也可用更新拉格朗日模式來求解。氣囊和橡膠堆在模擬的過程中變形是很大的，傳統(tǒng)有限元計算的小變形情況的理論就不再適用了，因而必須考慮有限元計算中的幾何非線性問題。而空氣彈簧的接觸非線性問題則是由上下蓋板與氣囊相接觸引起的，當(dāng)氣囊與蓋板相接觸，它們相互之間會產(chǎn)生法向壓力和摩擦剪切力，在接觸有限元法中可用罰單元法來求解。本文主要的分析目的就是確定空氣彈簧對應(yīng)的載荷-位移響應(yīng)，故本文要求解的方程組屬求解非線性結(jié)構(gòu)的響應(yīng)類型。一般地應(yīng)用于非線性有限元方程的非線性結(jié)構(gòu)問題可表示為：

K（q）q=g（6）

其中q是未知位移的矢量，g是施加的結(jié)點載荷矢量，三大非線性因素則隱含于內(nèi)力K（q）q中，而內(nèi)力由內(nèi)應(yīng)力σ的空間積分得到：

其中B是結(jié)構(gòu)剛度矩陣。一般的幾何非線性有限元法中的應(yīng)變與位移的非線性關(guān)系，材料非線性有限元法中的應(yīng)力與應(yīng)變的非線性關(guān)系接觸非線性問題中，因載荷與節(jié)點位移有關(guān)，最后均會導(dǎo)致整體剛度方程為非線性方程。求解非線性方程一般都采用線性化方法，即把非線性線性問題轉(zhuǎn)化為一序列線性問題求解。本文分析過程中是通過逐步施加給定的位移，以增量形式趨于最終解而得到結(jié)果，因此ABAQUS將模擬計算分為許多位移增量步，并在每個位移增量步結(jié)束時確定近似的平衡，所有增量響應(yīng)和就是非線性分析的近似解[8]。

2.2 模型及載荷邊界條件

根據(jù)空氣彈簧的軸對稱特性，建立如圖1所示幾何模型，考慮簾線等結(jié)構(gòu)對氣囊的增強。

Fig.1 Axisymmetric model of air spring

結(jié)構(gòu)網(wǎng)格模型如圖2所示，并考慮接觸分析特點對接觸區(qū)網(wǎng)格進行了網(wǎng)格設(shè)計，氣囊內(nèi)表面設(shè)置靜水流體單元，如圖3所示（為便于觀察，圖中給出的是軸對稱模型旋轉(zhuǎn)180°后的效果），用于表征內(nèi)部氣體域邊界并實現(xiàn)內(nèi)部氣壓控制。

載荷及邊界條件設(shè)置為上板頂面設(shè)置強制位移（用于計算垂向剛度），空氣彈簧底座下端面固定，左側(cè)邊界為軸對稱條件，在模型可能接觸的區(qū)域均設(shè)置接觸關(guān)系。分析工況為，首先固定上板頂面和底座，給氣囊內(nèi)沖壓0.2MPa，然后封閉空腔，上板下移40mm，隨后繼續(xù)充壓，使上板反力達到要求的值，為計算此時的剛度，上板繼續(xù)下移10mm。

材料參數(shù)如表1所示：

2.3 氣囊充壓及上板下移過程的實現(xiàn)

為實現(xiàn)氣囊充壓過程以及垂向剛度的模擬仿真，在氣囊內(nèi)表面，利用共節(jié)點技術(shù)生成靜水流體單元，如圖3所示，單元類型為FAX 2，將這些節(jié)點利用耦合的方式，耦合到一個參考點，對于軸對稱模型，通常選擇對稱軸上的一個點為參考點。由于設(shè)置了耦合，這些靜水流體單元的表征就通過唯一的參考點實現(xiàn)，參考點的自由度8即為氣囊的內(nèi)壓，通過設(shè)定該值即可實現(xiàn)氣囊充壓的模擬，同時，由于采用了共節(jié)點技術(shù)，氣囊結(jié)構(gòu)就會隨著內(nèi)壓的變化而變化。于此類似，當(dāng)上板下移時，由于氣囊結(jié)構(gòu)會發(fā)生變化，內(nèi)壓也會隨之發(fā)生變化，以此實現(xiàn)垂向剛度的求解。

3 結(jié)果

計算剛度前的預(yù)充壓狀態(tài)應(yīng)力云圖如圖4所示，最大Mises等效應(yīng)力74.4MPa，上板進一步下移10mm后等效應(yīng)力79.5MPa，如圖5所示，且空氣彈簧下端的橡膠堆進一步受壓，顯然，隨著上板的下移，結(jié)構(gòu)應(yīng)力增大，變形增大。

Fig.4 Von Mises stress before stiffness calculation

Fig.5 Von Mises stress after stiffness calculation

圖6為空氣彈簧上板下移10mm過程中氣囊內(nèi)壓的變化曲線，內(nèi)壓由0.407MPa，增大到0.424MPa，內(nèi)壓的變化過程與上板位移近似呈線性關(guān)系。

Fig.6 Von Mises stress after stiffness calculation

圖為空氣彈簧上板下移10mm過程中氣囊容積的變化曲線，容積由3.69E7mm3，減小到3.609E7mm3，容積的變化過程基本與上板下移同樣近似呈線性關(guān)系。

Fig.7 Von Mises stress after stiffness calculation

圖8為仿真分析和實驗所得空氣彈簧垂向剛度曲線（上板反力-位移曲線），對比實驗和仿真分析結(jié)果可知，仿真所得剛度反力略低于實驗所得反力，這主要是仿真分析中接觸摩擦參數(shù)以及部分模型簡化導(dǎo)致的，但整體來看仿真分析和實驗所得剛度符合較好。

Fig.8 Displacement-reaction force relationship for air spring

4 結(jié)論

1）傳統(tǒng)工程算法計算空氣彈簧剛度方法簡單，可用于初步的空氣彈簧設(shè)計；

2）空氣彈簧等效應(yīng)力和內(nèi)壓隨上板下移進一步增大，氣囊容積隨上板下移進一步減小，內(nèi)壓增大和容積減小與上板下移位移近似呈現(xiàn)線性關(guān)系；

3）仿真所得空氣彈簧剛度與試驗所得結(jié)果匹配較好，表明利用仿真分析空氣彈簧剛度可用于空氣彈簧的精細(xì)設(shè)計。

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