含有兩個超越函數(shù)的不等式恒成立問題*

甘肅省臨澤一中(734200) 魏正清

1.導(dǎo)函數(shù)可因式分解

評注對于含有兩個超越函數(shù)的不等式f(x)＞0型(或f(x)＜0)的恒成立問題,若導(dǎo)函數(shù)f′(x)能分解因式,則可迅捷判斷f(x)的單調(diào)性,化險為夷,巧妙解決問題.

2.導(dǎo)函數(shù)可放縮

評注對于含有兩個超越函數(shù)的不等式f(x)＞0型(或f(x)＜0型)的恒成立問題,若導(dǎo)函數(shù)f′(x)可放縮為f′(x)＞g(x)＞0 型 (或f′(x)＜g(x)＜0),則可巧妙判斷f(x)的單調(diào)性,出奇制勝,迅捷解題.

3.利用已知函數(shù)構(gòu)造和函數(shù)

評注對于含有兩個超越函數(shù)的不等式f(x)＞0型(或f(x)＜0型)的恒成立問題,若能將不等式構(gòu)造為g(x)+h(x)＞0(或g(x)+h(x)＜0)型,其中f(x)為題目中已知的函數(shù),則可利用g(x)min+h(x)min＞0(或g(x)max+h(x)max＜0),巧妙將問題解決.

4.先變形再構(gòu)造和函數(shù)

5.先利用必要條件再放縮

例6任意的x∈[0,1],若ex(x2+axcosx+1)≥2x+1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

評注對于含有兩個超越函數(shù)的不等式f(x)＞0型(或f(x)＜0型)的恒成立問題,也可先探求不等式成立的必要條件,再通過放縮轉(zhuǎn)化為g(x)＞h(x)＞0(或g(x)＜h(x)＜0)型,定會讓人有耳目一新之感.

6.原函數(shù)可放縮

7.利用對數(shù)平均不等式

由此可見,在處理含有兩個超越函數(shù)的不等式恒成立問題時,若導(dǎo)函數(shù)能分解因式,導(dǎo)函數(shù)能放縮,對于恒成立不等式能利用已知函數(shù)構(gòu)造和函數(shù),能先變形再構(gòu)造和函數(shù),能利用必要條件再放縮,原函數(shù)能放縮,能利用對數(shù)平均不等式處理,定可事半功倍,巧妙解決問題.