等周不等式初探

廣東省廣州市第二中學(xué)(510530) 胡方杰

1 引言

“等周”就是周長為常數(shù),“等周問題”就是在周長一定的一類指定的區(qū)域中,求面積最大的區(qū)域.邏輯上等價(jià)于問題:在某一類面積一定的區(qū)域中,求周長最小的區(qū)域.其實(shí),由定長的曲線圍成最大面積的問題可以追溯到羅馬神話中的所謂黛朵問題.航船遇難,黛朵公主請(qǐng)求當(dāng)?shù)赝林o她及隨從們一塊海邊土地,土著答應(yīng)了,但大小僅限于一張牛皮所圍出的面積.聰明的公主將牛皮剪成盡可能細(xì)的牛皮條圈了一塊地——她選擇了半圓作為這塊地的形狀.相信大多數(shù)人都會(huì)贊同公主的選擇,因?yàn)樗龑?shí)際上是在運(yùn)用等周定理:“在給定周長的所有封閉曲線中,圓具有最大的面積.”實(shí)際上,比公主更早,我們?nèi)祟惸酥羷?dòng)物界與生俱來都在自覺不自覺地利用這個(gè)定理,寒冷的冬天,我們(包括動(dòng)物)會(huì)縮成一團(tuán),為的就是在體積一定的情況下,盡量縮小自己的表面積,減少熱量的損失,其緣由是在利用三維空間等周定理:“在給定體積的所有立體中,球具有最小的表面積.”

無論是二維還是三維,著名的等周定理從發(fā)現(xiàn)到證明花了人類兩千多年的時(shí)間,也是數(shù)學(xué)史上被證明次數(shù)最多的一個(gè)定理之一,它為這樣兩類問題給出了解答:

(1)在具有某種性質(zhì)的所有幾何圖形中,哪個(gè)有最大的面積或體積;

(2)在具有某種性質(zhì)的所有幾何圖形中,哪個(gè)有最小的周長或表面積.

下面給出平面等周定理的具體表述:

定理1.1(A)在具有給定周長的所有平面圖形中,圓具有最大的面積.

(B)在具有給定面積的所有平面圖形中,圓具有最小的周長.

對(duì)應(yīng)于平面等周定理的等價(jià)說法,即等周不等式為:

定理1.2設(shè)A是一條長為L的簡單閉曲線C圍成的面積,那么L2?4πA≥ 0或,式中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)C是圓時(shí)成立.

注“簡單閉曲線”是指沒有端點(diǎn)且自身不相交也不相切的曲線.由對(duì)稱化不難得出,非簡單閉曲線的情形不具有最大面積,故本文只討論簡單閉曲線.

這個(gè)定理可以推廣到三維空間:

定理1.3(A)在具有給定表面積的所有立體中,球具有最大的體積.

(B)在具有給定體積的所有立體中,球具有最小的表面積.

2.多邊形等周定理

2.1 三角形等周定理

我們將討論幾個(gè)平面中的等周定理,首先從簡單的情形開始,而以等周定理本身的討論作為結(jié)束.多邊形是最簡單的幾何圖形,而三角形又是多邊形中最基本的圖形,因此,關(guān)于三角形的兩個(gè)提法構(gòu)成了我們對(duì)等周定理研究的基礎(chǔ).

定理2.1(A)在具有給定周長的所有三角形中,等邊三角形具有最大的面積.

(B)在具有給定面積的所有三角形中,等邊三角形具有最小的周長.

我們將介紹的這個(gè)證明,它借助海倫公式,依賴于算術(shù)和幾何平均值不等式.

證明2.1(A)我們考慮周長為L,面積為A,邊長為a,b,c的任一三角形?.因?yàn)長是固定的,則由海倫公式

亦即

可以知道,當(dāng)(L?2a)(L?2b)(L?2c)最大時(shí),16A2也最大,即A最大.又由均值定理“算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)”得

上式等價(jià)于

當(dāng)L?2a=L?2b=L?2c,即a=b=c時(shí),上式中的等號(hào)成立,而此時(shí),(L?2a)(L?2b)(L?2c)取得最大值,即A最大:

證明2.1(B)(方法一)

可仿定理2.1(A)的證明,仍然借助海倫公式和算術(shù)、幾何平均值不等式即可得證.

證明2.1(B)(方法二)

設(shè)?是面積為A,周長為L的任一三角形;?1是面積為A,周長為L1的等邊三角形;?2是面積為A2,周長為L的等邊三角形.

將定理2.1(A)應(yīng)用于?和?2得A2≥A,比較兩個(gè)等邊三角形?2和?1,則有

即L2≥L21意味著L1≤L. 證畢

2.2 n邊形等周定理

在三角形等周定理的基礎(chǔ)上,我們自然要問:在給定周長的所有n(在這個(gè)小節(jié)中,均假定n＞3)邊形中,哪一個(gè)的面積最大?猜想是正n邊形.

定理2.2(A)在具有給定周長的所有n邊形中,正n邊形有最大面積.

