對數(shù)學(xué)教學(xué)問題設(shè)置的思考①

鮑聰曉

(河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室 450016)

1 前言

美國著名數(shù)學(xué)家哈爾斯說“問題是數(shù)學(xué)的心臟”．確實如此，有了問題，思維才有方向、思維才有動力．在課堂教學(xué)中，我們多次嘗試通過問題設(shè)計，實施探究活動，通過問題的層層深入，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，發(fā)展學(xué)生的理性思維．前段時間，參加了人教版初中數(shù)學(xué)經(jīng)驗交流會，觀摩課“二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)”中問題設(shè)置的角度及其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?，引發(fā)了筆者的深思．本文將從這節(jié)課的問題設(shè)計及課堂教學(xué)實施等角度，對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中“有高度、有層次、有邏輯的問題設(shè)計”進(jìn)行思考與分析.

2 教學(xué)過程

2.1 關(guān)注知識的整體性提出問題

教師一上課并沒有進(jìn)行知識回顧，也沒有直奔學(xué)習(xí)內(nèi)容，而是提出了下面的問題：

問題1我們學(xué)習(xí)了一類新函數(shù)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，知道了它的定義，我們接下來會研究哪些內(nèi)容？

生：會研究二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)和應(yīng)用.

點評：考慮到知識的系統(tǒng)性與整體性提出問題1，可以引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)模型研究的一般觀念，引領(lǐng)學(xué)生自然合理地發(fā)現(xiàn)和提出問題．也能喚起學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)的已有經(jīng)驗，回顧一次函數(shù)的研究思路：定義→圖象→性質(zhì)→應(yīng)用．進(jìn)而通過類比思考提出了本單元需要研究的問題：二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)并用以解決問題．此問的提出對于學(xué)生整體把握本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容有重要意義.

2.2 調(diào)動已有經(jīng)驗、探尋研究方式

問題2怎樣研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)呢？在前面的學(xué)習(xí)中你獲得過相關(guān)經(jīng)驗嗎？

追問1：想一想，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是怎樣研究的？

生：先研究y=kx，再研究y=kx+b.

師生活動：教師從研究思路、研究內(nèi)容、研究方法三方面，引導(dǎo)學(xué)生回憶一次函數(shù)的研究過程.

研究內(nèi)容：函數(shù)圖象的形狀、位置及函數(shù)的增減性.

研究方法：分k>0，k<0兩種情況進(jìn)行研究；先畫出具體函數(shù)的圖象，觀察歸納圖象特征與函數(shù)性質(zhì)，再由特殊推廣到一般；數(shù)形結(jié)合地展開研究.

追問2：二次函數(shù)的研究思路、研究內(nèi)容、研究方法又怎樣呢？

生1：可以類比一次函數(shù)，從最簡單的二次函數(shù)開始研究.

生2：可以先研究y=ax2的圖象和性質(zhì).

學(xué)生規(guī)劃出研究思路：先研究最簡單的y=ax2.

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生類比一次函數(shù)，制定出二次函數(shù)的研究思路、研究內(nèi)容、研究方法.

研究思路：

研究內(nèi)容：函數(shù)圖象的形狀、位置、函數(shù)的增減性，……

研究方法：分類：a>0，a<0；畫出具體函數(shù)的圖象，觀察歸納圖象特征與函數(shù)性質(zhì)，再由特殊推廣到一般；數(shù)形結(jié)合地展開研究.

點評：問題2的設(shè)置，是緊接問題1，在確定研究內(nèi)容后，引導(dǎo)學(xué)生對研究問題的方式、方法進(jìn)行思考，并自然地類比一次函數(shù)的研究進(jìn)行思考，整體規(guī)劃出研究二次函數(shù)的基本框架，明確本節(jié)課要研究的問題，為學(xué)生自主研究y=ax2的圖象特征和性質(zhì)做鋪墊．此問的設(shè)置為學(xué)生掌握研究函數(shù)問題的一般方法提供了思路，有助于學(xué)生掌握解決此類問題的通性通法，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的類比探究能力，整體規(guī)劃能力.

2.3 開展探究活動，積累經(jīng)驗

探究y=ax2的圖象和性質(zhì).

問題3怎樣研究y=ax2的圖象和性質(zhì)？

師生活動：教師從研究思路、研究內(nèi)容、研究方法三方面，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)劃研究過程.

