關于矩陣的秩的教學設計

翟全禮

摘 要：在線性代數(shù)課程中，矩形的秩是一個重點概念。該文主要提出了在矩陣的秩的教學中應當注意的3個問題，即：概念引入要介紹背景，合理利用軟件計算，重視矩陣的秩在線性代數(shù)課程總結復習階段的作用。希望能為矩形的秩在教學中的應用提供借鑒。

關鍵詞：矩陣的秩 教學難點 教學設計

中圖分類號：O151. 21 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）10（b）-0118-02

矩陣的秩是線性代數(shù)課程中的重點概念，并且是教學上的難點。在當前課程學時不斷減少，學生入學基礎相對弱化的形勢下，改良傳統(tǒng)教學方式，優(yōu)化教學設計，切實化解教學難點顯得十分必要。

矩陣的秩的概念引入，傳統(tǒng)上有典型的幾個方式：一是通過用矩陣的子式來刻畫；二是通過矩陣的行或列向量組的秩（行秩或列秩）來定義；三是通過與矩陣等價的行階梯形矩陣的非零行個數(shù)來定義。經(jīng)典教材文獻[1]采用的是第一種方式。

對數(shù)學教學中的概念，特別是難點概念的引入方式不宜采用直接給定義的方法。而應當認真規(guī)劃引入其概念的教學設計。對于矩陣的秩這一概念，多數(shù)教材（包括使用廣泛的同濟版）在引入時不夠重視定義概念前的準備工作，有的更是直接定義概念。這樣的方式對學生來說顯得突兀，不利于對概念的理解和把握。實際上這種引入概念的方式也是造成學生學習困難的一個原因。在教學實踐中教師通過具體問題引入矩陣秩的概念，注重說明其概念來源的具體背景和產(chǎn)生此概念的動機，并借助Mathematica軟件強化對概念的認識與理解，取得了較好的效果。

1 矩陣秩概念的引入

考慮問題：求解線性方程組，其矩陣形式為。

用高斯消元法對線性方程組進行一系列等價（同解）變換，相當于對增廣矩陣進行對應的初等行變換，將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，即

由此得到與原方程組等價的保留方程組為，該保留方程組中所含線性方程的的個數(shù)是3，其中各方程間彼此獨立，注意一個方程組的保留方程組不唯一，但不同的保留方程組所含方程的個數(shù)不變，這個數(shù)叫作方程組的秩。相應地，將這個數(shù)也叫作（增廣）矩陣的秩。線性方程組的秩實際上就是方程組中所含獨立方程的個數(shù)。

實際上，一般方程組（包括有非線性方程）也有所謂“秩”的概念，其意義就是一般方程組所含獨立條件（即保留方程組所含方程）的個數(shù)。

這樣就可以定義矩陣的秩這個概念了。可以用矩陣的初等變換來定義矩陣的秩。也可以利用矩陣的子式來定義矩陣的秩——即矩陣中不等于0的子式的最高階數(shù)。經(jīng)過了前面引入矩陣的秩背景的介紹，我們給出矩陣秩的定義就顯得比較自然，易于接受。

評點：聯(lián)系了以前學過的解方程組知識，容易切入問題。不但介紹了矩陣的秩，還給出了方程組的秩的概念。通過例子還可以說明利用系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩的關系解決線性方程組解存在的判別定理。這樣引入矩陣秩概念時有背景，引入秩概念后，還知道該概念有重要應用前景。這樣的教學設計，易于為學生接受，既擴展了教學內(nèi)容，又能幫助學生將課程前后內(nèi)容聯(lián)系起來，強化對秩這一概念的理解。

2 利用Mathematica軟件計算矩陣秩以增強教學效果

利用矩陣的子式求矩陣的秩的缺點就是計算量大、比較繁瑣。傳統(tǒng)的紙筆手工運算，只能求行數(shù)、列數(shù)不大的矩陣的秩。若是對行數(shù)、列數(shù)較大的矩陣在課堂上就難于具體計算了。但對例子不具體計算，只是泛泛提及，就難于讓學生印象深刻。借助Mathematica（也可采用其它軟件），就能解決這個問題。例如，在教學中可以考慮計算下列矩陣的秩：

；

計算方法一，利用矩陣秩的子式定義方法求解。

（1）顯然B有不等于0的二階子式，因此rank（B）2，再計算3階子式（是B的最高階子式，共有4個），利用Mathematica進行計算，在軟件環(huán)境下，輸入程序行：

Clear[b]

b={{1，7，5，1}，{2，3，1，2}，{3，5，8，3}}

Minors[b，3]

得到結果是：{{67，0，0，67}}，即4個3階子式的值，可見有3階子式不等于0，因此rank（B）=3.

（2）矩陣C的最高階子式是4階的，若有一個不等于0，則可知rank（C）=4，若4階子式全為0，則rank（C）<4.利用Mathematica計算，輸入程序行：

Clear[c]

c={{1，1，2，2，1}，{0，2，1，5，-1}，{2，0，3，-1，3}，{1，1，0，4，-1}}

Minors[c，4]

得到結果是：{{0，0，0，0，0}}，即說明所有的4階子式（共有5個）都等于0。

再輸入：Minors[c，3]，計算3階子式（共有40個），結果是：

{{0，0，0，0，0，0，0，0，0，0}，{-4，4，-4，12，-4，-8，-4，0，4，4}，{4，-4，4，-12，4，8，4，0，-4，-4}，{8，-8，8，-24，8，16，8，0，-8，-8}}，有不等于0的3階子式，所以rank（C）=3.

方法二，利用初等行變換求秩。

輸入：RowReduce[C]//MatrixForm

輸出：，非零行的個數(shù)是3，所以可知rank（C）=3。

方法三，直接使用命令：MatrixRank[C].輸出結果是：3.即得rank（C）=3.

若矩陣行數(shù)、列數(shù)越大，則越能顯示利用軟件計算的便捷性。

評點：3種方法，第三種方法是軟件直接給出結論。第二種方法化矩陣為行階梯形，與我們手工計算的方法一致，不過軟件實際給出的結果是行最簡形，手工計算時變換到行階梯形就可以了。第一種方法，可以幫助我們熟悉矩陣秩的定義。Mathematica充當了課堂上教師、學生之外的第3個教學角色，這樣既可以提高學生的學習興趣又教給了他們可以在實際工作中使用的計算方法。在同樣的課時內(nèi)提高了教與學的效率。

3 用矩陣的秩將線性代數(shù)課程不同部分內(nèi)容串聯(lián)起來

尤其在復習總結階段，可以用矩陣的秩作為一條線索將矩陣、行列式、線性方程組、向量組的線性相關性等知識點串聯(lián)起來，這樣可以在有限課時內(nèi)顯著提高線性代數(shù)課程的教學效果。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數(shù)學系編.線性代數(shù)[M].6版.北京：高等教育出版社，2014.