先入為主，巧妙解題

☉福建省寧德市民族中學(xué) 蘇華春

在解決一些數(shù)學(xué)問題時，如果只是按部就班，采用直接方法處理，有時根本無法下手，有時計算難度非常大，有時解答半途而廢.而此時往往可以先入為主，通過“想當然”，巧妙假設(shè)對應(yīng)可能存在的情況，加以“先斬后奏”，往往可以起死回生，柳暗花明，達到順利解決問題的目的.

一、點的確定

例1 （2018屆廣州市高三年級調(diào)研測試·16）在平面直角坐標系xOy中，已知直線=0與橢圓C：=1（a＞b＞0）相切，且橢圓C的右焦點F（c，0）關(guān)于直線y=x的對稱點E在橢圓C上，則△OEF的面積為______.

分析：如果采用代數(shù)法，根據(jù)右焦點F（c，0）關(guān)于直線y=x的對稱點E的坐標的求解，代入橢圓C的方程來確定參數(shù)之間的關(guān)系式，計算非常復(fù)雜，且很難進行下去.而選擇幾何法，根據(jù)先入為主，通過對橢圓C的上頂點B（0，b）與F的連線的斜率kBF的求解，結(jié)合兩直線的垂直關(guān)系，確定對稱點E是短軸的一個頂點，建立關(guān)系式，求解面積就會很簡單.

那么結(jié)合a2=b2+c2可解得b=c=，a=2，

點評：解決點關(guān)于直線的對稱點的確定與求解問題，通過先入為主，巧妙結(jié)合平面幾何法來處理，注意到兩直線的垂直關(guān)系，進而來確定對稱點的位置即可.

二、位置的確定

例2 （2018屆江西省重點中學(xué)盟校高三第一次聯(lián)考·12）如圖1，在平面四邊形ABCD中，AC與BD交于點P，若3，AB=AD=BC，∠CAD+∠ACB=

圖1

分析：如果直接利用平面向量的線性運算加以轉(zhuǎn)化，條件之間的關(guān)系也比較混雜，根本無從下手，沒有解題頭緒.而通過題中平面向量的線性關(guān)系式，結(jié)合圖形特殊，先入為主，結(jié)合圖形的確定，利用特殊圖形來反推相關(guān)題目的條件均得以滿足，進而達到求解的目的.

圖2

由于P分別是BM、AC的中點，

則四邊形ABCM是平行四邊形，則AM=BC.

結(jié)合圖形特征可知，△ABP≌△ADM，進而可得AP=AM=BC，而AB=AD=BC，

此時平行四邊形ABCM為矩形，可得AC=BM=2BC，

點評：實際上點P的位置無法確定，直接求解非常盲目而且無法下手.而通過先入為主，結(jié)合平面向量的線性關(guān)系式確定點P的準確位置，再結(jié)合題目條件加以反推其滿足題目的所有條件，進而確定點P的位置關(guān)系的合理性，再通過所確定的圖形加以分析與求解，就顯得更為簡單好操作.

三、角度的確定

例3 （2018·全國Ⅱ理·15）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin（α+β）=________.

分析：若直接分析求解，則需要利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角恒等變換等眾多的三角函數(shù)公式來處理，解題過程比較復(fù)雜.而根據(jù)題中相關(guān)角的三角函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合具體的特殊角，先入為主，結(jié)合三角函數(shù)角的確定，利用特殊角的三角函數(shù)求值來確定，以特殊代表一般，進而達到求解的目的.

解析：由于答案為定值，不失一般性，取特殊值α=150°，β=60°，

此時滿足條件sinα+cosβ=sin150°+cos60°=

所以sin（α+β）=sin（150°+60°）=sin210°=-.

點評：解決涉及此類的三角函數(shù)求值問題，因為是選擇題與填空題，可以先入為主，巧妙構(gòu)造滿足條件的特殊角、特殊三角函數(shù)等來處理，以特殊來代表一般，簡化運算，提升效益.

四、圖形的確定

例4 （2018屆江蘇省南通、揚州、泰州、淮安、徐州、宿遷二?！?3）在平面四邊形ABCD中，已知AB=1，BC=4，CD=2，DA=3，則的值為________.

分析：如果直接處理，往往是利用平面向量的線性運算或坐標運算來處理，解題過程也比較煩瑣.而根據(jù)題中對應(yīng)邊長關(guān)系，結(jié)合極限條件——化平面四邊形為線段，先入為主，利用特殊圖形來還原相關(guān)題目的條件的特殊情況，結(jié)合線段的關(guān)系以及平面向量的數(shù)量積來分析處理.

解析：由于AB=1，BC=4，CD=2，DA=3，

取極端情況（A、B、C、D四點共線），此時A（0，0），B（1，0），C（5，0），D（3，0），使其滿足以上條件.

點評：實際上本題的圖形——平面四邊形是不確定的，這樣的平面四邊形有無數(shù)個.而采用先入為主，通過極端思維法，結(jié)合特殊的線段來處理，有時可以達到“秒殺”的效果，且不失一般性.

五、參數(shù)的確定

例5 （2018屆江蘇省揚州市高三期末調(diào)研·14）已知正實數(shù)x，y滿足5x2+4xy-y2=1，則12x2+8xy-y2的最小值為________.

分析：如果直接從二元代數(shù)式的定值條件入手，通過換元思維或齊次化思維來處理，往往運算量比較大，計算繁雜且不易達到目的.而通過關(guān)系式，先入為主，確定正實數(shù)x，y之間的線性關(guān)系，引入?yún)?shù)，進而結(jié)合函數(shù)與方程思維來處理.

解析：略.

點評：實際上從題目信息中很難分析正實數(shù)x，y之間的關(guān)系，直接處理難度比較大.而通過先入為主，結(jié)合參數(shù)的確定，利用正實數(shù)x，y之間的線性關(guān)系來轉(zhuǎn)化，把涉及x，y的二元代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程問題，利用判別式來分析與求解，巧妙的思維方法值得學(xué)習，值得掌握.

解決一些比較復(fù)雜的選擇題或填空題時，當無法下手或無從解答時，可以采用先入為主策略，從關(guān)鍵點的確定、位置的確定、參數(shù)的確定等方面入手，采用先預(yù)設(shè)成立的結(jié)論，結(jié)合題目條件來反推滿足題目條件，從而繞過直接求解或處理所帶來的困難或繁雜的運算，進行合理化歸與轉(zhuǎn)化，把煩瑣的問題簡單化、明了化，從而更為有效地解決問題.實際操作時，要學(xué)會靈活變通，巧妙應(yīng)用.F