阻力線性化條件下縱向離散系數(shù)的半解析解法

張文俊 胡煜 任華堂 夏建新

摘要：縱向離散系數(shù)是水質(zhì)模型的關(guān)健參數(shù)，對(duì)于污染物的影響范圍具有決定性影響，一直是環(huán)境水力學(xué)的研究熱點(diǎn)。目前縱向離散系數(shù)的確定以經(jīng)驗(yàn)、半經(jīng)驗(yàn)方法為主，物理機(jī)制不夠明確?；诘撞孔枇植烤€性化假定，利用冪級(jí)數(shù)求解斷面流速分布，代入Fischer縱向離散系數(shù)積分公式，建立了縱向離散系數(shù)的半解析方法。利用100余條天然河流數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明計(jì)算值為實(shí)測(cè)值的0.3～3.0倍，精度符合工程要求。該方法推導(dǎo)嚴(yán)密、計(jì)算量較小，一定程度上反映了離散的物理機(jī)制，與前人計(jì)算公式的誤差在同一量級(jí)，具有一定的可靠性。

關(guān)鍵詞：縱向離散系數(shù)；阻力線性化；冪級(jí)數(shù)；流速分布；半解析解；環(huán)境水力學(xué)

中圖分類號(hào)：TV133 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2018.05.016

1 引言

在水環(huán)境模擬預(yù)測(cè)中，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)污染水團(tuán)的形狀對(duì)于污染物影響歷時(shí)和影響范圍的確定具有重要意義。對(duì)于天然河流而言，由于流速分布不均勻，因此污染水團(tuán)形態(tài)主要取決于河流的離散特性。河流縱向離散系數(shù)歷來(lái)是河流水質(zhì)模型研究的熱點(diǎn)。

離散的本質(zhì)是流速不均勻?qū)е挛镔|(zhì)在斷面上出現(xiàn)的分散，不同的斷面流速分布形式?jīng)Q定了不同的離散特性。1954年Taylor基于管流中層流流速分布表達(dá)式，根據(jù)徑向擴(kuò)散和縱向離散平衡得到圓管中離散系數(shù)計(jì)算公式；1959年Elder根據(jù)流速的垂向?qū)?shù)分布規(guī)律，忽略流速的橫向差異，采用垂向擴(kuò)散和縱向離散平衡導(dǎo)出寬矩形明槽中縱向離散系數(shù)關(guān)系式；Fischer等由橫向擴(kuò)散和縱向離散平衡得到縱向離散系數(shù)求解的Fischer積分公式，但該公式需要給定流速分布，由于明渠流速斷面分布尚無(wú)成熟可靠的公式可用，因此Fischer利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到離散系數(shù)的Fis-cher經(jīng)驗(yàn)公式。目前，天然河流中縱向離散系數(shù)求解的方法主要有以下幾類：①通過(guò)示蹤試驗(yàn)直接測(cè)定離散系數(shù)或由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)回歸得到經(jīng)驗(yàn)公式，如張江山對(duì)福建閩江干流進(jìn)行示蹤試驗(yàn)測(cè)定其縱向離散系數(shù)，呂巍等實(shí)測(cè)了黃河潼關(guān)河段當(dāng)時(shí)水文條件下縱向離散系數(shù)，黃愛(ài)珠通過(guò)示蹤試驗(yàn)確定了桂江下游梧州段縱向離散系數(shù)，Sahay等、Seo等、Kashefipour等和Disley等則各自依據(jù)天然河流數(shù)據(jù)回歸分析得出縱向離散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式；②利用流速實(shí)測(cè)值或流速分布經(jīng)驗(yàn)公式和Fischer積分公式進(jìn)行求解，如李錦秀等根據(jù)三峽庫(kù)區(qū)段流速分布監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)總結(jié)出三峽庫(kù)區(qū)內(nèi)縱向離散系數(shù)預(yù)測(cè)公式，劉震等通過(guò)黃河下游干流水文監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)多元回歸分析得出黃河下游干流河段污染物縱向離散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)估算公式；③基于若干假定求解流速分布，再代入Fischer積分公式進(jìn)行求解，如Deng等利用謝才公式假定拋物線型斷面流速分布，陳永燦等應(yīng)用數(shù)理回歸方法確定梯形斷面縱向流速分布，Wang等采用矩形斷面河流控制方程將流速表示為傅里葉級(jí)數(shù)形式，張文俊等利用均勻恒定流控制方程，先求解冪級(jí)數(shù)形式流速分布，然后代入Fischer積分公式推導(dǎo)出縱向離散系數(shù)公式。上述縱向離散系數(shù)求解方法中針對(duì)非特定河流的計(jì)算公式，可分為兩類（代表性公式見(jiàn)表1），通過(guò)試驗(yàn)測(cè)定縱向離散系數(shù)或流速分布耗時(shí)費(fèi)力，而經(jīng)驗(yàn)公式則主要采用回歸分析得到，其物理意義不明確，在流速分布理論求解中部分參數(shù)的確定較為困難。

