淺析泰勒公式的授課新方法

戚愛(ài)玲 鞠學(xué)偉

摘要：本論文從洛必達(dá)法則的一個(gè)例題引入，通過(guò)推理猜想的方法順其自然地得到了泰勒中值定理。希望這種新的授課方法能夠解除學(xué)生對(duì)泰勒公式的疑惑和恐懼。

關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式；余項(xiàng)；洛必達(dá)法則；中值定理

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）36-0203-02

泰勒公式作為高等數(shù)學(xué)微分學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，其教學(xué)方法一直吸引著廣大數(shù)學(xué)教學(xué)工作者進(jìn)行研究。而泰勒中值定理及泰勒公式的抽象深?yuàn)W，確會(huì)讓大多數(shù)學(xué)生不知所云、莫名其妙，雖經(jīng)充分預(yù)習(xí)、認(rèn)真聽(tīng)課，仍會(huì)感覺(jué)一頭霧水、疑問(wèn)重重。難、不懂、不理解是學(xué)生學(xué)完泰勒公式的主要感覺(jué)，而作為傳道授業(yè)解惑的老師，總希望能改變這一現(xiàn)象，希望泰勒公式給學(xué)生留下最深刻的印象是好、有用、會(huì)用。因此，這節(jié)課的講授需要老師投入更多的精力去設(shè)計(jì)其教學(xué)方法和教學(xué)思路。

一般的教學(xué)過(guò)程都是以泰勒公式的證明、常見(jiàn)函數(shù)的泰勒公式為教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。但是這樣的教學(xué)效果并不是很好，為此，我在教學(xué)過(guò)程中嘗試改變教學(xué)思路，將問(wèn)題的提出和泰勒公式的引入作為教學(xué)的重點(diǎn)，從最自然、最易于接受的例題開(kāi)始，引入本節(jié)課的學(xué)習(xí)，具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了洛必達(dá)法則，并且利用洛必達(dá)法則，我們證明了這樣一個(gè)結(jié)論：

例：設(shè)函數(shù)f（x）在x=x 處存在二階導(dǎo)數(shù)，試證：

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） +o（x-x ） .

大家還記得吧？這是上節(jié)課的一個(gè)例題，等式右端是一個(gè)二次多項(xiàng)式加一個(gè)高階無(wú)窮小項(xiàng)。我們回顧一下它的證明。通過(guò)上節(jié)課的知識(shí)，我們只需要用一次洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)的定義就證明了這個(gè)結(jié)論。但是，我們并不是第一次用多項(xiàng)式來(lái)表示一般的函數(shù)了，在第二章學(xué)習(xí)微分的時(shí)候，我們知道，如果函數(shù)f（x）在x=x 處可微，則

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+o（x-x ）.

這說(shuō)明如果函數(shù)f（x）在x 處有一階導(dǎo)數(shù)，則f（x）等于一個(gè)一次的多項(xiàng)式加x-x 的高階無(wú)窮?。蝗绻瘮?shù)f（x）在x 處有二階導(dǎo)數(shù)，則f（x）等于一個(gè)二次的多項(xiàng)式加（x-x ） 的高階無(wú)窮?。蝗绻瘮?shù)f（x）在x 處有三階導(dǎo)數(shù)呢，大家猜想，我們會(huì)得到什么結(jié)論？到了這里，學(xué)生會(huì)自然而然地想到：如果函數(shù)f（x）在x 處有三階導(dǎo)數(shù)，那么f（x）就等于一個(gè)三次的多項(xiàng)式加（x-x ） 的高階無(wú)窮小。這個(gè)結(jié)論敘述出來(lái)就是：如果函數(shù)f（x）在x=x 處存在三階導(dǎo)數(shù)，則

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） + （x-x ） +o（x-x ） .

