構(gòu)建關(guān)于直線斜率的一元二次方程解題

☉湖北省襄州一中 李繼武

設(shè)圓錐曲線C截直線G得到的弦為AB，點P（x0，y0）是直線AB外一點.直線G的方程為y=mx+t，直線PA和PB的斜率分別為k1，k2.我們常常遇到的一個問題是：已知k1，k2的積，或者和為某一個常數(shù)（例如-1，0），或者直線PA與PB的夾角大小一定，求解直線AB中參數(shù)m與t應(yīng)滿足的條件，以進(jìn)行相關(guān)計算及證明.一般設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）求解.本文介紹不設(shè)A，B坐標(biāo)，而設(shè)直線PA的斜率為k，其方程為y-y0=k（x-x0）. 將其與直線G：y=mx+t的交點A）坐標(biāo)（*），代入圓錐曲線方程，整理為關(guān)于斜率k的一元二次方程.這里對于不同的k值，k1和k2的幾何意義就是PA和PB的斜率，而坐標(biāo)（*）就是A點和B點坐標(biāo).根據(jù)題目中k1與k2的和或積的條件，用韋達(dá)定理得出參數(shù)m，t滿足的關(guān)系式，繼而求解其他問題.

（1）當(dāng)L與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB.

（2）設(shè)直線L：x-1=my，直線G：y=k（x-2）.二者交點，坐標(biāo)代入橢圓方程得.整理為關(guān)于k的方程得2（1+m2）k2-1=0.所以k1+k2=0，即kMA=-kMB，直線MA與MB的傾角互補，又因F（1，0）是X軸上的點，顯然A,B兩點分別在X軸的上下兩側(cè)，故∠OMA=∠OMB.

例2 已知圓的方程x2+y2=4和點P（1，0）.直角三角形PAB的兩頂點A，B在圓上，求斜邊AB中點的軌跡方程.

解：設(shè)直線L：y=k（x-1），直線G：y=mx+t（t≠0）.兩直線交點，將其坐標(biāo)代入圓的方程，并整理為［（m+t）2-3］k2+（2t+8m）k-4m2+t2=0.這是關(guān)于k的一元二次方程.因為PA與PB垂直，所以k1k2=-1.故（m+t）2-3=4m2-t2，即3m2-2mt-2t2+3=0.① 聯(lián)立方程x2+y2=4和y=mx+t，得方程（1+m2）x2+2mtx+t2-4=0.設(shè)線段AB的中點為M（x，y），則x=（t≠0）. ② 代入①式消去參數(shù)得3（x2+y2）-2（x2+y2）2+2x（x2+y2）=0，因為t≠0，所以x2+y2≠0，故得3-2（x2+y2）+2x=0，即；當(dāng)AB與x軸垂直時，設(shè)直線AB方程為x=x0，和直線L的方程：y=k（x-1）聯(lián)立求得交點（x0，k（x0-1）），將其坐標(biāo)代入圓的方程得（x0-1）2k2+x02-4=0，由k1k2=-1得2x02-2x0-3=0，解當(dāng)PA或PB無斜率時，求得斜邊中點以上六點全部在橢圓上.故所求點的軌跡方程為

【注】以上兩例中，P點都不在圓錐曲線C上，而點A（*）坐標(biāo)代入了曲線C方程，A在曲線C上，所以P點不可能與A點重合；但例3，例4是P點在曲線C上，有可能P點和點A（*）重合.因A點坐標(biāo)（*）為，故當(dāng)且僅當(dāng)y0=mx0+t（即直線L過點P）時，A，B點都與P點重合.這時應(yīng)該有目的地分解出增解的式子y0-mx0-t，舍掉y0-mx0-t=0后再進(jìn)行運算.

例3 已知P（1，-1）是拋物線y2=x上的一點，AB是過點N（2，0）的拋物線的弦，且PA⊥PB.求直線AB的方程.

解：設(shè)過P點的直線L：y=k（x-1）-1（k≠0），過N點的 直 線 G：x-2=my，（m ≠0） 將 二 者 交 點 坐 標(biāo)）代入拋物線方程得：

k（21-m2）-（m2-3m+2）k+m-1=0.

因k1k2=-1，所以1-m2=1-m，（1+m）（1-m）=1-m舍去直線G過P（1，-1）時的增解m=1，得m=0.即直線AB的方程是x=2.

（1+4m2）x2+8mtx+4（t2-1）=0.所以所求軌跡為上述橢圓.

例5 已知正方形OABC，點E，F(xiàn)分別在邊AB和BC上運動，并保持∠EOF=45°，OH⊥EF.求證：線段OH等于正方形的邊長.

圖1

證明：如圖1，以O(shè)點為原點，OC為x軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，OABC逆時針排序.設(shè)正方形邊長為1，則A（0，-1），B（1，-1），C（1，0）.問題轉(zhuǎn)化為：假設(shè)|OH|=1，證明∠EOF=45°.為此作一個單位圓.設(shè)單位圓上的點H（x0，y0），因為OH⊥EF，所以EF應(yīng)為圓x2+y2=1在點H處的切線.故EF的方程為x0x+y0y=1，設(shè)直線OE（或OF）的方程為y=kx（k＜0），聯(lián)立方程求得交點.因為直線AB的方程是y+1=0，直線BC的方程是x-1=0，所以折線段ABC的方程式為：（x-1）（y+1）=0，即xy+x-y-1=0（0≤x≤1且-1≤y≤0），把M的坐標(biāo)代入此方程得，整理為關(guān)于k的一元二次方程y0（y0+1）k2+（2x0y0+x0-y0-1）k+x0（x0-1）=0，分解因式得（y0k+x0-1）×［（y0+1）k+x0］=0，，k2>k1?x0-y0-1＞0而點H（x0，y0）在直線x-y-1=0下方. 所以x0-y0-1＞0成立，所以k2＞k1. 即kOF＞kOE. 要證∠EOF=45°，只需tan∠EOF=1，只需入得x02+y02=1.故|OH|=1.證畢.F