高等數(shù)學(xué)中反常積分教學(xué)的例談

車晉

【摘要】積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容.對于一元函數(shù)而言，其積分學(xué)主要包括兩種類型，即定積分與反常積分.定積分在高數(shù)中的討論較多，對于反常積分的研究和計(jì)算亟須強(qiáng)化.本文以舉例的方法，著重闡述了高等數(shù)學(xué)中反常積分的基本概念以及兩種常見的反常積分（無窮積分與瑕積分）的計(jì)算方法，旨在為更好地開展高數(shù)反常積分教學(xué)提供參考.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；反常積分；教學(xué)；無窮積分；瑕積分；收斂性質(zhì)

一、引 言

積分學(xué)是微積分理論體系中的一個(gè)十分重要的部分.一元函數(shù)的積分學(xué)主要包括定積分與反常積分兩種類別，而反常積分又包括兩種主要類型：無窮積分與瑕積分.不管何種類型的反常積分，均可視為定積分的推廣，其本質(zhì)屬于極限形式.與定積分不同的是，反常積分屬于一種更加一般的積分.在實(shí)際教學(xué)過程中，不能將定積分與反常積分混為一談，二者應(yīng)該區(qū)分開來.從定義而言，定積分并不具備反常積分的某些性質(zhì).由此可以得知，反常積分相較于定積分而言，研究其基本性質(zhì)及計(jì)算方法等則更具意義.

圖1

二、反常積分的基本概念

（一）引 例

例1 如圖1所示，求曲線y=1x2，x軸與直線x=1的右邊所圍成的“開口曲邊梯形”的面積大小.

解 根據(jù)上圖及題干中的題意可以得知，該圖形屬于非封閉式的曲邊梯形，而在x軸的正方向是開口的，即這時(shí)的積分區(qū)間為[1，+∞）.

由此可得：對于b>1，那么“開口曲邊梯形”的面積可用下式進(jìn)行表示：

∫b11x2dx=-1xb1=1-1b.

很顯然地，b發(fā)生變化時(shí)，“開口曲邊梯形”的面積也隨之而發(fā)生變化，

所以，當(dāng)b→+∞時(shí)，可得：

limb→+∞∫b11x2dx=limb→+∞1-1b=1.

由上述計(jì)算結(jié)果可得，圖1中“開口曲邊梯形”的面積為1.

（二）無窮積分與瑕積分的定義

1.無窮積分的定義

定義1 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，+∞）上連續(xù)，取b>a，如果極限limb→+∞∫baf（x）dx存在，則稱此極限為函數(shù)f（x）在無窮區(qū)間[a，+∞）上的無窮限的反常積分，可記為：

∫+∞af（x）dx=limb→+∞∫baf（x）dx.（1）

此時(shí)，也稱反常積分∫+∞af（x）dx收斂；若上述極限不存在，就稱反常積分∫+∞af（x）dx發(fā)散，這時(shí)記號∫+∞af（x）dx不再表示數(shù)值了.

圖2

例如，如圖2所示，求灰色部分的面積.

解 ∫+∞011+x2dx

=limb→+∞∫b011+x2dx

=limb→+∞[arctanx]b0=limb→+∞arctanb

=π2.

類似地，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，b]上連續(xù)，取a

∫b-∞f（x）dx=lima→-∞∫baf（x）dx.（2）

這時(shí)也稱無窮積分∫b-∞f（x）dx收斂；若上述極限不存在，就稱反常積分∫b-∞f（x）dx發(fā)散.

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上連續(xù)，若反常積分∫0-∞f（x）dx和反常積分∫+∞0f（x）dx均為收斂積分，則稱上述兩無窮限的反常積分之和為函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上的反常積分，可將其記作為如下式：

∫+∞-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫+∞0f（x）dx

=lima→+∞∫0af（x）dx+limb→+∞∫b0f（x）dx.（3）

此時(shí)，也稱無窮積分∫+∞-∞f（x）dx收斂；否則就稱無窮積分∫+∞-∞f（x）dx發(fā)散.

根據(jù)如上定義，可舉例：計(jì)算反常積分∫+∞-∞dx1+x2.

解 ∫+∞-∞dx1+x2=∫0-∞dx1+x2+∫+∞0dx1+x2

=lima→-∞∫0a11+x2dx+limb→+∞∫b011+x2dx

=lima→-∞[arctanx]0a+limb→+∞[arctanx]b0

=-lima→-∞arctana+limb→+∞arctanb

=--π2+π2=π.

2.瑕積分

定義 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b]上連續(xù)，而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無界，取ε>0.如果極限：limε→0+∫ba+εf（x）dx存在，那么稱此極限為無界函數(shù)f（x）在（a，b]上的反常積分，且仍然將該積分記為：∫baf（x）dx=limε→0+∫ba+εf（x）dx.（4）

這時(shí)也稱反常積分∫baf（x）dx收斂，如果上述極限不存在，就稱反常積分∫baf（x）dx發(fā)散.

類似地，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b）上連續(xù)，而在點(diǎn)b的左鄰域內(nèi)無界，取ε>0.

如果極限limε→0+∫b-εaf（x）dx存在，那么則可以做如下定義：

∫baf（x）dx=limε→0+∫b-εaf（x）dx.（5）

否則，就稱反常積分∫baf（x）dx發(fā)散.

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上除點(diǎn)c（a

∫baf（x）dx=∫caf（x）dx+∫bcf（x）dx=limε→0+∫c-εaf（x）dx+ limε′→0+∫bc+ε′f（x）dx.（6）

否則，就稱反常積分∫baf（x）dx發(fā)散.