研究內(nèi)容：函數(shù)圖象的形狀、位置、函數(shù)的增減性，……

研究方法：分類：a>0，a<0；畫出具體函數(shù)的圖象，觀察歸納圖象特征與函數(shù)性質(zhì)，再由特殊推廣到一般；數(shù)形結(jié)合地展開研究.

點評：問題3是對問題2中研究內(nèi)容的具體細(xì)化，意在引導(dǎo)學(xué)生借助問題3規(guī)劃y=ax2的圖象和性質(zhì)的研究方案，是類比一次函數(shù)研究經(jīng)驗在實踐中的具體實施．此問的設(shè)置有利于學(xué)生活動經(jīng)驗的積累，有利于增強學(xué)生分類討論的意識.

問題4當(dāng)a>0時，怎樣研究y=ax2的圖象和性質(zhì)？

追問1：研究二次函數(shù)y=x2的圖象和性質(zhì)分幾個步驟？

生：用描點法畫圖象、觀察圖象、得到性質(zhì)這三個步驟.

追問2：畫出圖象并觀察，請說出它的圖象特征和性質(zhì)有哪些？

師生活動：學(xué)生先獨立畫出圖象，然后在教師引導(dǎo)下開展交流活動．學(xué)生從圖象的形狀、位置、增減性入手，觀察圖象的特征，探索函數(shù)性質(zhì)，進(jìn)而理解拋物線、頂點等概念．學(xué)生相互交流，說出函數(shù)y=x2的圖象特征和性質(zhì)．教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生反思思維過程：觀察函數(shù)解析式特征→思考所列表格中的取值→畫圖象→思考圖象的特征和函數(shù)的性質(zhì)→回歸解析式進(jìn)行驗證．最后歸納得到：

圖象形狀：拋物線、關(guān)于y軸對稱.

圖象的開口方向：開口向上.

圖象的位置：圖象經(jīng)過一、二象限，經(jīng)過原點(0,0)，最低點(0,0)是拋物線的頂點.

增減性：當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減?。划?dāng)x>0時，y隨x的增大而增大.

師生活動：學(xué)生獨立畫出圖象，觀察圖象特征，歸納性質(zhì)．得出：

當(dāng)a>0時，拋物線y=ax2開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點(0,0)．當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大．拋物線開口大小不同，a越大，拋物線的開口越小.

追問4：反思一下，我們是怎么研究a>0時二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)的？

生：先畫出一些具體函數(shù)的圖象，觀察圖象，歸納出圖象的共同特征，得到函數(shù)的性質(zhì).

點評：問題4的設(shè)置意在通過類比，讓學(xué)生在研究中實施從特殊到一般的研究思路，并通過4個環(huán)環(huán)相扣的追問，層層深入地明晰如何得到函數(shù)圖象、如何研究圖象、如何獲得函數(shù)性質(zhì)，最后引導(dǎo)學(xué)生反思，總結(jié)研究思路、研究內(nèi)容和研究方法．此問借助畫出的函數(shù)圖象這一幾何直觀，讓學(xué)生借助函數(shù)圖象感知函數(shù)的形態(tài)和變化，進(jìn)而通過邏輯推理獲得函數(shù)性質(zhì)．直觀形象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成結(jié)論、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)．本環(huán)節(jié)的活動讓學(xué)生自主探究、通過畫圖建構(gòu)幾何圖形，通過幾何直觀發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)行研究，通過歸納概括得出結(jié)論，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中“掌握數(shù)學(xué)”，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力；發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀形象和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.4 獨立研究，強化經(jīng)驗

問題5如何研究當(dāng)a<0時，二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)？

生：可以類比a>0開展研究.

師生活動：學(xué)生先獨立完成，后小組合作，評價反思，問題修正，教師進(jìn)行個別指導(dǎo).

小組結(jié)論展示：當(dāng)a<0時，拋物線y=ax2開口向下，對稱軸是y軸，頂點是原點(0,0)．當(dāng)x<0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減?。產(chǎn)越大，拋物線的開口越大.

點評：此問是分類研究活動的進(jìn)一步延伸，讓學(xué)生類比a>0的情況，獨立研究a<0的情況．學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)活動中已經(jīng)獲得一定的研究經(jīng)驗，本環(huán)節(jié)的設(shè)置有利于學(xué)生進(jìn)一步鞏固研究經(jīng)驗、完善研究結(jié)論，發(fā)展實踐能力.

2.5 歸納研究結(jié)論

問題6結(jié)合a>0和a<0的研究，請說說一般情況下函數(shù)y=ax2的圖象特征和性質(zhì).