筆者根據(jù)矩形明渠恒定流控制方程，引入底部阻力線性化假定，得到流速分布的冪級(jí)數(shù)解表達(dá)式，代入Fischer積分公式，建立縱向離散系數(shù)半解析計(jì)算公式，并將其推廣至天然河流，以期為天然河流縱向離散系數(shù)的取值提供參考。

2 矩形明渠流速分布的冪級(jí)數(shù)解及離散系數(shù)求解

2.1 流速分布求解

均勻恒定流明渠矩形斷面如圖1所示，流速分布取決于表面壓強(qiáng)梯度力、底部摩阻力和雷諾應(yīng)力的橫向梯度，滿足如下動(dòng)力學(xué)方程：式中：H為水深；τbx為底部摩擦力；ρ為水的密度；Am為紊動(dòng)渦黏系數(shù)；J為水力坡度；g為重力加速度；u為流速。

目前，底部阻力與流速的關(guān)系多采用半經(jīng)驗(yàn)的線性或非線性關(guān)系，由于線性關(guān)系在數(shù)學(xué)上較為簡(jiǎn)單、方便求解，因此對(duì)底部摩擦力采用局部線性化假定，即τbx=-ρβu，則有式中：β為線性阻力系數(shù)，與平均流速U成正比，即β=αU。

對(duì)河寬進(jìn)行歸一化處理，令y'=2y/B，則上式簡(jiǎn)化為

將流速表示為冪級(jí)數(shù)形式，代入上式，基于等號(hào)兩[-1，1]內(nèi)絕對(duì)收斂。該冪級(jí)數(shù)公式即為矩形斷面縱向流速u的解。

根據(jù)式（5），利用條件u|y'=0=umax和u|y'=±1=0，便可計(jì)算出冪級(jí)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)。在實(shí)際求解中，一般取6～10項(xiàng)即可，對(duì)于寬深比較大的河流，所取項(xiàng)數(shù)可相應(yīng)增加。

為了分析流速冪級(jí)數(shù)解的合理性和準(zhǔn)確性，分別對(duì)人為設(shè)定的理想工況和天然河流流速分布進(jìn)行計(jì)算：①水深H=1.0 m，寬度分別為10、50、100、150、200m，Am=1.0m2/s，β=0.001m/s，J=0.00075，流速分布計(jì)算結(jié)果如圖2所示，由圖2可見(jiàn)，在深度一定的條件下，隨著河寬的增加，水流受岸邊摩擦力的影響減弱，流速分布更加趨于均勻，與水流的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基本一致，說(shuō)明所得冪級(jí)數(shù)解是合理的；②根據(jù)Bogle關(guān)于美國(guó)Old河斷面形態(tài)的研究，將其概化為以水面寬度為寬、平均水深為高的矩形斷面，分別采用底部阻力非線性化和底部阻力線性化方法計(jì)算其流速分布，結(jié)果如圖3所示，底部阻力線性化計(jì)算結(jié)果與天然河流流速分布具有較好的一致性，充分說(shuō)明了采用底部阻力線性化假定及得到的級(jí)數(shù)解能夠描述天然河流的流速分布。

