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    η凸函數的Riemann-Liouville分數階積分的Hermite-Hadamard型不等式

    2018-09-10 09:57:38時統(tǒng)業(yè)曾志紅曹俊飛
    浙江大學學報(理學版) 2018年5期
    關鍵詞:凸性上界將式

    時統(tǒng)業(yè),曾志紅,曹俊飛

    (1. 海軍指揮學院, 江蘇 南京 211800; 2. 廣東第二師范學院 學報編輯部, 廣東 廣州 510303;3. 廣東第二師范學院 數學系, 廣東 廣州 510303)

    0 引 言

    若f是區(qū)間[a,b]上的凸函數,則對f在區(qū)間[a,b]上的算術平均值有以下估計:

    (1)

    雙邊不等式(1)被稱為Hermite-Hadamard不等式.關于Hermite-Hadamard不等式的各種改進、加細和推廣,可參見文獻[1-9].

    最近,作為通常凸函數的推廣,文獻[10]引入了η凸函數的概念.

    定義1[10]設區(qū)間I?R,二元函數η:R×R→R,f:I→R,若對任意x,y∈I,t∈[0,1],有

    f(tx+(1-t)y)≤f(y)+tη(f(x),f(y)),

    則稱f是區(qū)間I上的η凸函數.

    當η(x,y)=x-y時,η凸函數即為通常的凸函數.

    定理1[11](η凸函數的Hermite-Hadamard型不等式) 若f: [a,b]→R是η凸函數,η在f([a,b])×f([a,b])上有上界Mη,則有

    近年來,國內外研究者利用分數階積分建立了分數階的Hermite-Hadamard型不等式[12-18].

    定義2設α>0,f在[a,b]上勒貝格可積,則函數f的α階左Riemann-Liouville分數階積分和α階右Riemann-Liouville分數階積分分別定義為

    其中Γ(α)是Gamma函數,即

    方便起見,在下文的引理和定理中均假設

    p∈(0,1),ξ=pa+(1-p)b,

    并且記

    定理3[19](η凸函數的Hermite-Hadamard型分數階積分不等式) 若f: [a,b]→R是η凸函數,η在f([a,b])×f([a,b])上有上界Mη,α>0,則有

    (2)

    引理1[13]設f: [a,b]→R在(a,b)可微,f′在[a,b]上勒貝格可積,α>0,則有

    利用引理1,由文獻[19]可得η凸函數的Hermite-Hadamard型分數階積分不等式.

    定理4[19]設f: [a,b]→R在(a,b)可微,|f′|是[a,b]上的η凸函數,α>0,則有

    當η(x,y)=x-y,即當|f′|是[a,b]上的凸函數時,由定理4得到文獻[13]中凸函數的Hermite-Hadamard型分數階積分不等式.

    引理2[14]設f: [a,b]→R在(a,b)可微,f′在[a,b]上勒貝格可積,α>0,則有

    其中,

    應用引理2,由文獻[19]可得到η凸函數的Hermite-Hadamard型分數階積分不等式.

    定理5[19]設f: [a,b]→R在(a,b)可微,|f′|是[a,b]上的η凸函數,0<α≤1,則有

    η(|f′(a)|,|f′(b)|)+η(|f′(b)|,|f′(a)|)].

    (3)

    由引理2并利用積分變量代換,有

    可得到以下引理:

    引理3設f: [a,b]→R在(a,b)可微,f′在[a,b]上勒貝格可積,α>0,則有

    [f′((1-t)a+tb)-f′(ta+(1-t)b)]dt.

    目前,國內研究η凸函數的文獻并不多[20-21].本文建立了新的η凸函數Hermite-Hadamard型分數階積分不等式.對定理3和定理5的結果進行了一定改進.對由凸函數分數階的Hermite-Hadamard型不等式的右邊部分生成的差值,給出了不同于定理4的估計.為證明主要結論,除引理1和引理3外,還需要引理4和引理5,此兩引理用分部積分法易證之.

    引理4設f: [a,b]→R在(a,b)可微,f′在[a,b]上勒貝格可積,α>0,則有

    引理5設f: [a,b]→R在(a,b)上可微,f′在[a,b]上勒貝格可積,α>0,則有

    pf(a)+(1-p)f(b)-K2=

    1 主要結果及證明

    定理6若f: [a,b]→R是η凸函數,η在f([a,b])×f([a,b])上有上界Mη,α>0,則有

    (4)

    (5)

    (6)

    [η(f(a),f(b))+η(f(b),f(a))],

    (7)

    由η凸函數的定義,有

    (8)

    將式(8)乘以(x-a)α-1+(b-x)α-1,然后在[a,b]上對x積分,得

    η(f(a+b-x),f(x))dx,

    (9)

    注2在定理6中,取η(x,y)=x-y,則得到凸函數的Hermite-Hadamard型分數階不等式[13]:

    文獻[3]利用積分給出了凸函數的Jensen不等式的隔離,受此啟發(fā),給出以下定理:

    定理7若f: [a,b]→R是η凸函數,α>0,則有

    [η(f(a),f(b))+η(f(b),f(a))],

    (10)

    其中,

    f1(x)=η(f(b-p(x-a)),f(pa+(1-p)x)),

    f2(x)=η(f(a+(1-p)(b-x)),f(px+(1-p)b)).