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生相互補充，共同歸納出：

一般地，拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，頂點是原點.

當(dāng)a>0時，拋物線y=ax2開口向上，頂點是拋物線的最低點；

當(dāng)a<0時，拋物線y=ax2開口向下，頂點是拋物線的最高點.

當(dāng)a>0時，當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大；

當(dāng)a<0時，當(dāng)x<0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小.

當(dāng)a>0時，a越大，拋物線的開口越??；

當(dāng)a<0時，a越大，拋物線的開口越大.

師：關(guān)于拋物線的開口大小，怎樣表示才會一致？

生：用|a|表示，即|a|越大，拋物線的開口越小.

點評：讓學(xué)生在分類研究的基礎(chǔ)上，歸納概括出二次函數(shù)y=ax2的圖象特征和性質(zhì)．類比與歸納是合情推理的主要形式，本環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)活動，學(xué)生通過自主探究，能很好發(fā)現(xiàn)問題、能很好地掌握合情推理，能嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的表述出推導(dǎo)的結(jié)論，抽象出函數(shù)的性質(zhì)，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；本環(huán)節(jié)通過討論、交流、分享，學(xué)生既能理解知識間的聯(lián)系、又能簡潔精煉地進(jìn)行表述，還能有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，發(fā)展了學(xué)生有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì).

2.6 反思學(xué)習(xí)過程

課堂小結(jié)

(1)本節(jié)課研究了哪類函數(shù)的圖象和性質(zhì)？得到了哪些結(jié)論？

(2)是怎樣研究的？說說研究的思路、方法和內(nèi)容.

(3)要繼續(xù)研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，應(yīng)該怎樣研究？

點評：通過學(xué)生歸納總結(jié)，學(xué)生不僅從知識方面梳理了二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)，還從方法層面進(jìn)行了再認(rèn)識．通過第(2)問，學(xué)生總結(jié)出：通過類比學(xué)習(xí)，深刻體會到y(tǒng)=ax2與正比例函數(shù)研究思路、研究內(nèi)容及研究方法一致性．此問的設(shè)置有利于學(xué)生建立知識間的聯(lián)系，有利于學(xué)生總結(jié)活動經(jīng)驗、提升活動經(jīng)驗，可以使學(xué)生在活動經(jīng)驗中從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)．通過第(3)問的設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理的、有邏輯的思考，有效地發(fā)展學(xué)生提出問題、分析與解決問題的能力.

3 教學(xué)思考

縱觀“二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)”這節(jié)課，通過教學(xué)實施環(huán)節(jié)的6個問題，及小結(jié)環(huán)節(jié)的3個問題，引導(dǎo)學(xué)生的思維層層深入，讓學(xué)生在問題思考中獲得研究思路與方法，在實踐活動中積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，在總結(jié)概括中提升認(rèn)知與思維能力．反思這節(jié)課的問題設(shè)置，筆者有以下幾方面的思考.

3.1 數(shù)學(xué)問題的設(shè)置要關(guān)注育人目標(biāo)

本節(jié)課的目標(biāo)之一是讓學(xué)生在思考中積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．我們知道，經(jīng)驗、能力與方法是不可能直接交給學(xué)生的，它們需要學(xué)生在獨立思考、自主探究、實踐操作的過程中體驗與提煉．若教學(xué)中僅以學(xué)生是否記住知識來設(shè)計問題，問題就會變得直白，不會引發(fā)學(xué)生的理性思考，是不可能發(fā)展學(xué)生的思維、提升學(xué)生能力的．若課堂教學(xué)中關(guān)注人的發(fā)展，以能力和素養(yǎng)立意，就會借助知識載體設(shè)計出引發(fā)學(xué)生深度思考的好問題，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展、能力提升．本節(jié)課以使學(xué)生掌握研究方法、積累活動經(jīng)驗、發(fā)展核心素養(yǎng)為目標(biāo)來設(shè)置教學(xué)問題，使問題上升到一定高度，達(dá)到較深層次，進(jìn)而自然、恰當(dāng)、合理地引領(lǐng)了學(xué)生思維，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷了深度思考、發(fā)展了分析和解決問題的能力.

