重問題內(nèi)涵本質(zhì) 促自然合理聯(lián)想——對2018高考江蘇卷第13題的探究與思考

☉江蘇省清浦中學(xué) 吳洪生 時坤明

2018高考江蘇卷第13題作為填空壓軸題，其內(nèi)涵豐富、解法靈活，對考生數(shù)學(xué)能力的要求比較高.在重視考查基礎(chǔ)知識與通性通法的同時，著重考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，為引領(lǐng)高三復(fù)習(xí)教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用.

一、試題呈現(xiàn)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為______.

二、命題分析

本題以三角形為載體，立足三角形內(nèi)角平分線，將條件轉(zhuǎn)化為三角形的兩邊a，c之間的關(guān)系，這樣就對三角形面積、三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理、定比分點坐標(biāo)公式的向量表示形式、三點共線的充要條件等進行較為全面的考查.試題定位在填空壓軸題，又將降元思想、二元變量最值求法、基本不等式等融入其中，意在提高問題的思維價值高度.試題形式簡潔，內(nèi)涵豐富，區(qū)分度較好，為數(shù)學(xué)思維水平高的考生留足了思維馳騁的空間.

三、題源探尋

本題背景中，A，D，C三點共線，有關(guān)三點共線的性質(zhì)，在蘇教版必修4第2.2.3節(jié)中有例4：在△OAB中，C為直線AB上一點

本題所求4a+c的最小值，在蘇教版必修5有相似背景：第3章復(fù)習(xí)題13.已知正數(shù)x，y滿足x+2y=1，求的最小值.

本題的高考原型有如下幾個：

原型1（2010全國Ⅱ卷理科第8題）在△ABC中，點D在AB上，CD平分∠ACB.若=a，=b，|a|=1，|b|=2，則=（ ）.

原型2（2015全國Ⅱ卷文科第17題）在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，BD=2DC.

（2）若∠BAC=60°，求∠B.

原型3 （2012浙江卷文科第9題）若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（ ）.

原型4（2012蘇北四市三模第17題）如圖1，在C城周邊已有兩條公路l1，l2在點O處交匯，且它們的夾角為75°，已知OC=（+）km，OC與公路l1的夾角為45°.現(xiàn)規(guī)劃在公路l1，l2上分別選擇A，B兩處為交匯點（異于點O）直接修建一條公路通過C城OA=xkm，OB=ykm.

圖1

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出它的定義域；

（2）試確定點A，B的位置，使△OAB的面積最小.

四、解法探究

本題條件給出三角形內(nèi)角平分線，這是解題的出發(fā)點與立足點；所求結(jié)論為4a+c的最小值，這是解題的歸宿.基于此，本題需要分兩步處理.第一步探尋a與c的關(guān)系：a+c=ac，這是解決問題的關(guān)鍵；第二步據(jù)此關(guān)系求最值.從不同的視角出發(fā)，第一步探尋a與c的關(guān)系有如下常見途徑：①從條件與圖形上看，首選面積法；②由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理知，由定比分點坐標(biāo)公式的向量形式或向量基本運算法則得兩邊平方或兩邊同乘B—→D均可得a+c=ac；③過D作DE∥BC交AB于E，則△BDE是邊長為1的正三角形，由平行可得a+c=ac；④針對特殊角還可建系，既可以BD所在直線為x軸，也可以BA或BC所在直線為x軸，方法靈活.第二步由a+c=ac求4a+c的最值，常有如下途徑：①將a+c=ac變形，用“1”的代換法；②將a+c=ac變形為代入4a+c，用降元法轉(zhuǎn)化一元函數(shù)或構(gòu)造基本不等式；③換元法，令t=4a+c，則c=t-4a，再代入a+c=ac，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次方程，運用Δ≥0可得.

解法1：由等面積法得S△ABD+S△BDC=S△ABC，即sin120°，即a+c=ac，從而=1，

圖2

圖3

圖4

解法4：建立如圖4所示直角坐標(biāo)系，則C（a，0），D（cos60°，sin60°），A（ccos120°，csin120°），

因為A，D，C三點共線，kAD=kDC，

五、變式拓展

變式1： 在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知∠ABC=120°，AC邊上的中線BD=1，求a+c的最大值.

變式2：在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知∠ABC=120°，點D滿足2，且BD=1，求a+c的最大值.

令a+c=t，把c=t-a代入（*）式用判別式法解決.

評注：2018江蘇高考13題→變式1→變式2，觀察點D的位置及比值的變化：將角平分線變?yōu)橹芯€，再變?yōu)槿确贮c連線.不難發(fā)現(xiàn)問題的演變規(guī)律.

變式3：如圖5，在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知∠ABC=135°，BD、BE三等分∠ABC，且BE=1，則2a+c的最小值為______.

