對(duì)一道高考模擬題的分析與思考

廣東省廣州市第六十六中學(xué)(510460) 王松岳

2018年廣州一模測(cè)試題中的理科數(shù)學(xué)第20題代表近年來(lái)圓錐曲線問(wèn)題的熱點(diǎn),值得去認(rèn)真思考,并挖掘其中的來(lái)源.

一、原題再現(xiàn)

解讀上面的解題過(guò)程,發(fā)現(xiàn)由一個(gè)定點(diǎn)T(4,0)出發(fā)的一組動(dòng)直線,經(jīng)過(guò)對(duì)稱變換后,回歸于定點(diǎn)G(1,0),估計(jì)這不是一個(gè)特例,猜想對(duì)于x軸任意一點(diǎn)都應(yīng)該成立.

二、由特殊到一般

圖1

三、把結(jié)論推廣到其它圓錐曲線

對(duì)于拋物線也有類似的結(jié)論:

結(jié)論3過(guò)點(diǎn)T(n,0)(n?=0)的直線l與拋物線C:y2=2px(p＞0)相交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),點(diǎn)A′(x1,?y1)與點(diǎn)A(x1,y1)關(guān)于x軸對(duì)稱,則直線A′B恒過(guò)定點(diǎn)(?n,0).當(dāng)n＞0時(shí),應(yīng)排除斜率不存在與斜率為零的直線.

四、追根溯源,命題背景分析

本題的命題背景來(lái)自于圓錐曲線的極點(diǎn)與極線.極點(diǎn)與極線問(wèn)題是近年來(lái)高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,此類問(wèn)題越來(lái)越多出現(xiàn)在高考卷中,可以說(shuō)已經(jīng)成為高考解析幾何大題的命題“新寵”.雖然不能夠直接套用極點(diǎn)與極線的相關(guān)結(jié)論用于解答,但教師如果能夠了解掌握相關(guān)理論,從更高的角度看對(duì)問(wèn)題,對(duì)教學(xué)是有很大幫助的.下面給出極點(diǎn)與極線的定義,定理及相關(guān)性質(zhì).

定義1設(shè)兩點(diǎn)P,Q的連線與圓錐曲線C相交于M1,M2,如果M1,M2被P,Q調(diào)和分割(即=?1,這里的線段均為有向線段),則稱P,Q關(guān)于圓錐曲線C成調(diào)和共軛.

定義2如圖2,P是不在圓錐曲線上的點(diǎn),過(guò)P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.若P為圓錐曲線上的點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P的切線即為極線.

定義3如圖3,(極線方程公式)已知圓錐曲線C:Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0,則點(diǎn)P(x0,y0)與直線l:Ax0x+By0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0是該圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.

由上述極線方程公式可知,圓錐曲線對(duì)稱軸上的點(diǎn)的極線垂直于該對(duì)稱軸.

圖2

圖3

定理1一點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線C的所有調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線l,稱直線l為點(diǎn)P(關(guān)于圓錐曲線C)的極線,點(diǎn)P稱為直線l(關(guān)于圓錐曲線C)的極點(diǎn)(簡(jiǎn)稱極).

特別地,圓錐曲線焦點(diǎn)的極線就是與之對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線.當(dāng)點(diǎn)P在圓錐曲線的外面時(shí),其極線l是圓錐曲線C從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線(即切點(diǎn)弦所在的直線).

定理2(配極原則)點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線C的極線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q?點(diǎn)Q關(guān)于圓錐曲線C的極線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)P;直線l關(guān)于圓錐曲線C的極點(diǎn)P在直線m上?直線m關(guān)于圓錐曲線C的極點(diǎn)Q在直線l上.

由定理2可知,共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn);共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線.

由上述結(jié)論可知,本次2018年廣州一模理科數(shù)學(xué)第20題就是涉及極點(diǎn)P(n,0)關(guān)于橢圓的極線的問(wèn)題.

五、高考鏈接

1.(2008年山東卷理科第22題)設(shè)拋物線方程為x2=2py(p＞0),M為直線y=?2p上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M引拋物線的切線,切點(diǎn)為A,B.

(1)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;(2),(3)略.

2.(2010年江蘇卷理科第18題)已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0),焦點(diǎn)為F(0,1).

(1)求拋物線C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)F作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn).若直線AO,BO分別交直線l:y=x?2于M,N兩點(diǎn),求|MN|的最小值.

3.(2015年全國(guó)I卷理科第20題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線與直線l:y=kx+a(a＞0)交于M,N兩點(diǎn).

(I)當(dāng)k＞0時(shí),求曲線C在M,N兩點(diǎn)處的切線方程;

(II)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN?說(shuō)明理由.

從近年來(lái)看,有著極點(diǎn)與極線背景的高考試題,越來(lái)越多地出現(xiàn),如果教師能夠高屋建瓴,加深對(duì)題源的認(rèn)識(shí),就能更好地把握試題,對(duì)教學(xué)提供很好的幫助.