例談導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用中的經(jīng)典問題

廣東省興寧市第一中學(xué)(514500) 藍云波

一、知識要點梳理

1.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟

[1]分析實際問題中各量之間的關(guān)系,列出實際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);

[2]求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),解方程f′(x)=0;

[3]比較函數(shù)在區(qū)間端點和f′(x)=0的點的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值;

[4]回歸實際問題作答.

2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

[1]證明不等式時,可構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值問題.其一般步驟如上圖(右)所示.

[2]求解不等式恒成立問題時,可以考慮將參數(shù)分離出來,將參數(shù)范圍問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的值域問題.若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立,只需滿足f(x)min≥a或g(x)max≤a即可,利用導(dǎo)數(shù)方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值,從而問題得解.

3.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)零點或方程的根中的作用

[1]研究函數(shù)圖象的交點、方程的根、函數(shù)的零點,歸根到底是研究函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值、最值等.

[2]用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點,一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助零點存在性定理判斷;另一方面,也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,利用數(shù)形結(jié)合來解決.

二、經(jīng)典問題分析

例1 如圖1,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個無蓋的正六棱柱容器.當(dāng)這個正六棱柱容器的底面邊長為___時,其容積最大.

圖1

圖2

點評此題是一道與立體幾何進行交匯的實際問題,應(yīng)注意蘊含條件的挖掘.

例2統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為.已知甲、乙兩地相距100千米.

(1)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?

(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?

點評在求實際問題中的最大值或最小值時,一般先設(shè)自變量、因變量、建立函數(shù)關(guān)系式,并確定其定義域,利用求函數(shù)最值的方法求解,注意得到的結(jié)果應(yīng)與實際情況相符合.在實際問題中,如果可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點,那么只要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點的函數(shù)值比較.

例3已知函數(shù),曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線與直線e2x?y+e=0垂直(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)若f(x)在(m,m+1)上存在極值,求實數(shù)m的取值范圍;

點評構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)證明不等式,本題使用了構(gòu)造兩個函數(shù)的技巧實現(xiàn)問題的求解.求解導(dǎo)函數(shù)綜合問題的關(guān)鍵是如何化歸為熟悉與簡單的問題.

例4已知函數(shù)f(x)=ex+m?x3,g(x)=ln(x+1)+2.

(1)若曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為1,求實數(shù)m的值;

(2)當(dāng)m≥1時,證明:f(x)＞g(x)?x3.

解析(1)因為f′(x)=ex+m?3x2,由題意知f′(0)=em=1,解得m=0.

點評本題的函數(shù)中含有參數(shù)m,通過觀察,發(fā)現(xiàn)可利用放縮法,可把參數(shù)m消去,然后轉(zhuǎn)化為不含參的具體函數(shù);本題是隱零點問題,關(guān)鍵是結(jié)合零點存在定理,利用設(shè)而不求的思想進行整體代換.

綜上,函數(shù)F(x)有唯一零點,即兩函數(shù)圖象總有一個交點.

點評兩個函數(shù)的圖像的交點問題與函數(shù)的零點問題常?；ハ噢D(zhuǎn)化,關(guān)鍵是觀察函數(shù)的表達式的特征,利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法決定解題策略;利用零點存在定理證明含參的函數(shù)的零點的存在性是此類問題的一大難點,如何賦值以確定函數(shù)值的符號是關(guān)鍵.

圖3

點評本題把方程的根的個數(shù)問題化歸為兩個函數(shù)圖像的交點問題;數(shù)形結(jié)合是函數(shù)零點、方程的根、兩個函數(shù)的圖像交點問題的利器.

點評本題是極值點偏移問題,第一問作了提示,解題過程一般要先求出極值點,通過構(gòu)造差函數(shù),并確定其單調(diào)性,再利用等量代換和逆用函數(shù)的單調(diào)性實現(xiàn)問題的求解;極值點偏移問題的本質(zhì)是函數(shù)的單調(diào)性,關(guān)鍵是構(gòu)造差函數(shù),利用化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

例9設(shè)函數(shù)f(x)=ex?ax?2.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x＞0時,(x?k)f′(x)+x+1＞0,求k的最大值.

解析(1)f(x)的定義域為(?∞,+∞),f′(x)=ex?a.若a≤ 0,則f′(x)＞0,所以f(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增;若a＞0,則當(dāng)x∈(?∞,lna)時,f′(x)＜0,f(x)在(?∞,lna)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(lna,+∞)時,f′(x)＞0,f(x)在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)解法1由于a=1,所以(x?k)f′(x)+x+1=(x?k)(ex?1)+x+1,設(shè)g(x)=(x?k)(ex?1)+x+1,則g′(x)=(x?k+1)ex.

[1]若k≤1,則x＞0時,g′(x)＞0,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)＞g(0)=1＞0,即有(x?k)f′(x)+x+1＞0.

[2]若k＞1,則當(dāng)x∈(0,k?1)時,g′(x)＜0,g(x)在(0,k?1)上單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(k?1,+∞)時,g′(x)＞0,g(x)在(k?1,+∞)上單調(diào)遞增.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值為g(k?1)=k?ek?1+1.令h(k)=k?ek?1+1,所以h′(k)=1?ek?1,當(dāng)k＞1 時,h′(k)＜0,所以h(k)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,而h(2)=3?e＞0,h(3)=4?e2＜0,從而當(dāng)1＜k≤2時,h(k)＞0,即g(k?1)＞0,從而當(dāng)x＞0時,g(x)＞0,即(x?k)f′(x)+x+1＞0;當(dāng)k≥ 3時,h(k)＜0,即g(k?1)＜0,從而當(dāng)x＞0時,g(x)＜0,即(x?k)f′(x)+x+1＞0在(0,+∞)內(nèi)恒不成立;

綜上,整數(shù)k的最大值為2.

點評本題解法1是直接構(gòu)造函數(shù)進行分類討論解答的,是很多問題的一種通法,而解法2則利用分離參數(shù)思想,利用虛擬設(shè)根、結(jié)合零點存在定理進行整體代換解答的,也是一樣常用的解題策略;分類討論與設(shè)而不求思想方法都是數(shù)學(xué)中的重要思想方法,要熟練掌握并靈活運用.

點評對含量詞的導(dǎo)數(shù)問題,以下是常見的轉(zhuǎn)換策略.[1]設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),對任意的x1∈[a,b],任意的x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)min≥g(x)max;[2]設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),若存在x1∈[a,b],對任意的x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)max≥g(x)max;[3]設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),對任意的x1∈[a,b],總存在x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)min≥g(x)min;[4]設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),若存在x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)max≥g(x)min;[5]設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),若對任意的x1∈[a,b],總存在x2∈[c,d],使得f(x1)=g(x2)成立,若f(x)、g(x)的值域分別為A,B,則A?B.