3.2 數(shù)學(xué)問題的設(shè)置要重視數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性

數(shù)學(xué)教學(xué)要從數(shù)學(xué)學(xué)科的整體結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和重要思想上整體把握和認(rèn)識數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，使課堂教學(xué)成為一個融數(shù)學(xué)知識、技能、方法、思想和精神于一體的整體[1]．對于函數(shù)的學(xué)習(xí)，在初中教材中有一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)這三部分教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生整體把握函數(shù)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在每次學(xué)習(xí)活動中積累經(jīng)驗，才會使后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)顯得清晰合理．在教學(xué)中設(shè)置有利于學(xué)生整體把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的問題，能使學(xué)生從整體的角度進(jìn)行思考，有利于知識間的關(guān)聯(lián)，增強學(xué)生的理解深度；有利于學(xué)生將同類問題類比探究，進(jìn)而提煉方法與經(jīng)驗，增強分析解決問題的能力；有利于學(xué)生運用相關(guān)經(jīng)驗解決同類問題，增強學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識．例如，本節(jié)課的第一個問題“二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，知道了它的定義，我們接下來會研究哪些內(nèi)容？”是基于整體把握函數(shù)的研究內(nèi)容而設(shè)計的，用函數(shù)模型研究的一般觀念引領(lǐng)學(xué)生自然合理地發(fā)現(xiàn)和提出問題．進(jìn)而明確函數(shù)的研究思路：定義→圖象→性質(zhì)→應(yīng)用．

3.3 數(shù)學(xué)問題的設(shè)置要關(guān)注研究問題的途徑與方法的一致性

研究問題的途徑與方法，是學(xué)生最需要積累的活動經(jīng)驗．設(shè)置關(guān)于研究途徑與方法的問題，有利于學(xué)生提煉經(jīng)驗、形成方法．本節(jié)課第二個問題“怎樣研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)呢？”是讓學(xué)生對研究的途徑與方法展開思考，并通過兩個追問層層深入，引發(fā)學(xué)生完整地規(guī)劃出研究策略：可以類比一次函數(shù)展開研究，可以按照從特殊到一般的順序逐步進(jìn)行研究.

3.4 數(shù)學(xué)問題的設(shè)置要關(guān)注學(xué)生思維的邏輯性

數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用．?dāng)?shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練，可以使學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)地思維習(xí)慣，形成數(shù)學(xué)地觀察世界、處理和解決問題的能力[2]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科育人的獨特功能，主要是培養(yǎng)學(xué)生的思維，特別是邏輯思維，要使學(xué)生學(xué)會思考，特別是學(xué)會“有邏輯地思考”，使學(xué)生成為善于認(rèn)識問題、善于解決問題的人．問題的設(shè)置必須有邏輯性，環(huán)環(huán)相扣、層層深入、形成問題串，促使學(xué)生逐步深入思考．本節(jié)課的幾個問題是按照這樣的邏輯來設(shè)計的：要研究什么問題→初步打算怎么研究→是否有可借鑒的研究經(jīng)驗→從哪些方面開展研究→研究中會遇見什么問題→每個問題解決的方法和路徑是怎樣的→通過問題解決得到那些結(jié)論與經(jīng)驗→知識間的聯(lián)系→如何應(yīng)用．借助有邏輯地思考，使學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)知識，形成用數(shù)學(xué)知識合理解釋直至創(chuàng)造性地解決問題的能力．

3.5 數(shù)學(xué)問題的設(shè)置要關(guān)注學(xué)科素養(yǎng)的內(nèi)隱性

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展離不開知識的理解、掌握和應(yīng)用．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要讓學(xué)生對重要的數(shù)學(xué)概念、思想方法有反復(fù)理解的機(jī)會，讓學(xué)生在理解掌握知識的過程中逐步發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)．教學(xué)中可以借助各環(huán)節(jié)問題的設(shè)置，使學(xué)生明確在各個環(huán)節(jié)需要經(jīng)歷的過程、需要掌握的知識、需要發(fā)展的素養(yǎng)，讓素養(yǎng)培養(yǎng)從內(nèi)隱趨于外顯．本節(jié)課第四個問題中設(shè)置的追問3，讓學(xué)生經(jīng)歷獨立畫出函數(shù)圖象、觀察圖象、歸納概括圖象特征、總結(jié)出函數(shù)性質(zhì)的過程，使學(xué)生習(xí)得了知識，并提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng)．課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)問題的設(shè)置，不僅要有知識掌握、方法習(xí)得、思想滲透的立意，還要有發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的立意，只有這樣，才能在學(xué)生掌握知識、發(fā)展能力的同時促使核心素養(yǎng)的發(fā)展.