只是這個(gè)三次的多項(xiàng)式三次項(xiàng)的系數(shù)分母是3！，除此之外，上式都在意料之中。而我們立馬對(duì)猜想得到的結(jié)論做一個(gè)嚴(yán)格證明。

證明：為了方便起見(jiàn)，我們把等式右端三次的多項(xiàng)式記為p （x），即

p （x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） + （x-x ）

對(duì)于結(jié)論的正確性我們只需要驗(yàn)證

=0

而通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可知，

p （x ）=f（x ），p′ （x ）=f′（x ），p″ （x ）=f″（x ），p？蓯 （x ）=f？蓯（x ），

所以，用兩次洛必達(dá)法則，我們得到

= = ，

到了這里就不能再用洛必達(dá)法則求極限了，因?yàn)?，我們只知道函?shù)f（x）在x=x 處存在三階導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)f（x）在x 的鄰域內(nèi)二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，在x 的鄰域內(nèi)是否存在三階導(dǎo)數(shù)不知道，所以不再滿足洛必達(dá)法則的條件，但是對(duì)于上式極限，我們只需要對(duì)二階導(dǎo)函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義就能得到

= - = f？蓯（x ）-p？蓯 （x ）=0這就證明了我們猜想的結(jié)論正確。

現(xiàn)在，我們?cè)倏偨Y(jié)一下得到的結(jié)論：如果函數(shù)f（x）在x 處有一階導(dǎo)數(shù)，則f（x）等于一個(gè)一次的多項(xiàng)式加x-x 的高階無(wú)窮小；如果函數(shù)f（x）在x 處有二階導(dǎo)數(shù)，則f（x）等于一個(gè)二次的多項(xiàng)式加（x-x ） 的高階無(wú)窮?。蝗绻瘮?shù)f（x）在x 處有三階導(dǎo)數(shù)，則f（x）就等于一個(gè)三次的多項(xiàng)式加（x-x ） 的高階無(wú)窮小。好，按照這種規(guī)律，一般情況下，如果函數(shù)f（x）在x 處有n階導(dǎo)數(shù)呢？學(xué)生一定會(huì)毫不猶豫地齊聲回答：那么f（x）就等于一個(gè)n次的多項(xiàng)式加（x-x ） 的高階無(wú)窮小。這就是泰勒中值定理的第一個(gè)定理：

泰勒中值定理1：如果函數(shù)f（x）在x=x 處存在n階導(dǎo)數(shù)，則

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） +…+ （x-x ） +o（x-x ） .我們把高階無(wú)窮小項(xiàng)稱為余項(xiàng)，稱o（x-x ） 為佩亞諾型余項(xiàng)，表示f（x）和n次多項(xiàng)式的差，因此也稱為誤差項(xiàng)。當(dāng)x和x 靠得很近時(shí)，o（x-x ） 是非常小的一項(xiàng)，所以，我們可以用n次多項(xiàng)式近似表示f（x），但是這種近似表示的誤差只是（x-x ） 的高階無(wú)窮小，具體小到多少，我們不能量化，也就是說(shuō)佩亞諾型余項(xiàng)只是一個(gè)定性的表示，不能量化，那我們能不能得到一個(gè)定量的誤差項(xiàng)呢？只要對(duì)函數(shù)f（x）的要求加強(qiáng)一點(diǎn)點(diǎn)，就得到了一個(gè)可以量化的誤差項(xiàng)，這就是泰勒中值定理的第二個(gè)定理：

泰勒中值定理2：如果函數(shù)f（x）在x 的鄰域內(nèi)存在n+1階導(dǎo)數(shù)，則

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） +…+ （x-x ） + （x-x ） ，其中ξ介于x和x 之間，我們把余項(xiàng) （x-x ） 稱為拉格朗日型余項(xiàng)。

這樣我們就引入了泰勒公式，這是非常重要的一步，然后就可以按照平常教材的安排，進(jìn)一步介紹麥克勞林公式、常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林公式、泰勒公式的應(yīng)用、舉例等等。

總之，泰勒公式的教學(xué)目標(biāo)是要求學(xué)生理解泰勒公式并了解其應(yīng)用，然而，對(duì)于剛步入大學(xué)的學(xué)生而言，許多大學(xué)生并沒(méi)有轉(zhuǎn)變好角色，適應(yīng)大學(xué)的思維方式，他們對(duì)抽象深?yuàn)W的泰勒公式及泰勒中值定理的學(xué)習(xí)變現(xiàn)出畏難情緒。學(xué)生在學(xué)完之后，并不能理解其意義所在，往往不知所云。用這種方式引入泰勒公式，學(xué)生對(duì)泰勒公式的理解及記憶非常清楚，再?zèng)]有難的感覺(jué)。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，已經(jīng)用這種方式介紹了泰勒公式，反應(yīng)非常好。希望這種教學(xué)方法能夠推廣，以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果。

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