圓錐曲線中兩垂直焦點(diǎn)弦的若干結(jié)論

☉湖北省武漢市新洲一中 吳正文

一、引例

（1）橢圓的離心率e=______；

（3）若AB與CD的中點(diǎn)分別記為M，N，則直線MN恒過定點(diǎn)______.

二、簡析

本題計(jì)算量較大，利用弦長公式求出|AB|與|CD|的表達(dá)式再結(jié)合單調(diào)性（或均值不等式）可以求出|AB|+|CD|的最小值為，故（1）與（2）得以解決，對于（3），則需求出直線MN的方程，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)它過的定點(diǎn)坐標(biāo)，整個(gè)過程中注意到b2=1的特殊性，從而考慮到它的一般性是否成立.

三、探究

圖1

到這里，引例中的3個(gè)問題都得到了解決.而且我們也能得到下面的結(jié)論：

結(jié)論3：若AB與CD的中點(diǎn)分別記為M，N，則直線MN恒過定點(diǎn)

四、推廣

在拋物線y2=2px中，過焦點(diǎn)的兩條垂直相交弦AB與CD，有如下結(jié)論：

結(jié)論8：|AB|+|CD|≥8p.

結(jié)論9：若AB與CD的中點(diǎn)分別記為M，N，則直線MN恒過定點(diǎn)

五、結(jié)語

限于篇幅，上述對雙曲線與拋物線的證明過程都沒有給出來，感興趣的讀者可以驗(yàn)證一下.至此，我們感嘆于圓錐曲線內(nèi)部的和諧與統(tǒng)一，同時(shí)也激起我們對未知領(lǐng)域的向往.我們相信如果能夠把這樣的一種追求與探索的情感融入到平時(shí)的教學(xué)中去，感染學(xué)生，使之成為他們學(xué)習(xí)與成長中的一道風(fēng)景，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的魅力所在.