圖5

評注：變式3是將13題中的角平分線變?yōu)槿确纸蔷€，為方便運算將120°角改為135°角.

六、教學(xué)思考

本文選擇2018高考江蘇卷第13題，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知情況、思維層次，運用一題多解、拓展變式的研究方法由表及里，由淺入深，對其進行了最大化的挖掘，力求做到以點窺面，全面提升學(xué)生的思維層次.通過對本題的探究，筆者有如下思考與感悟，簡稱為“四重視一追求”.

1.重視基礎(chǔ)吃透本質(zhì)

新《課標(biāo)》指出：要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì).在高三復(fù)習(xí)特別是一輪復(fù)習(xí)中要高度重視夯實基礎(chǔ)，對于像三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理這樣的結(jié)論，盡管初高中教材均沒提及或者說不作要求，但在各類考試中頻頻出現(xiàn)，應(yīng)用十分廣泛，如能合理使用，將會優(yōu)化思路、簡化運算，起到事半功倍的作用.因此，高三復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重視基礎(chǔ)、吃透本質(zhì)，加強對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識與理解，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

2.重視運用通性通法

章建躍博士說：“通性”就是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)；“通法”就是概念所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.重視通性通法，就是要求學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中養(yǎng)成從基本概念、基本原理出發(fā)，運用定理、公式等思考和解決問題的習(xí)慣，學(xué)會最基本的數(shù)學(xué)思考方法.例如：由4a+c的最小值，此類題有兩種常見思考方法：

①已知a，b，m，n，λ，μ，k∈R+，m，n，λ，μ，k為常數(shù)，且先變形，展開后利用基本不等式求最小值.

②已知a，b，m，n，λ，μ，k∈R+，m，n，λ，μ，k為常數(shù)，且=k，求ma+nb的最小值.這里只需由ma+nb=（ma+展開后即可利用基本不等式求最小值.

3.重視多解多變訓(xùn)練

一題多解是指對同一問題從多個視角進行剖析、求解.如：本文對2018江蘇高考第13題給出了四種解法，各種解法既有板塊內(nèi)的融合，也有自成一體.重視一題多解訓(xùn)練，有利于開闊學(xué)生的思路，融合相關(guān)的知識與方法；有利于學(xué)生對問題進行多角度思考、多層次分析，形成廣闊的審題視角；有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性與靈活性.一題多變是指對一道題改變或部分改變其條件或結(jié)論，通過聯(lián)想、類比得到一系列新的題目.如：本文變式拓展給出了三種變式，對知識進行了縱引橫聯(lián)，拓展引伸.重視一題多變訓(xùn)練有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識及其內(nèi)在的聯(lián)系；有利于提升學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力.

4.重視總結(jié)勤于反思

“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”.反思是師生對教學(xué)實踐過程的再思考、再認(rèn)識.重視總結(jié)與反思，有利于教師總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，進一步提高教學(xué)水平.有利于學(xué)生深化對知識的理解，提升思維能力；有利于改進方法，提高學(xué)習(xí)效率；養(yǎng)成對自己解題過程進行回顧和反思的習(xí)慣，有利于總結(jié)解題經(jīng)驗、提煉解題方法、揭示數(shù)學(xué)思想，形成正確的解題觀.

5.追求自然合理聯(lián)想

對于數(shù)學(xué)問題的解決，學(xué)生常出現(xiàn)一聽就懂、一過就忘、一做就錯的現(xiàn)象.為什么會這樣？部分原因在于學(xué)生對問題解決方法的自然合理性沒有真正認(rèn)識和把握，使得知識不能遷移.如何才能讓學(xué)生有自然合理的聯(lián)想呢？本文作了有益的嘗試.如：本題條件中給出了三角形的一條內(nèi)角平分線，內(nèi)角平分線（或中線或高）將三角形分割成兩個小三角形，聯(lián)想面積法自然合理.其次，由三角形內(nèi)角平分線，聯(lián)想三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)當(dāng)屬知識的自然遷移.再次，由A，D，C三點共線，聯(lián)想定比分點坐標(biāo)公式的向量形式，進而將B—→D用B—→A，B—→C線性表示，也符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，當(dāng)然本題條件與結(jié)論中均未出現(xiàn)向量，讓學(xué)生聯(lián)想向量也是富有挑戰(zhàn)性的.也還可以從平幾知識出發(fā)，添置平行線得比例關(guān)系，進而有ac=a+c也符合學(xué)生的認(rèn)知.得到ac=a+c后，求4a+c最小值，這屬于二元變量最值問題常見題型，在高考及各地模考中屢見不鮮，解法靈活多變.這樣的思維過程自然順暢，一氣呵成！