初探均值不等式在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

盧迎春 曹慶逸

[摘 要]均值不等式的應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，它因題型廣泛、涉及面廣、靈活多變，備受命題者的青睞，成為歷屆高考中的高頻考點(diǎn).應(yīng)用均值不等式既可解決函數(shù)、方程等方面的問(wèn)題，又經(jīng)常同函數(shù)、方程結(jié)合來(lái)解決代數(shù)、幾何及實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中的問(wèn)題.應(yīng)用均值不等式解決函數(shù)、方程問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化與化歸.轉(zhuǎn)化時(shí)需適當(dāng)運(yùn)用配方思想、函數(shù)思想、分類討論思想來(lái)分析解決問(wèn)題；化歸時(shí)要注意變量的范圍和式子的等價(jià)性.在利用均值不等式求值時(shí)，一定要緊扣“一正”“二定”“三相等”這三個(gè)條件.

[關(guān)鍵詞]均值不等式；數(shù)學(xué)解題；轉(zhuǎn)化；化歸

[中圖分類號(hào)] G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-6058（2018）11-0025-05

不等式是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，是解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，而均值不等式以它廣泛的應(yīng)用，成為高中數(shù)學(xué)不等式中的一朵奇葩，它美麗的身影遍布在高中數(shù)學(xué)所有的章節(jié)中，所到之處，流光溢彩，魅力四射！它既可解決函數(shù)、方程等方面的問(wèn)題，又經(jīng)常同函數(shù)、方程結(jié)合來(lái)解決代數(shù)、幾何及實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中的問(wèn)題.在高考注重改革和創(chuàng)新的今天，對(duì)它的應(yīng)用考查所占比例越來(lái)越大.均值不等式越來(lái)越多地滲透到各類高考題之中，既可通過(guò)選擇題或填空題考查有關(guān)它的基礎(chǔ)知識(shí)和基本公式，在大題和壓軸題中，更是常有它如明星大腕般的閃亮身影，它主要考查學(xué)生的邏輯思維和解決問(wèn)題的能力.下面分享一下我們?cè)诰挡坏仁椒矫娴囊恍┨骄砍晒?

通過(guò)以上幾個(gè)例題，我們可以總結(jié)得出，在應(yīng)用均值不等式解決函數(shù)、方程的問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，如果條件不夠轉(zhuǎn)化的，應(yīng)當(dāng)積極地創(chuàng)造條件合理拆添項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧.轉(zhuǎn)化時(shí)，還需適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用配方思想、函數(shù)思想、分類討論思想來(lái)分析解決問(wèn)題.化歸時(shí)，要注意一些變量的范圍和式子的等價(jià)性，在利用均值不等式求值時(shí)，一定要緊扣“一正”“二定”“三相等”這三個(gè)條件，即每個(gè)項(xiàng)都是正值，所有的項(xiàng)能同時(shí)相等，而“二定”這個(gè)條件是對(duì)不等式進(jìn)行巧妙分拆、組合.添加系數(shù)等使之能變成可用基本不等式的形式的關(guān)鍵，倘若多次運(yùn)用不等式求值，必須保持每次取“=”號(hào)的一致性.

7.均值不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

【例11】 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級(jí)污水處理池.如果池的四周圍墻建造單價(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米，池底建造單價(jià)為80元/平方米，水池所有墻的厚度忽略不計(jì).

（1）試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià).

（2）若由于地形限制，該池的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)16米，試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià).

所以如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/小時(shí)且小于64千米/小時(shí).

在應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般先要通過(guò)閱讀充分理解材料，尋找材料中量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系，抽象出材料中的主要特征與關(guān)系，建立起能反映其本質(zhì)聯(lián)系屬性的數(shù)學(xué)關(guān)系式，從而建立起最佳的數(shù)學(xué)模型，然后應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.

總之，均值不等式的應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，因其題型廣泛，涉及面廣，靈活多變，備受命題者的青睞，成為歷屆高考中的高頻考點(diǎn).在題目的設(shè)計(jì)上，年年別出心裁，常常將不等式與函數(shù)、數(shù)列、三角等綜合考查，重在考查考生的運(yùn)算能力和邏輯推理能力.

（責(zé)任編輯 黃春香）