例如，討論反常積分∫1-1dxx2的收斂性.

解 被積函數(shù)f（x）=1x2在積分區(qū)間[-1，1]上除了x=0外連續(xù)，且 limx→01x2=∞，

由于∫0-11x2dx=limε→0+∫0-ε-11x2dx=limε→0+-1x-ε-1=limε→0+1ε-1=+∞.

即反常積分∫0-1dxx2發(fā)散，因此，反常積分∫1-1dxx2發(fā)散.

又如，討論瑕積分∫101xpdx（p>0）的收斂性.

解 被積函數(shù)f在（0，1]上連續(xù)，x=0是瑕點(diǎn).由于：

∫101xpdx=11-p（1-u1-p），p≠1，-lnu，p=1（0

因此，當(dāng)0

∫101xpdx=limu→0+∫1u1xpdx=11-p；

當(dāng)p≥1時(shí)，瑕積分發(fā)散于+∞.

根據(jù)如上關(guān)于無窮積分與瑕積分的定義及相關(guān)舉例探討，需要注意的是：反常積分與定積分不同，尤其是瑕積分，它與定積分采用同一種表達(dá)方式，但其含義卻不同，遇到有限區(qū)間上的積分時(shí)，要仔細(xì)檢查是否有瑕點(diǎn).反常積分中，N-L公式，換元積分公式、分部積分公式仍然成立，但是，代入上、下限時(shí)代入的是極限值.

三、無窮積分與瑕積分的收斂性質(zhì)與判別

（一）無窮積分的收斂性質(zhì)與判別

1.無窮積分的性質(zhì)

性質(zhì)1 若∫+∞af1（x）dx與∫+∞af2（x）dx都收斂，k1，k2為任意常數(shù)，則∫+∞a[k1f1（x）+k2f2（x）]dx也收斂，且

∫+∞a[k1f1（x）+k2f2（x）]dx=k1∫+∞af1（x）dx+k2∫+∞af2（x）dx.

性質(zhì)2 如果f在任何有限區(qū)間[a，u]上可積，a

∫+∞af（x）dx與∫+∞bf（x）dx同收斂同發(fā)散，且

∫+∞af（x）dx=∫baf（x）dx+∫+∞bf（x）dx.

2.無窮積分的判別法

（1）柯西準(zhǔn)則.無窮積分∫+∞af（x）dx收斂的充分必要條件是：

ε>0，G≥a，只要u1、u2>G，那么則有：

∫u 2u1f（x）dx<ε.

（2）狄利克雷判別法.如果F（x）=∫uaf（x）dx在[a，+∞）上有邊界，g（x）在[a，+∞）上當(dāng)x→+∞的時(shí)候單調(diào)趨于0，那么：∫+∞af（x）g（x）dx收斂.

（3）阿貝爾判別法.如果∫+∞af（x）dx收斂，g（x）在[a，+∞）上單調(diào)有界，那么：

∫+∞af（x）g（x）dx收斂.

例如，探討如下無窮積分的收斂性：

（1）∫+∞1xaexdx.

（2）∫+∞0x2（x5+1）dx.

解 （1）對于任何一個(gè)α∈R，那么則有：

limx→+∞x2·xαe-x=limx→+∞xα+2ex=0，

根據(jù)柯西判別法，∫+∞1xaexdxα∈R均收斂.

（2）由于limx→+∞x12·x2x5+1=1，根據(jù)柯西判別法，則有∫+∞0x2（x5+1）dx發(fā)散.

（二）瑕積分的性質(zhì)與判別法

1.瑕積分的性質(zhì)

性質(zhì)1 若f的瑕點(diǎn)為x=a，c∈（a，b）為任意常數(shù)，

則瑕積分∫baf（x）dx與∫caf（x）dx同斂態(tài)，且

∫baf（x）dx=∫caf（x）dx+∫bcf（x）dx.

性質(zhì)2

若函數(shù)f的瑕點(diǎn)為x=a，f在（a，b]的任一內(nèi)閉區(qū)間[u，b]上可積.則當(dāng)∫+∞a|f（x）|dx收斂時(shí)，∫baf（x）dx必收斂，且

∫baf（x）dx≤∫ba|f（x）|dx.

2.瑕積分的判別方法

（1）柯西判別法.設(shè)f定義在（a，b]（a為瑕點(diǎn)）且在任何區(qū)間[u，b]（a，b]上可積，那么：

當(dāng)f（x）≤1（x-a）p，且0

當(dāng)f（x）≥1（x-a）p，且p≥1時(shí)，∫baf（x）dx收斂.

（2）A-D判別法.如果下列2個(gè)條件之一滿足，均有：

∫baf（x）g（x）dx收斂，① （Abe1判別法）∫baf（x）dx收斂，g（x）在[a，b）上單調(diào)有界.

② （Dirichlet判別法）F（η）=∫b-ηaf（x）dx在[a，b）上有界，g（x）在[a，b）上單調(diào)且 limb-g（x）=0.

四、結(jié) 論

綜上所述，由上述關(guān)于反常積分概念及無窮積分、瑕積分定義、性質(zhì)及判別方法等的介紹可知，不管是無窮積分還是瑕積分，二者均屬于定積分的推廣.上述兩種類別的反常積分的收斂性首先要以某類有限區(qū)間上的可積性作為根本前提.此外，還要求積分的上下限在某一個(gè)趨勢條件的變限積分的極限存在.所以，在實(shí)際教學(xué)過程中，筆者從定義出發(fā)，對不同類型的反常積分的性質(zhì)差異等進(jìn)行區(qū)分，從而對學(xué)生更好地理解反常積分具有十分重要的意義.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.