2.2 矩形斷面縱向離散系數(shù)計(jì)算

將斷面縱向流速的橫向分布代入Fischer積分公式：為冪函數(shù)，因此將其代入上式，可得

由上式可知，流速冪級(jí)數(shù)中，冪次越低的項(xiàng)對(duì)于三重積分I的貢獻(xiàn)越大，冪次愈高的項(xiàng)貢獻(xiàn)愈小。一般而言，寬深比越大所需要的項(xiàng)數(shù)越多。在離散系數(shù)的計(jì)算中，可以根據(jù)精度需要選擇合適的項(xiàng)數(shù)求解。

3 天然河流縱向離散系數(shù)計(jì)算

3.1 矩形明渠縱向離散系數(shù)在天然河流中的推廣應(yīng)用案例

由于在工程中無(wú)法獲得河流每一個(gè)斷面的詳細(xì)資料，一般僅有水面寬度和過(guò)水?dāng)嗝婷娣e資料，因此將其概化為矩形斷面可以有效保證平均水深、水面寬度和過(guò)水?dāng)嗝婷娣e的一致性。將縱向離散系數(shù)求解公式（8）推廣到天然河流中，參數(shù)按照如下方式確定：B取天然河流的水面寬度，h取天然河流的平均水深，線性阻力系數(shù)β=0.8（u*/U）2U，渦黏系數(shù)Am=1.50hu*，底坡J=u2/gh，橫向擴(kuò)散系數(shù)AH=0.15hu*。

利用Zeng等收集的100余條河流資料進(jìn)行驗(yàn)證，將這些河流的平均河寬、平均水深、平均流速、摩阻流速等代入式（5）、式（8）、式（9），并計(jì)算縱向離散系數(shù)。

3.2 結(jié)果與討論

為分析上述計(jì)算方法預(yù)測(cè)結(jié)果的精度，采用對(duì)數(shù)比偏差DR、對(duì)數(shù)平均絕對(duì)誤差ME、對(duì)數(shù)均方根RMS進(jìn)行評(píng)價(jià)，定義如下：式中： DLm為河流縱向離散系數(shù)實(shí)測(cè)值；DLp為河流縱向離散系數(shù)預(yù)測(cè)值；N為樣本河流數(shù)量。

對(duì)數(shù)比偏差DR反映了計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的吻合程度，二者之比越接近1，DR越接近0，當(dāng)DR為-0.3～0.3時(shí)，計(jì)算值約為實(shí)測(cè)值的0.5～2.0倍；對(duì)數(shù)平均絕對(duì)誤差ME反映預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的整體偏離情況，對(duì)數(shù)均方根RMS反映預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的離散情況，ME和RMS越接近0，說(shuō)明預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值越接近，預(yù)測(cè)效果越好。

縱向離散系數(shù)計(jì)算值DLP與天然河流實(shí)測(cè)值DLm對(duì)比見(jiàn)圖4，可以看出計(jì)算值與實(shí)測(cè)值有一定的偏差，但二者的整體變化趨勢(shì)具有較好的一致性。

3.3 計(jì)算誤差分析

上述半解析計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果與由Fischer積分公式導(dǎo)出的其他公式（見(jiàn)表1）計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可知：Deng公式計(jì)算結(jié)果的DR值有54%在[-0.3，0.3]范圍內(nèi)，97%的計(jì)算結(jié)果介于實(shí)測(cè)值的0.1～10倍，預(yù)測(cè)結(jié)果較好；而Wang（1）公式計(jì)算結(jié)果的DR值僅有2%在[-0.3，0.3]之間，66%的預(yù)測(cè)結(jié)果為實(shí)測(cè)值的1/10以下，該公式預(yù)測(cè)結(jié)果整體偏??；半解析計(jì)算公式對(duì)樣本河流中縱向離散系數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果為實(shí)測(cè)值的0.5～2倍的比例為31%，預(yù)測(cè)結(jié)果的DR值有95%在[-1，1]范圍內(nèi)，與底部阻力非線性化、Fischer經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果在同一水平，基本滿足工程需要。