    證明將式(5)乘以(ξ-x)α-1,然后在[a,ξ]上對x積分,得

    (11)

    將式(6)乘以(x-ξ)α-1,然后在[ξ,b]上對x積分,得

    (12)

    f(ξ)≤f(x)+(1-p)η(f(y),f(x)),

    (13)

    將式(13)乘以(ξ-x)α-1,然后在[a,ξ]上對x積分,得

    (14)

    f(ξ)≤f(x)+pη(f(y′),f(x)),

    (15)

    將式(15)乘以(x-ξ)α-1,然后在[ξ,b]上對x積分,得

    (16)

    推論1若f: [a,b]→R是η凸函數,η在f([a,b])×f([a,b])上有上界Mη,α>0,則有

    f(ξ)-2p(1-p)Mη≤K2≤

    定理8設f: [a,b]→R在(a,b)上可微,f′在[a,b]上勒貝格可積,|f′|是[a,b]上的η凸函數,α>0,則有

    (17)

    證明由引理1得

    (18)

    由|f′|的η凸性,得

    |f′(ta+(1-t)b)|≤

    |f′(a)|+(1-t)η(|f′(b)|,|f′(a)|),

    (19)

    |f′(ta+(1-t)b)|≤

    |f′(b)|+tη(|f′(a)|,|f′(b)|),

    (20)

    (21)

    綜合式(18)和(21),則式(17)獲證.

    注3在定理8中,若η(x,y)=x-y,即|f′|是[a,b]上的凸函數,則可得文獻[13]的凸函數的Hermite-Hadamard型分數階積分不等式.

    定理9設f: [a,b]→R在(a,b)上可微,f′在[a,b]上勒貝格可積,|f′|是[a,b]上的η凸函數,0<α≤1,則有

    (22)

    證明由引理3得

    [|f′((1-t)a+tb)|+|f′(ta+(1-t)b)|]dt.

    (23)

    由|f′|的η凸性得

    |f′((1-t)a+tb)|≤

    |f′(a)|+tη(|f′(b)|,|f′(a)|),

    |f′((1-t)a+tb)|≤

    |f′(b)|+(1-t)η(|f′(a)|,|f′(b)|),

    |f′(ta+(1-t)b)|≤

    |f′(a)|+(1-t)η(|f′(b)|,|f′(a)|),

    |f′(ta+(1-t)b)|≤|f′(b)|+tη(|f′(a)|,|f′(b)|),

    將上面4個式子相加并除以2得

    |f′((1-t)a+tb)|+|f′(ta+(1-t)b)|≤

    η(|f′(b)|,|f′(a)|)).

    (24)

    綜合式(23)和(24),則式(22)得證.

    定理10設f: [a,b]→R在(a,b)上可微,f′在[a,b]上勒貝格可積,|f′|是[a,b]上的η凸函數,α>0,則有

    (25)

    證明由引理4得

    (26)

    由|f′|的η凸性得

    (27)

    η(|f′(b)|,|f′(a)|)]dt=

    (28)

    綜合式(26)~式(28),則式(25)得證.

    注5在定理10中,若η(x,y)=x-y,也即|f′|是[a,b]上的凸函數,則有

    {[α+1+2(α+3)p]|f′(a)|+

    [3α+7-2(α+3)p]|f′(b)|}.

    定理11設f: [a,b]→R在(a,b)上可微,f′在[a,b]上勒貝格可積,|f′|是[a,b]上的η凸函數,α>0,則有

    證明利用類似于引理5及定理9的證明方法可證得定理11,此證略.

    推論2若f: [a,b]→R是η凸函數,f′在[a,b]上勒貝格可積,|f′|是[a,b]上的η凸函數,α>0,則有

    [η(|f′(a)|,|f′(b)|)+η(|f′(b)|,|f′(a)|)].

    注6在定理11中,若η(x,y)=x-y,也即|f′|是[a,b]上的凸函數,則有

    |pf(a)+(1-p)f(b)-K2|≤

    2 結束語

    建立了η凸函數的一些積分不等式,推廣了通常凸函數的相應結果. 尋找積分隔離η凸函數的Jensen型不等式,以及利用導函數的η凸性進行誤差估計,均仿照了通常凸函數的研究方法. 能對已有結果做些改進,得益于證明技巧的提升,包括分別在不同區(qū)間上對2個不等式積分,以及利用變量代換改變積分區(qū)間. 有關凸函數的其他結果在η凸函數上的移植尚待進一步研究.

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