(B)在具有給定面積的所有n邊形中,正n邊形有最小周長.

此定理的等價(jià)說法是,正n邊形有最大的等周商(比值稱為平面區(qū)域的等周商).設(shè)c為正n邊形的等周商,n

[1]若L固定,則cn最大?A最大;

[2]若A固定,則cn最大?L最小.

引理2.1相似圖形的等周商相同.

實(shí)質(zhì)上,等周商具有更強(qiáng)的性質(zhì)—仿射不變量,作為其特殊形式當(dāng)然是相似不變量.因?yàn)橄嗨茍D形的基本性質(zhì)就是對(duì)應(yīng)長度的比值相同,所以必有L=rL1,而面積是一個(gè)二維的概念,總是從一對(duì)長度的乘積算出來的,故對(duì)應(yīng)的面積也滿足關(guān)系A(chǔ)=r2A1.根據(jù)等周商定義即可得證.

引理2.2正n邊形的等周商cn隨n的增大而增加.

下面分為三種情形證明定理2.2的等價(jià)命題.

(1)圓外切多邊形.

圖2-1

鑒于證明的需要,我們先補(bǔ)充一個(gè)概念—內(nèi)平行四邊形.

設(shè)P為任意凸n邊形,將P的各邊向內(nèi)平移,且各邊的移動(dòng)速度相同,這樣使得當(dāng)P收縮時(shí),它的頂點(diǎn)沿所在角的平分線內(nèi)移,當(dāng)有一邊或幾邊收縮為一點(diǎn)時(shí)就停止內(nèi)移.于是,P可能以如下三種不同的方式收縮,如圖2—2所示:

a.收縮為邊數(shù)較少的多邊形;

b.收縮為直線段;

c.收縮為一點(diǎn)(當(dāng)且僅當(dāng)P是某圓外切多邊形時(shí)).

圖2-2

因?yàn)镻中任意相鄰的三邊都有一個(gè)內(nèi)切圓,當(dāng)P的各邊勻速收縮時(shí),對(duì)應(yīng)內(nèi)切圓的半徑也在變小,實(shí)際上,停止時(shí)是圓的個(gè)數(shù)發(fā)生了減少,因此,

(i)若至少有一個(gè)內(nèi)切圓存在,則P收縮為邊數(shù)較少的多邊形;

(ii)若不存在內(nèi)切圓,則P收縮為邊數(shù)小于三的圖形,又由凸性可以知道只能是線段或者點(diǎn).

對(duì)于方式a,從P1的各頂點(diǎn)分別向距它們最近的P的邊作垂線,每條垂線之長都記為r.于是,多邊形P被劃分為一些多邊形,如圖2—3,且Q1,Q2,Q3,Q4,Q5可以拼合在一起,構(gòu)成一個(gè)n邊形P?,而P?外切于半徑為r的圓.按照P的這種分割法,得

對(duì)于方式b,如圖2—4,設(shè)直線段的長為d,類似于(1)式的推導(dǎo),可得

圖2-3

圖2-4

下面,我們開始證明情形(2).

首先考慮P存在一個(gè)內(nèi)平行四邊形,其面積為A1,周長為L1.應(yīng)用(1)式可將4πA＜cnL2改寫為

為證明(3)式,我們證明以下三個(gè)不等式

而(4)式中第一個(gè)嚴(yán)格不等式根據(jù)假設(shè)及引理2.2顯然成立;第三個(gè)不等式由情形(1)及引理2.1知也成立(P?與Pn相似).

下證第二個(gè)不等式成立.對(duì)于P?容易計(jì)算出2A?=rL?,將其代入 4πA?＜cnL?2,得

由(5)自然可得4πrL1＜2cnL1L?,故(3)得證.

再來討論內(nèi)平行四邊形退化成長為d的直線段的情形.應(yīng)用(2)式可將4πA＜cnL2改寫為

為證上式,仍證明以下三個(gè)不等式

(7)中第一個(gè)不等式顯然成立;第二個(gè)不等式由(5)知也成立;第三個(gè)不等式上面已證,故(6)式得證.

最后討論內(nèi)平行四邊形退化為一點(diǎn)的情形.此時(shí)P為圓外切多邊形,已證.

(3)非凸n邊形.

設(shè)P是面積為A,周長為L的任一非凸n邊形,我們證明4πA＜cnL2.設(shè)H為P的凸包(P的凸包,即包含P的最小凸集.一般說來,非凸多邊形P的凸包H是一個(gè)頂點(diǎn)較P少,周長較P小但面積較P大的多邊形區(qū)域),其面積為A2,周長為L2,則A2＞A且L2＜L.此外,凸包H的邊數(shù)小于n,故由情形(1)、(2)及引理2.2知,4πA2＜cnL22,從而有4πA＜cnL2. 證畢

3.平面等周定理

這一節(jié)主要考慮等周定理的等價(jià)說法:

定理3.1(等周不等式)設(shè)A是長為L的簡單閉曲線C圍成的面積,那么L2?4πA≥0,式中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)C是圓時(shí)成立.