半解析計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果的對(duì)數(shù)平均絕對(duì)誤差ME為0.49（見(jiàn)表2），即計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之比都在0.3～3.0之間，與前人計(jì)算公式誤差水平在同一個(gè)量級(jí)，誤差水平基本可接受。

3.4 求解方法討論

Fischer積分公式給出了橫向流速分布和縱向離散系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)流速分布的合理假定或理論求解是一系列縱向離散系數(shù)計(jì)算的通行方法，該類方法與經(jīng)驗(yàn)公式相比物理意義更清晰，比用流速實(shí)測(cè)資料求解縱向離散系數(shù)更具有普適性和可行性。

在利用Fischer積分公式求解縱向離散系數(shù)時(shí)，流速分布形式不同導(dǎo)致結(jié)果存在差異。Fischer限于當(dāng)時(shí)對(duì)流速橫向分布的認(rèn)知，在簡(jiǎn)化計(jì)算三重積分時(shí)取相對(duì)粗略的試驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)值。Deng公式利用拋物線型斷面流速分布特性，由謝才公式得到流速分布，代入Fischer積分公式求解，因經(jīng)驗(yàn)性謝才公式對(duì)明渠水流運(yùn)動(dòng)的適用性，故其計(jì)算結(jié)果較好，但由于謝才公式為經(jīng)驗(yàn)公式，因此該方法不易在理論方面進(jìn)一步改進(jìn)和發(fā)展。 Seo公式和Wang公式分別采用β函數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)假定流速分布，進(jìn)行積分并求解縱向離散系數(shù)，由于傅立葉級(jí)數(shù)中的各項(xiàng)系數(shù)求解困難、計(jì)算過(guò)程極為復(fù)雜，因此Wang公式最終仍然通過(guò)回歸分析處理為經(jīng)驗(yàn)公式，而相似的β函數(shù)也因其計(jì)算繁雜而難以推廣應(yīng)用。

張文俊公式與本文提出的半解析計(jì)算公式類似，采用均勻恒定流控制方程及冪級(jí)數(shù)流速分布求解縱向離散系數(shù)，但底部阻力采用的是非線性化形式，導(dǎo)致冪級(jí)數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)計(jì)算公式為復(fù)雜非線性函數(shù)，各項(xiàng)系數(shù)的確定計(jì)算量大，且冪級(jí)數(shù)收斂條件不易精確確定。

本文提出的半解析計(jì)算公式則對(duì)底部阻力采用線性化表達(dá)式，流速分布冪級(jí)數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)呈現(xiàn)簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，易于確定，同時(shí)冪級(jí)數(shù)在河寬范圍內(nèi)絕對(duì)收斂，只需通過(guò)增加項(xiàng)數(shù)即可控制求解的精度，由于冪級(jí)數(shù)積分的簡(jiǎn)易性，因此運(yùn)算較為方便，具有一定的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)語(yǔ)

從均勻恒定流條件下矩形明渠出發(fā)，對(duì)底部阻力采用局部線性化假定，得到斷面流速分布的冪級(jí)數(shù)解，與天然河流中流速實(shí)測(cè)資料對(duì)比，顯示該方法有效反映了實(shí)際河流的流速橫向分布特性。

基于Fischer縱向離散系數(shù)理論公式，利用冪級(jí)數(shù)形式流速分布得到縱向離散系數(shù)求解公式，并給出了天然河流離散系數(shù)的計(jì)算方法。與天然河流實(shí)測(cè)值對(duì)比分析表明，本方法計(jì)算值與實(shí)測(cè)值變化趨勢(shì)一致，計(jì)算值為實(shí)測(cè)值的0.3～3.0倍，與前人計(jì)算公式的誤差在同一量級(jí)，具有一定的可靠性。