以下我們主要給出了兩類證明,一類是幾何的證明,這種主要依賴于對(duì)稱化的思想,另一類是分析的證明,主要依賴于分析的手段,使得等周不等式與我們常用的不等式建立聯(lián)系.

3.1 斯坦納(Steiner)的初等幾何證明

Steiner的證明使用了一個(gè)假設(shè):最大面積的存在性.由于我們知道等周問題的解是存在的,因此,承認(rèn)這個(gè)假設(shè).

證明分三步

(i)如果簡單閉曲線C具有最大面積,則此曲線一定是上凸的.所謂上凸的,是指經(jīng)曲線上任意兩點(diǎn)作一割線,割線兩點(diǎn)間部分或在曲線上,或在曲線內(nèi).此命題的證明如圖3—1所示.(否則,可作相應(yīng)的對(duì)稱圖形,如虛線部分,使之在保持周長相等的條件下,存在另一面積更大的曲線,故矛盾.)

(ii)用割線將此閉合曲線分等長兩段,則兩邊面積相等.如圖3—2,若不然,不妨設(shè)A1＞A2,將A1沿割線作對(duì)稱反演,會(huì)有A1+A1＞A2+A1,矛盾.(因?yàn)槭孪纫呀?jīng)假定曲線C具有最大面積)

(iii)兩端點(diǎn)在一直線上的定長的上凸曲線C與直線所圍成的面積若有最大值,則必是半圓.否則,如圖3—3,在曲線C上必存在一點(diǎn)P,使∠APB非直角.連接PA和PB,則整個(gè)區(qū)域分成三個(gè)部分R1,R2,R3.依圖3—4,適當(dāng)移動(dòng)R1,R2兩部分使∠APB是直角,這時(shí)顯然S△A′P′B′＞S△APB(因?yàn)锳P=A′P′,BP=B′P′),這樣,在保持弧AB=弧A′B′的前提下,后者比前者面積更大,從而與前者具有最大面積矛盾.由P的任意性,滿足∠APB是直角的曲線只有半圓.

因此,依(ii)、(iii),滿足等周問題的曲線C只有圓.

附錄:等周問題的歷史

等周問題最早是由著名數(shù)學(xué)家Joham Beynoulli在1697年提出的,即在具有定長的一切平面簡單閉曲線中,圓是最大面積的曲線.在隨后的300多年間,人們圍繞等周問題開展了深入的研究與討論,并將其稱為等周定理(等周不等式),等周定理的證明方法可謂層出不窮,日新月異.

德國數(shù)學(xué)家斯坦納(Jacob Steiner),這位自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家為幾何學(xué)的復(fù)興做出了重要貢獻(xiàn),在當(dāng)時(shí)被譽(yù)為“自Euclid以來最偉大的幾何學(xué)家”,它具有驚人的幾何直觀能力和技巧地處理幾何問題的才能.Steiner在1839年一下子就為等周定理找了幾個(gè)幾何直觀證明,但是很遺憾這些證明并不完善,所有的證明都使用了一個(gè)假設(shè):最大面積的存在性.Steiner堅(jiān)持認(rèn)為這是毋庸置疑的,但分析學(xué)家不這樣認(rèn)為.

在十九世紀(jì)這個(gè)數(shù)學(xué)分析嚴(yán)密化的時(shí)代,德國的分析學(xué)大師K.Weierstrass,1870年在一次數(shù)學(xué)演講中用變分法證明了等周定理.至此,歷時(shí)兩千年的等周定理有了一個(gè)大家公認(rèn)的嚴(yán)格證明.

而空間等周問題是其中最著名的,在1884年,柏林?jǐn)?shù)學(xué)家施瓦爾茨(H.A.Schwarz)也給出了三維等周問題的嚴(yán)格證明.

令人欣慰的是,數(shù)學(xué)家對(duì)等周問題的興趣并沒有到此為止,1902年德國數(shù)學(xué)家Hurwitz給出了第一個(gè)解析證明,1939年E.Schmidt又給出了至今為止最簡潔的微分幾何證明,1978年蘇步青教授在《微分幾何五講》中介紹了改良后的Hurwitz方法,上述是在等周定理(等周不等式)證明方法中比較有代表性的三種方法.Cheval在《Isoperimetric inequalities》一文中也給出了復(fù)數(shù)證明,其中利用了留數(shù)定理和格林公式.

而近年來,國內(nèi)學(xué)者在等周問題的研究和拓展方面也取得了一些新的進(jìn)展.比如,周家足教授在《積分幾何與等周不等式》一文中介紹的積分幾何證法;汪遐昌在《均值不等式的重要應(yīng)用》一文中提到的等周問題的一個(gè)簡潔證明;項(xiàng)武義為慶賀蘇步青教授百歲華誕而提出的等周問題的另一個(gè)更加簡明扼要的初等證明等.